1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассмотрим теперь часто встречающуюся ситуацию с прохождением волнового фронта через прозрачную среду с показателем преломления n 6= 1. Понятно, что построение зон Френеляв этом случае будет таким же, но следует учесть дополнительный про4Далее в решениях многих задач будет использоваться это представление, не получившее, к сожалению, как, например, спираль Корню, собственного имени. Необходимость частых ссылок, требуетего наличия, и нам представляется справедливым использовать в этих случаях имя диаграмма илиспираль Френеля, а для охватывающей ее окружности - окружность Френеля.1303КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.
ДИФРАКЦИЯдольный набег фазы, равный ∆ϕ = knL и описываемый в выражениидля волнового поля фазовым множителем ei∆ϕ (здесь L – путь, проходимый в среде; при введении графического представления зон этотмножитель был несуществен и не принимался во внимание).Геометрическое представление комплексных величин означает, что−−→на диаграмме Френеля вектор OM , описывающий действие какойлибо части фронта без учета продольного набега фазы, должен бытьпросто повернут на некоторый угол в направлении против часовой стрелки (соответствующем увеличению фазы).
При равенстве набега фазы−−→2π вектор OM должен остаться неизменным (т.к. e2π = 1), т.е. уголего поворота также равен 2π. Следовательно, при произвольной величине продольного набега фазы соответствующий угол β поворота−−→вектора OM равен дробной (по модулю 2π) части этого набега фазы:β = ∆ϕ( mod 2π).а) Решение задачи в этом случае приведено выше. Поскольку точкаM1M1 на окружности Френеля, соответствующаяпервой зоне, лежит на верхнем конце ее вертикального диаметра (см. рисунок), так что действие отM−−→верстия, описываемое длиной вектора OM 1, вдвоепревышаетдействие полностью открытого фронта.
Следовательно,oI = 4I0.б) Точка M1/2, описывающая действие половины 1-й зоны, находится, естественно, на окружноM1/2сти Френеля посередине между O и M1√(см. рису−−→нок), так что длина вектора OM 1/2 в 2 превышает RF ,и поэтому I = 2I0.oв) Из вычисления действия n-й зоны было видно, что в нем производится суммирование действия элементов зоны по азимутальномууглу α (в пределах от 0 до 2π).
Если же часть зоны по углу α перекрыта, то действие зоны уменьшается пропорционально. Таким образом,если первая зона перекрыта наполовину по диаметр, то ее действие3.6Решение типичных задач131−−→−−−−→уменьшится вдвое и будет описываться вектором 12 OM 1 = M∞M1т.е. станет равным действию полностью открытого фронта. Следовательно, I = I0.г) Ясно, что точка M3/2 будучи на окружностиФренеля, должна лежать посередине между точM3/2ками M1 и M2, описывающих действие первой ивторой зон, т. е.
находится на левом конце горизонтального диаметра (см. рисунок).Следователь√−−→oно длина вектора OM 3/2 в 2 превышает RF ипоэтому I = 2I0.д) Точка M1/3 находится на окружности Фре−−→неля и вектор OM 1/3 должен составлять с горизонтальной осью угол 30◦ (см.
рисунок). Поэтому−−→M1/330длина вектора OM 1/3 будет совпадать с RF , такoчто I = I0.oР.35. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения 1-ю зону Френеля.
a) Какова интенсивность I в точке наблюдения? Какой она стала после того как у диска удалили б) половину (по диаметру); в) половину (по диаметру) внешней половины 1-йзоны?В силу принципа Бабине действие волнового поля в случае, когдаего часть перекрыта экраном, описывается вектором, равным разно−−→−−→сти векторов OM ∞ (действие полностью открытого фронта) и OM(действие перекрывающего экрана). Применим этот принцип.−−−→а) Ясно, что длина вектора M1M ∞ (см.
рисунок) равна RF , и поэтому I = I0.M1б) Удаление половины (по диаметру) перекрывающего диска означает открытие соответствующейM1323КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯчасти фронта (в рассматриваемом случае – половины 1-й зоны). По принципу Бабине к вектору−−−→M1M ∞ из предыдущего случая следует добавитьвектор, описывающий действие вновь открытой части фронта. Тако−−−−→вым является, как показано в задаче Р.34, вектор M∞M1.
Следовательно, I = 0.M1в) Как ясно из рассмотрения предыдущего случая, необходимо найти сначала действие половиM M1/2ны (по диаметру) внешней половины 1-й зоны. Надиаграмме Френеля действие половины 1-й зоны−−→описывается вектором OM 1/2 (см. рисунок); слеo−−−−−→довательно, вектор M1/2M1 описывает действиевнешней половины 1-й зоны.Таким образом, искомому действию соответствует сумма векторов−−−−−→−−−→M1M ∞ и 21 M1/2M1 (множитель 1/2 появляется потому, что внешняяполовина1-й зоны открытанаполовину).
Таким образом,−−−→2−−−−−→I ∝ M1M ∞ + 21 M1/2M1 . Тривиальные вычисления (конечно, сучетом угла между складываемыми векторами) дают искомый результат: I = I0/2.Р.36. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на прозрачный, стеклянный диск толщины h с показателем преломления n, размер которого соответствует полутора зонамФренеля для некоторой точки наблюдения. При какой минимальнойтолщине диска интенсивность в этой точке будет максимальной? Какова эта интенсивность?Ясно, что части волнового фронта, не занятой диском, на диаграм−−−−→ме Френеля соответствует вектор M3/2M ∞, направленный вдоль горизонтальной оси от начальной точки M3/2, лежащей на левом конце горизонтального диаметра окружности Френеля. В эту же точку3.6Решение типичных задач133−−→M3/2 «смотрит» вектор OM 3/2, описывающий действие полутора зонв случае, если показатель преломления диска n равен 1.Для n > 1 при прохождении через диск волнового фронта его фаза дополнительно возрастаетна величину ∆ϕ = k(n − 1)h = 2π(n − 1)h/λ, MM−−→что означает доворот вектора OM 3/2 на уголoMβ = ∆ϕ mod 2π в направлении против часовой стрелки.
Поскольку полная амплитуда в точкенаблюдения определяется суммой волнового поля, прошедшего вне ичерез собственно диск, то максимум интенсивности будет иметь ме−−→сто в случае, когда вектор OM 3/2 станет сонаправленным вектору−−−−→M3/2M ∞ .−−→Таким образом, вектор OM 3/2 должен быть повернут на уголλ. Легкоβ = 225 ◦= 5π/4 (см. рисунок). Следовательно, hmin = 85 n−1−−−−→также найти и значение максимума, т. к.
длины векторов M3/2M ∞ и√ 2√−−→OM 3/2√равны соответственно RF и 2RF , то Imax = 1 + 2 I0 =(3 + 2 2)I0.3/23/2o225Р.37. Как изменится интенсивность в точке экрана, на которыйпадает монохроматическая плоско поляризованная волна интенсивности I0, если на пути света поставить прозрачный диск, перекрывающий полторы зоны Френеля и поворачивающий плоскость поляризации света на 90◦?Поскольку свет, прошедший мимо диска (1-я «компонента»), неизменит направления своей поляризации, а свет, прошедший через него(2-я «компонента»), приобретет поперечное направление поляризации, то в точке наблюдения нужно складывать интенсивности этихкомпонент. Для первой из них имеем, как всегда, значение I0, т.к.
ейна диаграмме Френеля соответствует вектор длины RF . Поскольку1343КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯдля 2-й компоненты открыто√ полторы зоны, то ей на диаграмме соответствует вектор длины 2RF . Поэтому ее интенсивность будетсоставлять 2I0 а, следовательно, полная интенсивность равна 3I0.Плоская монохроматическая волна с длиной волны λи интенсивностью I0 падает нормально на стеклянную пластинку с показателем преломления n.На противоположной стороне пластинки сделаhrна выемка, соответствующая по размеру полутораPзонам Френеля для некоторой точки наблюденияP (см.
рисунок). При какой глубине h выемки интенсивность света вточке наблюдения будет а) максимальной; б) минимальной; в) равнойинтенсивности падающего света? Каковы будут интенсивности в точке наблюдения в этих случаях?Р.38.3/2Волновому фронту, проходящему через не занятую выемкой часть−−−−→пластинки, на диаграмме Френеля соответствует вектор M3/2M ∞,направленный вниз под углом 45◦ от начальной точки M3/2, лежащей на левом конце горизонтального диаметра окружности Френе−−→ля. В эту же точку M3/2 «смотрел» бы вектор OM 3/2, описывающий действие полутора зон, если бы выемка в пластинке отсутствовала.
Ее наличие означает для проходящего через нее света отставаниепо фазе по сравнению со светом, идущим через пластинку с показателем преломления n > 1. Величина возникшей разности фаз равна ∆ϕ = k(n − 1)h = 2π(n − 1)h/λ, и ей соответствует поворот−−→на диаграмме Френеля вектора OM 3/2 на угол β = ∆ϕ mod 2π внаправлении, соответствующем уменьшению фазы волны, т. е. по часовой стрелке. Полная амплитуда в точке наблюдения определяется,естественно, суммой волнового поля, прошедшего вне и через выемку.Теперь нетрудно рассмотреть интересующие нас случаи.3.6Решение типичных задач135а) Максимум интенсивности будет иметь ме−−→Mсто тогда, когда вектор OM 3/2 станет сона- M−−−−→oправленным вектору M3/2M ∞. Таким образом,M−−→вектор OM 3/2 должен быть повернут на уголβ = 135◦+360◦m = 3π4 + 2πm (см.
рисунок).3λСледовательно, h = 8 + m n−1.Легко также найти и значение максимума, т. к. длины√ векторов−−−−→−−→M3/2M ∞ и √OM 3/2 равны√ соответственно RF и2RF , тоImax = (1 + 2)2I0 = (3 + 2 2)I0.б) Минимум интенсивности будет иметь ме−−→M∞сто в случае, когда вектор OM 3/2 станет проти−−−−→воположно направленным вектору M3/2M ∞, т.е. M3/2−−→вектор OM 3/2 должен быть повернут на уголoM3/2β = 315◦+360◦m = 7π4 + 2πm (см.
рису315нок). Следовательно,аналогично √предыдущему случаюполучаем, что√λи Imin = (1 − 2)2I0 = (3 − 2 2)I0.h = 78 + m n−1в) Наконец интенсивность в точке наблюдения останется равной−−→I0, если вектор OM 3/2 будет повернут на угол β = 270◦+360◦m =3λ= 3π2 + 2πm. Следовательно, h = 8 + m n−1 .3/23/2225ooР.39. На щель шириной a перпендикулярно плоскости экрана падает плоская волна. Длина волны – λ. На щель нанесли прозрачноепокрытие, которое изменяет амплитуду проходящей волны по закону E = E0 cos(πx/a), где координата x отсчитывается от серединыщели. Найти интенсивность I(θ) волны, прошедшей под углом θ кпервоначальному направлению.E0E(θ) =aZa/2πxE0cos eikxxdx =a2a−a/2Za/2 −a/2i πxae−i πxa+e2π sin θxei λdx =1363E0=aКОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯθsin + πa sinλ2π sin θπa +λπ2−I(θ) = I0θsin − πa sinλ2π sin θπa −λπ2!θE0 4πaλsin θ cos πa sinλ=,22πa2sinθ−πλπa sin θ2aπλsin θ cos2λhi2 1 2asinθ−4λ.λРаспределение I(θ) имеет два максимума под углами θ1,2 = ± arcsin( 2a).Р.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
