1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В дифракционной решетке N 1 щелей. Пропускная способность каждой последующей щели по амплитуде в 2 раза меньше,чем у предыдущей, а фазы при прохождении соседних щелей различаются на α = π. Ширина щелей a мала. Расстояние между щелямиd a. Свет с длиной волны λ падает на решетку по нормали. Интенсивность света, прошедшего через первую щель, равна I0.
Найтиинтенсивность прошедшего через решетку света в зависимости от угладифракции θ.Для обычной дифракционной решетки имеемN −1 Z nd+aE0 XEθ =a n=0E0eikxxdx =andikx a/2= E0eZaesin u 1 − eikxN d··,u1 − eikxdkxa π sin θ=.2λНапомним, чтоN−1Xdx ·0гдеu=ikx x1 − qNq =,1−qn=0nN−1Xn=0eikxnd =3.6Решение типичных задач137знаменатель геометрической прогрессии у нас q = eikxd. Тогда2 2sin usin vI(θ) = I0·,uvkxd πd sin θ=.2λВ нашем случае из-за узости щели u ≈ 0 можно положитьа знаменатель прогрессииv=sin uu ≈ 1,1eiπ ikxd·e= − eikxd.q=22Поскольку N 1, то1 − qn11≈=.1−q1 − q 1 + eikxd/2ОтсюдаI(θ) = I011 + eikxd2I(θ) =1 −ikxd1+ e,2I0.πd sin θ524 + cosλР.41.
Найти угловое распределение интенсивности света I(θ1, θ2),дифрагирующего на прямоугольном отверстии размером a1 × a2. Светпадает по нормали к плоскости отверстия. Длина волны λ.Z a1 Z a2E0Eθ1,θ2 =dxdyei(kxx+ky y),a1 a2 00отсюда, опираясь на результат дифракции на одной щели, получаем2 2sin u1sin u2I(θ1, θ2) = I0·,u1u21383КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯгдеu1,2 =πa1,2 · sin θ1,2.λР.42. На экране наблюдается картина интерференции от двухY`Yпараллельных щелей, расположенных на расстоянии d друг от друга в постановке опытаd/2Юнга. Источник некогерентного света нахоZαдится на большом расстоянии a d от щелей и представляет собой равномерно светя-d/2щуюся полосу углового размера α0 1 (см.рисунок), параллельную щелям.
Расстояние отbaэкрана до щелей – b d, длина волны – λ.Найти зависимость видности V = (Imax − Imin)/(Imax + Imin) от dдля интерференционных полос на экране.0Рассмотрим результат прихода в точку P экрана с координатой y 0(расположенную под углом β к оси Z) двух лучей, вышедших из точкиS полосы с координатой y (расположенную под углом α к оси Z). Сучетом малости поперечных размеров по сравнению с продольнымиy, y 0 a, b имеем для путей r1, r10 и r2, r20 следующие соотношения:r1 ≈ a − αd/2; r10 ≈ a + αd/2; r2 ≈ b − βd/2; r20 ≈ b + βd/2.Тогдаik(r1+r10 )Ep = E0 eik(r2+r20 )+eik(a+b)= E0eik(α+β)/2e−ik(α+β)/2+e== 2E0eik(a+b) cos[kd(α + β)/2].Поскольку излучение полосы некогерентное, надо складывать интенсивности:dIp = |Ep|2dα/α0 = 4E02 cos2[kd(α + β)/2]dα/α0 =139= 2I0(1 + cos[kd(α + β)])dα/α0,Z α0/2h αi0Ip =dIp = 2I0 1+sin kd+β −2−α0 /2i h α0kα0d =− sin kd − +β2sin u= 2I0 1 +cos kdβ ,uгде u = kdα0/2 = πdα0/λ.Y`Максимальное значение cos kdβ = +1, аYPr′минимальное значение cos kdβ = −1.
Отсюдаd/21r1Sβαr2′IP max = 2I0(1 + sin u/u),Zr2α0IP min = 2I0(1 − sin u/u).-d/2aТаким образом, Imax − Imin sin u sin πdα0/λ =.V ==Imax + Imin u πdα0/λ bВ частности, V = 0 при u = π, т. е. при α0 = λ/d. Отсюда виденспособ измерения малых угловых величин.4.ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ~ = rot A,~B~ r, t) = −4πµ~j/c,A(~~ = − grad ϕ − 1 ∂ A~ ,Ec ∂tϕ(~r, t) = −4πρ(~r, t)/ε.Калибровочное условие~+divAεµ ∂ϕ= 0.c ∂t(1)1404ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕРешение уравнений в квадратурах√R ~j(x0,y0,z 0,t− cεµ R) 0 0 0µ~ y, z, t) =A(x,dx dy dz ,cR √R ρ(x0,y0,z 0,t− cεµ R) 0 0 01ϕ(x, y, z, t) = εdx dy dz ,R0 20 20 2 1/2где R = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ).Поляризационный потенциал (вектор Герца)R P~ (x0,y0,z 0,t−R/c)dV 0~≈Ze(x, y, z, t) =RRp~(t− rc )10 0 00~≈ r P (x , y , z , t − r/c)dV = r ,(2)(3)где p~ – дипольный момент, а P~ – вектор поляризации.
Тогда полеизлучения~ e), E~ = rot(rot Z~ e).~ = 1 ∂ (rot Z(4)Hc ∂tДля магнитного дипольного момента m(~~ r, t) имеемrm(t~−c)~Zm =.r(5)Тогда поле излучения~ = rot(rot Z~ m), E~ = − 1 ∂ (rot Z~ e).H(6)c ∂tДля точечного диполя, помещенного в начало сферической системыкоординат имеем~ e = (Z cos θ, −Z sin θ, 0),p~ = (p cos θ, −p sin θ, 0), Zгде Z =(7)p0 eiω(t−r/c);r ~e r~e r sin θ~eθα r1 ∂ ∂∂~e =rot Z∂r∂θ∂αr2 sin θ Zr rZθ r sin θZα(8)141iωcrω2c2Тогда Hr ≡ Hθ ≡ 0, а Hα = Z sin θ−.~ = rot(rot Z~ e) получаемДля вектора E1 iω,Er = 2Z cos θ 2 +rcr21 iω ωEθ = Z sin θ 2 +− 2 ,rcrcEα = 0.(9)~ H)~ = 0, т.
е. поля всюду ортогональны.Видно, что (EПоле в ближней (квазистационарной) зоне l r λ, λ = cT =ωпоэтому здесь 1r 2πc.2πcω ,Er = 2p(t) cos θ/r3, Eθ = p(t) sin θ/r3, Eα = 0,(10)ṗ(t)r sin θcr3=~J |[~r×dl]|.cr3Поле в дальней (волновой) зоне l λ r,1rHr = 0, Hθ = 0, Hα =iω p(t) sin θcr2=ω2πc .2sin θ, Er = 0, Eα = 0,Eθ = − ωc2 p(t−r/c)r(11)2sin θHθ = 0, Hr = 0, Hα = − ωc2 p(t−r/c)= Eθ .r~ H⊥~~ r, |E|~ = |H|.~ Модуль вектора ПойнтингаВ волновой зоне E⊥2¨p~(t−r/c) sin2 θc~ =|S|.4πc4 r 2c 21 ¨2 32dI = Sr dΩ = Eθ 2πr sin θdθ = 3 p~ sin θdθ;4π2cZ πdε 2 e2~a2I=dI(θ) ==.3dt3c02(12)(13)1424ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕВклад в интенсивность I магнитодипольного m(t)~и квадруполногомомента Qαβ (t) имеет вид2···2 (m̈)21Qαβ .I=+(14)3 c3180c5Рассеяние волн определяется сечением рассеяния – отношениемрассеянной мощности к падающему потоку S0:dσ =I1 dεdI, σ==.S0S0 S0 dt(15)Сечение измеряется в барнах; 1 барн =10−24 см2.Сечение рассеяния на свободной заряженной частице 2 28π 28πe=σ0 =r,3 m0 c23 e(16)2где re = me c2 .0Сечение рассеяния на упругой связанной частице28π 2ω4ω2σ = re 2= σ0.3 (ω0 − ω 2)2ω02 − ω 21.
При ω ω0, σ = σ0. 42. При ω ω0, σ = σ0 ωω0 = σ0λ0 4λv(17)1.λ4Энергия, излучаемая во всех направлениях при рассеянии потока частиц, характеризуется полным эффективным излучениемZ∞κ = 2π∆W (ρ)ρdρ,(18)0где ∆W (ρ) – энергия, излучаемая при одиночном столкновении двухчастиц, ρ – прицельное расстояние.4.1Распределение дипольного излучения.Ближняя и волновая зоны. Спектр143Распределение излучения по направлениям в этом случае характеризуется дифференциальным эффективным излучением dκ~nZ∞dκ~nd[∆W~n(ρ)]= 2πρ dρ,(19)dΩdΩ0~n (ρ)]– энергия, излучаемая в направлении ~n в единицу тегде d[∆WdΩлесного угла при одиночном столкновении с прицельным расстояниемρ, усредненная по азимуту в плоскости, перпендикулярной потоку частиц.
При дипольном излучении эта формула упрощается и приобретает видdκ~n1=[A + BP2(cos θ))] ,(20)dΩ4πc3где P2(cos θ) – полином Лежандра, θ – полярный угол между направлением ~n излучения и направлением z потока падающих частиц,Z+∞Z∞22πρdρp~¨ 2 dt,A=3−∞02B=3Z∞04.1.Z+∞222πρdρ~p¨ − 3p¨z dt.−∞Распределение дипольного излучения.Ближняя и волновая зоны. Спектр4.1. Получить из уравнений Максвелла систему уравнений дляпотенциалов при наличии токов ~j и зарядов, распределенных с плот~ = − 4π~j , ϕ = −4πρ, div A~ + ( 1 ) ∂ϕ = 0.ностью ρ : Acc ∂t4.2.
Исходя из условий для вектора поляризации в электроста~~ e, связанный с поляризациейтике ~jсвяз = ∂∂tP и введя вектор Герца Z~ e = −4π P~ , решение которого естьуравнением ZZ~ (x0, y 0, z 0, t − r0 )dx0, dy 0, dz 0Pc~e =pZ≈020202(x − x ) + (y − y ) + (z − z )1444ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕp~(t − rc )r000~P (~r , t − )dV =cr~ e = rot rot Z~ e; H~e =при l λ, l r, показать, что E(µ = ε = 1).1≈rZ1∂~c ∂t (rot Ze ),4.3.
Исходя из условий для вектора намагничения в магнитостати~ , полагая ρ = 0 и, следовательно, ϕ = 0 и введя векке ~jмол = c rot M~ m, связанный с намагничением уравнениемтор Герца Z~ m = −4π M~ , решение которого естьZZ~ (x0, y 0, z 0, t − r0 )dx0, dy 0, dz 0Mc~m = pZ≈(x − x0)2 + (y − y 0)2 + (z − z 0)2Z~ − rc )r0100 m(t~M (~r , t − )dV =≈rcr~ m = − 1 ∂ (rot Z~ m);H~ m = rot rot Z~ m.при l λ, l r, показать, что Ec∂tСравнить с результатами предыдущей задачи и записать решение дляизлучения от магнитного диполя по известному решению для электрического диполя.~ иH~ для точечного диполя с диполь4.4.
Найти поля излучения EZpθ→ →p, mθrprXным моментом:а) p~ = p~oeiωt;б) m~ =m~ oeiωt.Указание: использовать результаты двух предыдущих задач.4.5. Из решения предыдущей задачи найти поле в ближней (квазистационарной) зоне r λ. Показать, что для магнитного поля получается формула закона Био–Савара, а для электрического – поледиполя.4.6. Из решения задачи 4.4 найти поле в дальней (волновой) зоне( λ r).4.1dIdθРаспределение дипольного излучения.Ближняя и волновая зоны. Спектр1454.7.
Найти: а) угловое распределение интенсивности излученияот диполя; б) полное излучение dEdt от дипольного излучателя.4.8. Заряд движется с малой скоростью ~v и ускорением ~v˙ в огра-ниченной области размера a. Найти электромагнитное поле частицыв точках, расстояние до которых r a. Определить границы квазистационарной и волновой зон.4.9. Найти угловое распределениерассмотренного в предыдущей задаче.dIdΩи полное излучение заряда,4.10. Сравнить средние (по времени и по сфере радиуса r) полныепотоки энергии от элементарного вибратора, выходящие из ближнейзоны и приходящие в волновую.4.11. Показать, что длина основных электромагнитных колебаний√металлического шарового вибратора радиуса R равна λ = 4πR/ 3.4.12. Заряженный шар радиуса r = 0, 5 см соединяется прямымпроводником с незаряженным шаром радиуса R = 2 см.
Оценить время затухания электрических колебаний в системе. Длина проводника` = 1 м; диаметр d = 0, 1 см. Сопротивлением в системе пренебречь.4.13. Показать, что радиально осциллирующая сфера, несущаясферически симметричный заряд, не излучает.4.14. На поверхности сверхпроводящей сферы радиуса R созданоZраспределение заряда с поверхностной плотноrстью σ = σ0 cos θ, а поле вне сферы соответствуетθR0этому статическому распределению зарядов. Приt = 0 зарядам предоставляется свобода передвижения. Найти: а) зависимость электрического дипольного момента сферы от времени; б) электромагнитное поле внесферы. Указание: искать решение в виде поля электрического диполя,момент которого p~ зависит от времени.~ 0 находится сверхпроводя4.15.
В однородном магнитном поле H1464ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕщая сфера радиусом R0. Начиная с момента t = 0 радиус сферы уменьшается по закону R = R0e−vot/R0 ,0где v0 – начальная скорость поверхности сферы. а) Определить полную излученную энергию(H0 = 1 эрстед, v0 = 100 км/с, R0 = 10 см).б) Какова максимальная напряженность электрического поля на расстоянии 10 см ?→RH0На высоте h над проводящим полупространством наkпружинке с жесткостью k подвешено тело с заqрядом q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
