1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Предмет P (функция пропускания G0(x, y)) находится вГпередней фокальной плоскости линзы C, расD αCположенной в одной плоскости с призмой DP(преломляющий угол α). Предмет и призмаосвещены плоским когерентным пучком свеffта. Найти функцию пропускания голограммы,расположенной в задней фокальной плоскости линзы (получениефильтра, согласованного с предметом). Указание: использовать результаты задач 3.107 и 3.111.3.128. В передней фокальной плоскости линзы C1 находитсятранспарант T с функцией пропусканияTF0(x0, y0); в задней фокальной плоскости этойC MSCлинзы размещен фильтр S, согласованный сфрагментом G0(x0, y0) изображения на трансff (см.f предыдущуюfпарантезадачу).
Транспарант освещен плоским когерентным пучком. Найти изображение в задней фокальной плоскостиобъектива C2, расположенного так, что фильтр S находится в передней фокальной плоскости этого объектива.2111223.129. Найти спектр пространственных частот при прохождении плоской волны длиной λ через фильтр с функцией пропусканияT (x) = T0 + τ cos(κx), (T0 + τ . 1).1243КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯ3.130. Найти распределение интенсивности по экрану Э2, еслиX21пропускание транспаранта T (x) =λT0+τ cos(κx), а размер щели в экранеdЭ1 d < κλf /π. Расстояния междуffffэкранами, одинаковыми линзами 1 и 2Tи транспарантом равны фокусному расстоянию f линз.x0Э1Э23.131.
В установке, рассмотренной в предыдущей задаче, в качестве транспаранта использована полупрозрачная фотография, сделанная в снегопад. Каким должен быть размер щели d, чтобы «убрать»изображение падающего снега в плоскости экрана Э2? Чем определяется разрешение «исправленной» фотографии?3.132. Разрешение «исправленной» фотографии при «очистке отснега» (см. предыдущую задачу) можно улучшить, если в плоскоститранспаранта T поместить еще один транспарант с функцией пропускания T1(x) = T00 + τ 0cos(κ1x0) , (τ 0 T00 , τ1 + T 0 ≈ 1). Как нужновыбрать κ1, чтобы добиться этого улучшения? Чем теперь определяется разрешение?3.133.
В установке, рассмотренной в задаче 3.130, вместо транспаранта помещена решетка из взаимно перпендикулярных нитей толщиной d и расстоянием a между осями нитей. Щель в экране Э1параллельна одному из двух направлений нитей. Как будет менятьсяизображение на экране Э2 по мере уменьшения размера щели? (ОпытАббе–Портера.)3.6.Решение типичных задачР.32. Установить свойства зон Френеля для точечного источникаS монохроматических сферических волн: найти площадь и радиус n-йзоны.3.6Решение типичных задачrndSa1SrθPa1a2125Расстояние между центром сферы и точкойP − SP = a1 + a2.ТогдаZ1eika1 eikrE(P ) =E0·cos ψdS.iLa1rДля вычисления интеграла разобьем сферическую поверхность накольцевые зоны с центром в точке P и радиусом rn = a2n λ2 , гдеn = 1, 2, ... — целые числа.AНайдем радиусы кольцевых границ этих зонλa +naи их площади 4Sn = Sn − Sn−1, где Sn2ρSh— площадь сферического сегмента (Sn =PθB2πa1hn).aВыразим ρ2n из 4SAB и 4BAP :2λ− (a2 + hn)2.a21 − (a1 − hn)2 = a2 + n221nnn2Раскрывая скобки, получаемa21−a21−h2n+ 2a1hn =a22λ2+ n + na2λ − a22 − h2n − 2a2hn.42Пренебрегая слагаемым n2 λ4 (a1,2 λ), получаемhn =a2 nλa1 a2и Sn = 2πhna1 = πλn = nS1.a1 + a2 2a1 + a2Площадь любой кольцевой зоны4Sn = Sn − Sn−1 = πa1a2λa1 + a2не зависит от n и мала (пропорциональна λ).
Радиус зоныqpp2∼2ρn = a1 − (a1 − hn) = (2a1 − hn)hn = 2a1hn =1263КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ДИФРАКЦИЯ√a1 a2λn = nρ1.a1 + a2√√При a1 −→ ∞ ρn −→ a2λn, при a1 = a2 = a ρn = 2aλn. Например,√при a2 = a1 = 1 м, λ = 5 · 10−5см = 5 · 10−7мρ1 = √ 2 · 102 · 5 · 10−5 = 0, 1 см. Для a1 −→ ∞ и a2 = 1 м0,1ρ1 = 5 · 10−5 · 102 = √см ≈ 0, 07 см ≈ 0, 7 мм. Зоны для види2мого света очень узки.R R E0eikrР.33.
Используя интеграл Кирхгофа E =iλr cos ψdS, рассчитать вклад от n-й зоны Френеля для точечного источника монохроматического излучения с длиной волны λ, амплитуда волны – E0.r=rndSa1SψГраницы зоны a2 + (n − 1) λ2 и a2 + n λ2 .Расстояние между источником и наблюдателемSP = a1 + a2.
Вклад от n-й зоны:rrθPa1 + a2E0En =iλZeika1eikr2πa21 sin θdθ,cos ψna1rr2 = a21 + (a1 + a2) − 2a1(a1 + a2) cos θ.Найдем дифференциал этого соотношения: 2rdr = 2a1(a1+a2) sin θdθ,отсюдаrdrsin θdθ =.a1(a1 + a2)Подставим в интеграл:ZE0 a2+nλ/2 eika1eikrrdrEn =cos ψn2πa21 ·=iλ a2+(n−1) λ1 a1ra1(a1 + a2)Z a2+nλ/2eika1 2π= E0cos ψneikr dr.iλ(a1 + a2) a2+(n−1) λ1Заменим переменные: r = r0 + a2, тогда из-под интеграла уйдетмножитель eika2 и упростятся пределы интегрирования.3.6Решение типичных задач127Кроме того, учитывая узость зоны и слабую зависимость cos ψn отугла в пределах зоны, заменим cos ψn на его среднее значение cos ψnи вынесем из-под интеграла эту константу:ZE0eik(a1+a2) cos ψn2π nλ/2En =eikr dr,(a1 + a2)iλ(n−1)/λ/2Z nλ/22π (n−1) λλ i 2π n λi 2πri2Jn =e λ dr =e λ 2 −e λ,2πi(n−1)λ/2 λ2(−1)nλ iπniπ(n−1)e −e=,Jn =2π2πiтак какeiπn − eiπ(n−1) = 2(−1)n.Таким образом,2E0eik(a1+a2)En =(−1)n+1cos ψn.(a1 + a2)В частности, E1 =2E0 eik(a1 +a2 ),a1 +a2т.
е. в 2 раза больше амплитудыik(a1 +a2 )при полностью открытом фронте E = E0ea1+a2 . Кроме того, видно,что вклады зон образуют знакочередующийся ряд со слабо падающей,но падающей с ростом n зависимостью от n, обусловленной падениемcos ψn.Р.34. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Используя геометрическое представление вкладов зон Френеля, аналогичное спирали Корню, определить какова интенсивность I за экраном в точке, для которой отверстие равно: а) 1-й зоне Френеля; б) внутренней половине 1-й зоны; в) 1-й зоне, половина которой перекрытапо диаметру; г) полутора первым зонам; д) одной трети 1-й зоны?Используя вычисления, проведенные в задаче Р.33, можно пред-1283КОГЕРЕНТНОСТЬ, ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ.
ДИФРАКЦИЯM1MM∞oooставить амплитуду вклада от различных зон Френеля как комплексное число, изображаемое на комплексной плоскости в виде вектора сначалом в начале координат O (см. рисунок выше).На этой плоскости они будут представляться в виде векторов, модуль которых пропорционален амплитуде самих величин, а ориентациякоторых (угол по отношению к горизонтальной действительной оси)будет определяться значением их фазы (показатель мнимой экспоненты; он в точности характеризует набег фазы на соответствующей части зоны). Таким образом, если разбить зону на много малых равныхчастей, то вклад каждой из них будет представляться векторами одинаковой длины, каждый из которых, начинаясь в конце предшествующего вектора, будет повернут относительно него на дополнительныйугол, пропорциональный набегу фазы на этой части зоны.
Следовательно, при разбиении зоны на неограниченное число частей концывекторов, отвечающих за вклад каждой части, будут описывать дугу окружности. Поскольку набег фаз при прохождении одной зоныв точности равен π, то вклад каждой целой зоны будет изображатьсяполовиной дуги окружности. Таким образом, вклад первой зоны изоб−−→ражает вектор OM1.Аналогично, разбиение второй зоны на неограниченное число частей на рассматриваемой диаграмме описывается второй полуокружностью, начинающейся в M1 и заканчивающейся в O. Поэтому вектор, описывающий действие второй зоны, также будет чисто мнимым,3.6Решение типичных задач129−−→но направленным в противоположную сторону по отношению к OM1так что суммарное действие двух первых зон будет равно нулю. Суммарное действие n зон (если пренебречь слабой зависимостью от номера n вклада от каждой зоны), в зависимости от четности или нечетности n, будет либо нулевым, либо совпадать с действием только первой зоны.
Действие же необязательно целого числа зон будет описы−−→ваться вектором OM , оканчивающимся на уже образованной первыми двумя зонами окружности с центром, лежащим на мнимой оси (см.рисунок).Учтем теперь медленное уменьшение вклада очередной зоны по мере роста ее номера (оно определяется как постепенным уменьшениемплощади зоны, так и сопровождающимся падением коэффициента наклона).
На диаграмме этот процесс проявится, естественно, в постепенном уменьшении радиуса полуокружности, «отвечающей» за этузону; так как каждая из них начинается в конце предшествующей, то−−→конец вектора OM будет описывать свертывающуюся спираль (см.рисунок)4. Ясно, что центр спирали M∞ будет совпадать с центромуже построенной окружности, определяющей действие первых двух−−→зон. В соответствии со смыслом диаграммы вектор OM ∞ будет описывать действие полностью открытого волнового фронта.Отсюда очевидный и уже известный со времен Френеля результат:действие небольшого нечетного числа открытых зон в 2 раза по амплитуде U и в 4 раза по интенсивности I ∝ U 2 превышает действиеоткрытого фронта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
