1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эта падающая на границу волна, поверхности постоянной фазы которой представляют собой неограниченные плоскости, порождает волновой процесс в обеих средах, который мы собираемся исследовать. Практичесни достаточно, чтобы перечисленные условия выполнялись хотя бы приближенно. Например, падающая волна может быть сферической (от источника, находящегося достаточно дале лно от р ц ), тогда ее небольшие участки приближенно рассматриваются как плоские и к ним применимы результаты, полученные для неограниченных плоских волн.
Аналогично обсто ит дело в случае неплоской границы раздела, отдельные участки ноторой можно приближенно рассматривать как плоские. Для этого размеры таких участков должны быть велики по сравнению с длиной волны. шийся ха акте онохроматичность падающей волны предполагает т установив- в ши ся характер всех процессов. Полное электромагнитное пол, ключающее падающую, отраженную и преломленную волны, е, должно удовлетворять определенным граничным условиям, которые могут быть получены предельным переходом из уравнений Максвелла.
Эти условия заключаются в непрерывности тангенциальных составляющих векторов Е и В на границе. для цолучсиня грзничных условий можно взять контур в виде небольшой п ямоугольной петли АВОВ ( нс. 3.! (рнс. '. ), стороны АВ и ВЕ которой пврвллсльиы границе в с н ольшой пряраздела сред и прохолят по разные стороны от исс. Применим к ко ! . ' ) (или (2.9)( в иитегрвльиой форме и устремим длины сторон АВ и к контуру урввисинс ля ни с и ВЕ к нулю.
чтобы в пределе стороны АВ и ВЕ совпали нв грвинц . Т инцс. огдв цирку- иЕ ц в ктора Е в левой части (!.!2) сводится в пределе к Е га/ — Е,И, Еь и 1, — проекции векторов Е, в первой и второй средах нв нвпрввлеине искторв т, пи пврвллельиого границе (и сторомс АВ), в поток вект — ив В й и в право части обрвщ ется в нуль, твк кзк площадь ахватыивсмой контуром повс рхности стремится к нулго. Отсюда и следует, что Е1,= Еь. Аивлогичяо нв основе интегральной формы уравнения Мвксвсллв (2.7) можно поквзвть, что В1, = В!, (при отсутствии повсрхиостных токов нв границе). Твк квк вскl л тор т может иметь любое нвпрввлсние в плоскости л л! л грвиицы (т.
с. двв ислввисимых компонента), то здесь мы имеем четыре мезввмсимьш грвничных условия, которые справедливы лля любых неприрывных сред. Еще двв грвиичных условия можно получить из урввисний Максвелла (2.6) и (2.8). Эти условия вырвжвют непрерывность нормальных состввлиющих векторов В и 0 нв грвмицс: В1, = Вг, 01, = Вг,. Но лдя мовохромвтячсских полей уравнения (2.6) н (2.6) являются следствием урввненнй (2.7) н (2.9). Поэтому граничные условия лля мормвльных составляющих нв дают ничего нового: они выполняются ввтомвтичсскн прн соблюдении условий для тянгвицнвльных состввляющнк.
Отметим, что наличие во второй среде только одной (преломленной) волны, уходящей от границы, не следует непосредственно из уравнений Максвелла, а основано на дополнительном пред- !!впрзвлсмии положении, известном как условие излучения. Можно обеспечить выполнение граничных условий, предполагая во второй среде наличие двух волн, одна нз которых распространяется от границы, другая— к границе. Так пришлось бы поступать при исследовании волнового процесса не в полубесконечной среде, а в слое, ограниченном с двух сторон (в плоскопараллельной пластинке).
Разные предположения приводят к разным результатам. Условие излучения, связанное с арин!(илом причинности„дает критерий отбора имеющих физический смысл решений: возбуждаемое тело может порождать лишь уходящие от него волны (отраженные, рассеянные и т. и.). В задаче о преломлении на границе полубесконечной среды физический смысл имеет решение, основанное на предположении о наличии только грех волн: падающей, отраженной и преломленной. а рис 3.2 показаны направления рассматриваемых волн. Все величины, относящиеся к распространяю!цимся в первой среде с показателем преломления и! = у/е~ падающей и отраженной волнам, будем отмечать соответственно индексами О и 1, а к преломленной волне во второй среде с показателем преломления лз = у'вт — индексом 2.
Первую среду считаем прозрачной, для второй среды такого предположения пока делать не будем. Для каждой из трех плоских волн используем комплексную запись. Таким образом, на границе с Хыг — ьп гг Ю ! — О с 1!Ь,г —,О (Ез!) В ейьгг '!) 1 В !!ь*г ™'Π— В Хьг™ О и* " + !.е! * ' = т.е Чтобы граничные условия выполнялись в любой момент времени, коэффициенты при ( в поназателях экспонент для всех трех волн должны быть одинаковы.
Поэтому частбты отраженной н преломленной волн равны частоте ш падающей волны, что, впрочем, очевидно, если эти волны рассматривать как результат сложения вторичных волн, излучаемых зарядами вещества при их вынужденном движении*. * Прн больших вмплитудвх ивпряженности поля пвдвющей волмы, срввиимых с внутривтомными полями, вынужденные колебания атомных осцилляторов могут происходить пс только ив чистоте падающей волны.
ио и нв кратных частотах, что приводит к появлению гврманмк в преломленном и отраженном излучении (см. гл. !О/. йы = йт = Ао. =(ы/с)п~ь)пгр. (3.2) Остается найти нормальные границе раздела компоненты волновых векторов отраженной н преломленной волн. Для этого воспользуем- ся соотношением (2.23), согласно которому йз = йт„[- йт„=(ыт/ст)в,, йт = )г»„+ йтт, = (ыт/ст)вт.
(3.3) Учитывая (3.2) „находим ы ы йы = — йо, = — — п~соьгр, Ат. = — вз — а~ь)п гр. с с (3.4) Величина Атг в поглощающей среде (при комплексном значении ат) комплексна. Оиа будет комплексной (чисто мнимой) и в прозрачной среде, если ь!и гр)вт/е~ (условие полного отражения). Эти случаи будут рассмотрены ниже. Если вторая среда прозрачна и ь)пгр( ь?вт/в1=па/п~ то из (3.2) следуют известные законы отражения и преломления света, определяющие направления отраженной и преломленной волн. Учитывая, что йо, = (о»/с)п~ ь)пгр, йы = (ы/с)п, япгрь йт„= (ы/с)пть)перь находим (3.51 гр1 =гр, п~ь)п~р = пзь)птрт.
Эти законы получены без каких бы то ни было предположений отно- сительно комплексных амплитуд Е, в (3.! ) и поэтому справедливы прн любом состоянии поляризации падающей волны. Контрольные вопросы Каким условиям доажкы удовлетворять векторы здектрического и магиитиого полей ка границе раздела? К какому условию приводит каждое из уравиеиий Максвелла 12.6)— (2,з)» Сколько иезависимых условий ддя векторов заектромагиитиого поля должке выпоаияться иа гравице? ~ Поясиите.
как из граничных условий 13.1) вытекают геометрические законы отражения и яреаомаепия света. 1И Направим ось з перпендикулярно границе раздела. Углы гр, Чч и 1рз, образуемые волнами с осью з, называют соответственно углами падения„отражения и преломления. Граничные условия должны выполняться сразу во всех точках границы раздела.
Это возможно лишь тогда, когда зависимость Е, и В, от координат точки в плоскости ху у всех трех волн одинакова, т. е. равны. тангенциальные компоненты й„й„их волновых векторов. Отсюда следует прежде всего, что направления распространения всех трек волн лежат в одной плоскости, проходящей через ось з (плоскость падения). Выберем в качестве нее плоскость хз (рнс.
3.2). Таким образом, Хй. ямгрытпы я»рвнпии Прн выводе законов отражения и преломления информация, содержа- щаяся в граничных условиях (3.1), не была использована пол- ностью: для соблюдения (3.1) комплексные амплитуды отраженной и преломленной волн должны иметь вполне определенные значения при заданной амплитуде падающей волны.. Поэтому граничные условия (3.1) позволяют определить не только направления отра- щенной и преломленной волн, но и их амплитуды и состояния поля- ризации.
Ограничимся пока случаем прозрачных сред н, кроме того, бу- дем считать. что выполняется условие ь)п~р(пт/пг, при котором во второй среде существует преломленная волна [т. е. значение Ат, в (3.4) вещественно[. Противоположный случай полного отражения ь)пгр)пт/п~ рассмотрен в $ 3.3. Разложим каждую из трех волн в (3.1) на две составляющие: поляризованную в плоскости падения (снабдив ее индексом 11) и поляризованную в перпендикулярном плоскости падения направле- нии (индекс ) ). Дли векторов Е и В, лежащих в плоскости паде- ния, условимся выбирать положительные направления в каждой из волн так; как показано на рис.
З.З. В перпендикулярной плос- кости положительное направление задается единичным вектором ), напРавленным вдоль оси У. Таким обРазом, Ео — — Ео 1, Ео — — Еоео 1 и т. д. Вектор В в каждой из трех волн выражается через соответст- вующий вектор Е с помощью соотношения (2.21), что дает следую- щую связь между амплитудами Е, Е и В, В Х 1 Х. 'Во — — пгЕо~ео, В~г = п,Ег еы Вт~ =птЕтет, Щ = — п,Е~Д, В", = — п,Е1[, Вт~ = — птЕт)1. (3.6) Используя соотношения (3.6), четыре граничных условия (3.1) можно переписать так, чтобы в них входили амплитуды напряжен- ностей только электрических полей каждой из волн.
Учитывая, что ЕΠ— — СОЬГР, Е~ = — СОЬГР, Еах=СОЬ ГР», ПОЛУЧаЕМ: л,сове — л»секач ез г з. 2л~совгг Ек л,созгр+л»созгр» ' к~созе+лгсозцч о ° (3.8) Еоь+Е)ь =Ет, п,соьгр(Ео — Е~ )=пзсоьгр»Ет . г (3.7) п~(Е1 + Е[)= птЕ[, соь гр(Ей — Е)) = сов грт Ет. Заметим, что эти уравнения распадаются на две группы, одна из 3 которых содержит только компоненты Е, д)»угая — компоненты Е, т.
е. Е)ь и Етл выражаются только через Ео. н не зависят от Ео, и наоборот. Это значит, что волны указанных двух типов можно рассматривать независимо друг от друга Уравнения (3.7) можно разрешить относительно компонент отраженной и преломленной волн, выразив их через компоненты падающей волны: птсовт — п~совчп Ейо») 2п~соач пасов ч+ п1совво ' птсовп+ п~стжзв (3.9) Эти соотношения, называемые формулами Френеля, полностью определяют характеристики отраженной и преломленной волн. Их обычно пишут в несколько иной форме, которую можно получить нз (3.8) и (3.9), исключив а~/ла с помощью закона преломления (3.4): Мп( — аг2» Е г Ел 2совы елпэ в$п(Ч+Чт» в!П(В+ят) Щы — Чв» .~ Е~ 2совйв!п Чт фп(Ч+Чт» * елп (\ф+яп)оов(Ч вЂ” Чт» (3.10) (3.!!) В, случае нормального падения 9=0 и, следовательно, фа=0.
Тогда соотношения (3.8) принимают вид Е1 =(п1 — п3 Ео/(а~+па), Еа=2п~Ео/(п~+пт) е, При этом различие между параллельной и перпендикулярной компонентамн исчезает, так как теряет смысл понятие плоскости падения. Заметим, чю при переходе к случаю нормального падения в формулах (3.9» для Е~ получается выражение, отличающееся знаком от (3.12). Это отличие чисто формальное и возникает из-за того, что в соответствии с принятым выше определением положительное направление для Е! (рис. З.З) при нормальном падении совпадает с отрицательным направлением Е(н тогда как положительные направления Е~~ и Еоо всегда одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
