1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Например, для сероуглерода Майкельсон нашел с/и= 1,76, тогда как обычное определение показателя преломления дает п= 1,64. Объяснение расхождений было дано Рэлеем, выяснившим сложный характер самого понятия скорости волнового движения. С этим понятием связан широкий круг проблем, касающихся кинематики волнового движения и поэтому общих для волн разной физической природы.
Понятие скорости возникло в механике для описания движения частицы (материальной точки). В волновом движении происходит перенос состояния (т. е. значений поля) из одного места в другое. В общем случае понятие скорости здесь неоднозначно. Остановимся на этом вопросе подробнее. В среде без дисперсии (для электромагнитных волн, строго говоря, только вакуум дает пример такой «среды», хотя вода, воздух и многие газы характеризуются очень слабой дисперсией в видимой области) всякое возмущение распространяется без изменения своей формы„ и введение скорости волнового движения не вызывает затруднений.
Но в среде с дисперсией возмущение по мере распространения деформируетсн, и понятие скорости становится з- >евз 129 вл 1 =зг/г аэа неопределенным. В таком случае требуется сначала сказать, что мы будем по определению называть скоростью распространения. Например, для движения изменяющего свою форму облака не существует однозначного понятия скорости: можно говорить и о скорости его переднего края [«фронта»), и о скорости его центра тяжести, и т. д. Аналогично обстоит дело со скоростью волнового движения в диспергируюшей среде.
Здесь приходится вводить ряд понятий: скорость группы, скорость энергии. скорость фронта, скорость сигнала и т.д. Понятие фазовой скорости, использовавшееся во всем предыдущем изложении, при наличии дисперсии применимо только к моно- хроматической волне, бесконечно протяженной в пространстве и во времени. Но такая волна непригодна для передачи сигнала, и сама постановка подобных вопросов требует отказа от монохроматической идеализации. В любом опыте (в том числе и в описанных выше опытах по измерению скорости света в веществе) мы всегда имеем .более или менее сложный импульс или, как говорят, «волновой пакет», ограниченный в пространстве и ао времени. При определенных условиях деформация («расплывание») волнового пакета происходит медленно и можно говорить о его скорости как о скорости какой-либо точки пакета, например точки максимальной амплитуды.
Стокс впервые обратил внимание на то, что скорость пакета будет отличаться от фазовой скорости любой из составляющих его монороматических волн. ля лучшего уяснения сущности этого вопроса рассмотрим модулированную волну, нозиикающую в результате наложения двух моно- хроматических волн одинаковой амплитуды с близкими значениями длины волны л.
и Х+ЛЛ. В результирующей волне максимумы ам- Группы волн, вовннкаквнне прп сложении двух волн с длинами Х и х + зд уды будут в тех местах, где «горб» одной волны совпадает с горбом другой. Там, где горб одной волны совпадает с «впадиной» другой, результирующая волна имеет нулевую амплитуду. Все вместе это выглядит как последовательность отдельных волновых групп (рис. 2.15). При ЛА«Х каждая группа содержит большое число периодов. Если скорости складываемых волн одииаковы, то результирующая модулированная волна распространяется с той же скоростью„ не изменяя своей формы. При наличии дисперсии монохроматические составлян>шие имеют несколько различающиеся скорости и и о+Ло.
Поэтому взаимное расположение их горбов и впддин меняется с течением времени (рис. 2.15). И хотя общий вид результирующей волны остается прежним, центры отдельных групп с течением времени смещаются относительно положения отдельных горбов и впадин. т. е. движутся с иной скоростью, нежели складываемые моиохроматические волны. Скорость движения центров этих групп называют групповой скоростью. Найдем ее.
Будем для определенности считать, что скорость монохроматических волн растет с увеличением длины волны (нормальная дисперсия). Тогда нижняя волна на рис. 2.15, имеющая длину Х+Лл., обгоняет верхнюю волну с длиной Х. Пусть в какой-то момент времени совпадают горбы Р и Рь т. е. центр группы волн приходится на точку Р. Через некоторое время т горб Р1 обгонит Р, но зато совпадут горбы (,> и Яь Это значит, что центр группы волн за это время сместился назад на одну длину волны 1, и совпадает с точкой Д. Поэтому скорость и центра группы меньше фазовой скорости верхней волны на й/т: и=о — Х/т.
Время т, в течение которого горб 1„11 догоняет (~, как легко видеть из рнс. 2.16, равно Л1./Ло. Поэтому выражение для групповой скорости (формула Рэлея) в пределе Лтг-»О принимает внд и= о — Х до/дХ. (2ЗО) Когда фазовая скорость монохроматнческих волн о не зависит от длины волны (т.е. отсутствует дисперсия), оо/Ы=О и группован скорость совпадает с фазовой.
При нормальной дисперсии ! кеда К выводу формулы длп групповой скорости волн 4о/бЛ,. 0 и групповая скорость меньше фазовой: и(и, В области аномальной дисперсии до/ЙЛ(0 и формула (2.90) дает. и=: о. Например, в случае гравитационных (т. е. обусловленных силой тяжести) волн на поверхности воды в глубоком водоеме фазовая скорость пропорциональна рЛ:о=С~1/Л . Применяя формулу Рэлея, получаем и=о/2 — центр группы таких волн движется вдвое медленнее, чем отдельные горбы и впадины.
В случае коротких (Л(1,7 см) капиллярных волн, обусловленных силами поверхностного натяжения, о=Се/р'Л н и= /ео — центр группы бежит в полтора раза быстрее. о всех опытах по измерению скоро- В сти света, основанных на прерывании (модуляции) света, измеряется именно групповая скорость. Это относится и к астрономическим методам Ремера н Брэдли, хотя здесь свет распространяется в вакууме, где нет дисперсии и групповая скорость совпадает с фазовой. В опытах Майкельсона с водой и сероуглеродом измерялась групповая скорость, но для воды в видимой области значение дп/бЛ нвсголько мало, что практически и=о, поэтому и получается с/ижс/о=а.
В сероуглероде Лдп/ЙЛ дает заметный вклад и и(о=с/и, что и обнаружил Майкельсон. Тщательное измерение зависимости н(Л) для сероуглерода показывает, что найденная Майкельсоном величина действительно сооответствует групповой скорости, выражаемой формулой Рэлея. Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой п(Л), предложенный Эренфестом, Как ясно из рис. 2.17, отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной к кривой о(Л), проведенной в какой-либо точке А этой кривой, равен как раз р — Лдр/ЙЛ, т.е.
групповой скорости при данной длине волны Л. формула Рэлея (2.90) справедлива не только длн скорости перемещения огибающей бесконечной череды волновых групп, которая получается при сложении двух монохроматических волн. При определенных условиях она характеризует также скорость движения центра одиночного волнового пакета, образованного непрерывным набором монохроматических составляющих. Эти условия касаются как самого волнового возмущения, так и свойств среды, в которой оно распространяется: для тех длин волн из интервала ЛЛ, которые входят в состав рассматриваемого возмущения, фазовая скорость р(Л) монохроматических волн в среде ~ ле должна с хорошим приближением представлять линейную функцию длины волны.
Другими словами, групповая скорость (2.90) в пределах интервала длин волн ЛЛ должна р л л быть постоянной. Смысл этого условия легко 2. Гг понять из рис. 2.17: если огибающая суммы Графическое определение двух монохроматическнх составляющих из групповой екораств интервала ЛЛ перемешается с одной и той '.Ф;:р)~е.скорвстью и, то и весь импульс будет перемещаться с этой азюростью, не изменяя своей формы. В таких условиях групповая лзгорость (2.90) может служить адекватной характеристикой ско:.рости волнового процесса. зъассмотрим вопрос о скорости Рис р просгранения энергии, переносимой электромагнитной волной.
Пусть в среде имеется монохроматическая волна. Энергия пропорциональна квадрату напряженности поля, а так как одинаковые значения напряженности (например, максимумы) перемешаются с фвзовой скоростью, то, казалось бы, с этой же скоростью будет распространяться и энергия. Однако в действительности такое утверждение бессодержательно, так как оно не может быть проверено экспериментально. При распространении неограниченной в пространстве монохроматнческой волны средняя за период энергия произвольного элемента объема будет оставаться постоянной и ви о каком наблюдаемом потоке энергии сквозь какую-либо поверхность говорить не приходится. Изменение энергии в каком-то объеме среды можно констатировать лишь тогда, когда мы имеем ограниченный волновой цуг или группу волн.
Поэтому движение энергии следует отождествлять с перемещением изменений амплитуды, и в тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (т. е. волновой цуг или импульс распространяется не расплываясь), она совпадает со скоростью переноса энергии: ормула Рэлея (2.90) удобна для вы- <Ю> ( > 1 числения групповой скорости в тех случаях, когда фазовая скорость задана как функция длины волны: о=о(Л). Однако часто бывает удобно вместо Л использовать волновое число (модуль волнового вектора) й=2п/Л и рассматривать о=о(й).
Тогда вместо (2.90) можно написать и=о+В по/йй. (2.9! ) Если выразить здесь фазовую скорость через частоту о =м/й и рассматривать частоту как функцию волнового числа м=м(й), то от (2.91) придем к другой (эквивалентной) формуле для групповой скорости: и=бее(Ф)/г1й. (2.92) Еше одна эквивалентная форма соотношения (2.90) полезна тогда, , когда свойства среды характеризуются показателем преломления, заданным квк функция частоты н=я(м): и = сДн+ ал(б н/дм)1.
(2.93) Пусть, например, модулированная волна или отдельный волновой импульс (с достаточно узким спектром) распространяется в прозрачной разреженной среде, показатель преломления которой ° 33 мало отличается от единицы, Вдали от собственной часто ы атомных осцилляторов их затуханием можно пренебречь, и зависимость показателя преломления от частоты выражается фо млой (2.39): л(оз) ж1+ со,'/(2(ыот — оР)1. При ы)ы фазовая скорость а=с/л оказывается болыпе скорости света в вакууме, что, как уже отмечалось, не противоречит теории относительности, так как фазовая скорость характеризует бесконечно протяженную монохроматическую волну, которая не может слжить для передачи сигнала. Если волну с частотой ы)ы прона лировать, то распространение модуляции (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
