1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 120
Текст из файла (страница 120)
12) Эту систему, как и уравнение (10.2) для ангармонического осцнллятора, можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении правые части отбрасываются, и (10.9)— лвт Я уравнения Максвелла (2.3) — (2.4), описывающие распространение света в веществе, поляризованность Р среды входит в качестве источников в правую часть. Когда в материальном уравнении (10.6), связывающем Р с Е, квадратичные н кубичные по степеням Е члены существенны, подстановка Р в уравнения Максвелла приводит к системе нелинейных уравнений для векторов Е и В световой волны. Нелинейность уравнений означает нарушение принципа суперпознцин, согласно которому распространение световой волны в среде никак не сказывается на распространении других световых волн. Таким образом, справедливость принципа суперпозиции для света в веществе ограничивается приближением линейной оптики. Для описания нелинейных эффектов удобно разделить поляризованность среды на линейную и нелинейную части; Р=Р"+Р"".
Влияние обусловленных линейной частью Р зарядов н токов (т. е. источников полей в уравнениях Максвелла) удобно учесть, вводя вектор электрической индукции (10.12) превращаются в обычные однородные уравнения линейной оптики. Возможное их решение — плоская монохроматическая волна Е(г, 1)= Ео сов(йг — Ы), волновой вектор которой удовлетворяет соотношению (2.23): й'=е(ш)шз/с'.
Для нахождения следующего приближения в правые части уравнений (!0.9) и (10.10) подставим нелинейную поляризованность Р""=ео(хтЕЕ+хзЕзЕ+...), в которой Е(г, 1) заменено выражением из нулевого приближения. В результате получаются линейные, но неоднородные уравнения с известными правыми частями. Эти правые части можно рассматривать как дополнительные источники волн, обусловленные нелинейной поляризованностью среды. Каждый элемент объема среды дР излучает как осциллирующий диполь с дипольным моментом Р"'г()?. Если в нулевом приближении есть только одна монохроматнческая волна частотой ш, то эти осцилляции происходят на частотах ш, 2ш, Зш, ....
Соответствующие решения уравнений (!0.9) — (!0.12) нужно искать в виде распространяющихся в среде волн с такими же частотами. При этом для волны каждой частоты в левых частях уравнений (10.9) — (10.10) при переходе от !л к Е следует брать значение диэлектрической проницаемости е(ш) при той же частоте, т. е.
е(ш), е(2оз), е(Зш), .... Контрольные вопросы С' Как нужно видоизменить модель, используемую в классической злектроиной теории дисперсии. чтобы обънснить нелинейную полиризуемость молекул? Объясните с помощью модели ангармонического оспиллятора возникновение вторичных волн г кратными частотами.
! Какими причинами может быть обусловлена зависимость показателя преломления от интенсивности света? Какой вид имеет феноменологическое материальное уравнение длн нелинейной среды? В чем заключаетсн метод последовательных приближений для решении уравнений Макснелла и случае нелинейной среды> Рассмотрим нелинейные эффекты, обвторой гармоники условленные квадратичной восприимчивостью хе в (10.6). В поле монохроматической волны частотой ш нелинейная часть поляризованности имеет вид Рхл = еохаЕоЕо созе (йг — Ы) ='/зеохеЕоЕо + + /теохтЕоЕосоз2 (йг — шу).
(!о.!3) Первый член здесь не зависит от времени. Это значит, что в нелинейной среде при прохождении через нее интенсивной световой волны возникает статическая поляризованность, создающая постоянное однородное электрическое поле, как в плоском конденсаторе. Такой эффект получил название оптического детектирования, так как он вполне аналогичен выпрямлению переменного электрического тока и находит применение в детекторах мощных световых пучков.
В детекторе «проходного» типа измеряется напряжение на обкладках конденсатора, нанесенных на боковые грани нелинейного кристалла, возникающее при прохождении сквозь него лазерного импульса. Преимушество такого детектора заключается в том, что кристалл почти ие поглощает измеряемый пучок света. цторой член в правой части (!О.!3) изменяется со временем с удвоенной частотой основной волны: шт=2ш. С ним связана генерация второй гармоники в нелинейной среде. Представим его как вещественную часть комплексного выражения '/теохзЕоЕоехр [2г(!гг — шу)1 и подставим в правые части уравнений Максвелла (10.9) — (!О.!0). Частное решение этих уравнений, соответствующее вынужденным колебаниям на частоте 2ю, можно искать в виде Е(1)=Е~ ехр [2гХ Х(йг — шу)], В(1)=В~ ехр[2г(йг — ш1)1.
Используя также материальное уравнение (10.8)„из уравнений Максвелла получаем: !гЕ~=О, (10. 14) сей Х В~+ в(2ш)шЕ~ = — ~/тхзюЕоЕо, (10.16) !гВ~=О, (10.!6) !г Х Е~ — соВ1 О. (!О.!7) Из (10.14) и (!0.16) видно, что векторы Е1 н Вг ортогональны вектору й, а из (10.17) — что они взаимно перпендикулярны, причем векторы Еь Вг и й образуют правую тройку, как орты 1, 1, й. Выразим с помощью (10.17) В~ через Е, и подставим в уравнение (!0.15): с~й Х(й Х Е~)+е (2ш)ш~Е~ = — '/ехтш'ЕоЕо. (10. 18) Преобразуем двойное векторное произведение й Х (йХ Еь) = = й()гЕг) — йзЕг и учтем, что кЕ~ = О„а квадрат волнового вектора волны нулевого приближения удовлетворяет соотношению йт = е(оз)шд/се.
Тогда из (10.18) получим амплитуду напряженности Е, электрического поля вынужденной волны на удвоенной частоте: Е~= (10. 19) е (м) — е 12ы) Выберем ось г вдоль направления входящей в нелинейную среду интенсивной волны частотой ог. На границе среды (при г=О) амплитуда второй гармоники равна нулю. Чтобы удовлетворить этому условию, к найденному выше частному решению нужно прибавить общее решение однородной системы уравнений, соответствующей (10.9) — (10.!2). Такое решение представляет собой свободно распространяющуюся в среде волну Е(г, 1)=Езсоз(ктг— — шту) с частотой юз=2ш и волновым вектором йь удовлетворяющим соотношению йй=е(шз)шт/сз.
Ее направление распространения и амплитуду Ет следует выбрать так, чтобы на всей плоскости г=-0 суммарная напряженность поля вынужденной и свободной волн частоты 2аэ обращалась в нуль. В результате для второй гармоники получаем следующее выражение: 1 Е(я,()= Л"'"~" [-з(2йа-2ы() -.(йа 2 7)) е (аэ) — е (2м) (10.20) Здесь первое слагаемое представляет собой вынужденную волну, фазовая скорость которой совпадает со скоростью распространения полярнзованности, т. е.
со скоростью рэ исходной волны частотой аэ: рэ =с/п(ы). Второе слагаемое описывает свободное распространение в среде вторичных волн частотой 2аэ, которое происходит с иной фазовой скоростью иег а/п(2эв). Сложение волн одинаковой частоты 2вэ, но распространяющихся с различными фазовыми скоростями, дает волну (10.20), амплитуда напряженности которой периодически зависит от а, т.е.
от глубины проникновения в нелинейную среду: Зависимость интенсивности второй гармоники от а показана на рис. !0.2. Интенсивность обращается в нуль при (Аа/2 — й)а=тля, где т — целое число. В таких точках вторичные волны частотой 2аэ, нспущенные разными точкамн среды, гасят друг друга в результате интерференции.
Так как Ае/2 — й=[а(2вэ) — а(аэ))эа/с, то это условие можно записать в виде 7=2т!..„где расстояние =() /4)/[и (2аэ) — а(аэ)1 называют когерентной длиной. На интервале от 0 до 1мм фазовые соотношения таковы, что энергия от исходной волны передается второй гармонике, а на интервале от 1, до 21ем — возвращается в исходную волну. Этот процесс периодически повторяется по мере распространения исходной волны в нелинейной среде.
Пэ 2 Зависимость интенсивности второй гармоники от глубины проникновенна в нелинейную среду первые генерация второй гармоники В была осуществлена франкеном с сотрудниками в 1961 г. при прохождении импульса излучения рубинового лазера () =694 нм) через пластинку кварца. Излучение второй гармоники (Х= 347 нм) соответствует ближней ультрафиолетовой области. Измерения показали, что ее интенсивность испытывает осцилляции по мере наклона пластинки к оси лазерного пучка. Эти осцилляции объясняются изменением длины пути пучка в пластинке: когда (т эта длина равна нечетно- му числу длин 1..„, интен! сивность выходящей из пластинки второй гармоа 7!ааг а„ь э ники максимальна (рис.
10.2). Полученное из периода осцнлляцнй значе- ние когерентной длины хорошо согласуется с известными значениями показателя преломления для )э = 694 нм и ) = 347 нм. Однако коэффициент преобразования энергии основного пучка в энергию второй гармоники в описываемых опытах был чрезвычайно мал (-1О "). Лля кварца в случае ) =694 нм л(2аэ) — п(ы)= =0,025 и 1„.,=101=0,7.10 ' мм, т. е. эффективное расстояние, на котором энергия основного пучка передается второй гармонике, оказывается очень малым — всего лишь несколько длин волн.
Эту трудность в 1962 г. преодолели Джордмейн, Мейкер и Терхьюн, предложив простой н весьма остроумный метод согласованна показателей преломления для основного пучка и второй гармоники. Когда показатели преломления на частотах аэ и 2аэ одинаковы, когерентная длина 1, обращается в бесконечность. В этом случае на протяжении всего пути в нелинейной среде наблюдается переход энергии от исходной волны ко второй гармонике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
