Zienkiewicz, Taylor - The Finite Element Method. v. 2. Solid Mechanics (523194), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ТЬ!ь яшр1у оЬаегчеа йаг ГЬе г!!гесг аггеааеа гп йе попиа! с!!Гесг!оп, 2, аге япа11, йаг иь оГ йе огс!ег оГ арр1!ес) 1агега! !оаг! !пгепа!г!ея гГ, апс) Ьепсе Йгесг агга!иа !и ГЬаг г!!Гесг!оп сап Ье пер!ее!ей ТЫа 'гпсопяагепсу' !и арргох!шаг!оп Га сошрепаагес) Гог Ьу аааиш!па р!апе аггеаа сопг)!1!опв ш еасЬ 1аш!па. %'!ГЬ йеье пчо ааашпрг!опа !1 га еаау го аее 1Ьаг йе гога! шаге оГГ1еГоппагюп саи Ье с)еасг!Ьег! Ьу с)!ар1асешепга ир апс) по оГйе ш!г!г!)е аигГасе (- = 0) аис) а гогагюп д, оГйе попиа1. ТЬиа 1Ье 1оса1 г)!ар!асешепга !и йе с)!Гесг!опа оГГЬе х апг! ахеь аге га!сеп аа ТЬе р)а1е ргоЫепп Ф!с!г апд Ф(п Гоггпи(аг)опк ! ! 5 ТЬгее ег!иаг!апк оГ ес!ш!!Ьпшп согпр!е1е йе Ьаяс Гоггпи1аг!оп.
ТЬеке ег1ш1!Ьг!шп ег1иаГ!опк гпау Ье согпригег) г((гесг!у Ггот а г)!йегепг!а1 е!егпеп! оГ йе р!аге ог Ьу !пге8гагюп оГ йе !оса1 еци!1!Ьг!ит ег)иаг!опк. \Зк!п8 йе 1аиег арргоасЬ апг! аккшп(и8 кего Ьог!у апг! !пег!!а! Гогсек кге Ьаие Гог 1Ье ах!а! геки1гапг д Гдк д ~ ггпу. г! + г.:=~02 гс ~ — 02 дх~ „ (4.5) дР„ дх кгЬеге 1Ье кЬеаг ягекк оп йе гор апг) Ьоиогп оГ йе р(аге аге аккшпег1 го Ье гего. 8!гп!(аг1у, йе кЬеаг геки!гапг Го!!оик Ггогп ~ "+ — '~~*=о д 102 " = г!к+и-)7г — аЬ-~72 = 0 д.
1,„'- (4.6) дЯ„ — "+7. =О дх и Ьеге йе ггапкгегке 1оаг!1п8 д. апкек !гоги 1Ье геки!кап! оГ1Ье поппа1 ггасгюп оп 1Ье гор апг)/ог Ьояогп кигГасек. Е!па!!у, гЬе иютеиг ег!ш1!Ьгппп !к г!ег(исег) Ггот (а, а,.~, д Геа 142 — — со„г)г+ г, г!г дх — 02 02 =0 (4.7) =0 дМ, '+5,.=0 дх 1и 1Ье е1акВс саке оГ а р1а1е 11 Ы еаку го кее гЬаг йе 1п-р1апе Йкр!асешепгк апг( Гогсек, ис апг! Р„г)есоир!е Ггогп йе ойсг гегшк апг! йе ргоЫегп оГ 1агега1 г!еГогшаиопк сап Ье г(еа!с ютЬ керагаге!у. %е кЬа!1 1Ьик оп!у сопкЫег Ьепг)(пд 1и 1Ье ргекепг сЬаргег, ге!иго!п8 го йе согпЫпег( ргоЫеш, сЬагасгег!к!!с оГ кЬе11 ЬеЬах!оиг, ш 1агег сЬаргегк. Ециаг!опк (4.1) — (4.7) аге гур!са! Гог гЬ(с1с р!агек, аист гЬе 1Ып р!аге йеогу агЫк ап аг!г!!1!опа! акяипрпоп.
ТЫк ягпр1у пе81есгк гЬе кЬеаг г!еГогшагюп апг! рига б = сс. Ег!па!!оп (4.3) гЬик Ьесогпек Ь вЂ” О,.=О дх (4.8) ТЫк й(п р!асе аккигпрг!оп гк ес!шча1епг го кгаВп8 1Ьаг гЬе поппа1к го йе пв(г)1е р!апе гегпа!п поппа1 го Ь г(иг!п8 с1еГоггпагюп апг( гк йе кагпе ак 1Ье ие11-(гпокхп Вегпои11! — Еи!ег акяипр1юп Гог гЫп Ьеашк.
ТЬе й!и, сопкгга1иег! йеогу 1к чсгу 116 Р1аГе Ьепг))пд арргох1гпаГ(оп В!иди!а!1)у б' об (а) Ва!1-!и аирроп (с!аигреи) нг!1П и= н= иг= О, 0=0 (Ь) Егее езде игг!Ь М = О, 8= 0 (Р= 0) Вгпди1апгу дгагедагиеб Рдд'г! Неа! арргохипа!юп Сопчеп1юпаг !1)иаггагюи (а) = М„» = 0 881 (ао» аиррои) „- а, = 0 882 (Па!а аиррои) (с) 8!игр!у аирропеб сопи)!)оп Е)д. 4.2 5ирроп (епг)) сопИопг !ог а р!а!е ог а Ьеаиг. г!о!е. йе сопнепгюпа1)у 1!)иагга!ед напр)е юррои !еаг)ь !о )пдппе г)11р!аСЕгпеП! — Геа1!!у а г)1((егеи!.
(4.9) и = — гВ„(х,у) э = — гВх(х,у) и = гга(х,») и Ьеге нче поге йа! Йар!асеигеп! рагагпе1ега аге ионн Гппсдопа оГ х апг) у. нч)де!у иаег) гп ргасг)се апг) ргочея аг)ес)иа!е Гог а 1агде ппп1Ьег оГ а)гас!ига! ргоЫепга, йоидЬ, оГ соигае, аЬоиЫ по! Ье га(геп 11!егаПу аа гЬе ггие ЬеЬачюиг пеаг аиррогга ог а Ьеге!оса1 1оаг( асг(оп (а ппроггап! апг( Ы йгее Йгпепяопа1. 1п Гц.
4,2 чне 111иаггаге аогпе оГ йе Ьоипг(агу сопг(1!)опь ипроаег( оп р1а!еа (апг( Ьеагпа) апг( (шгпег((аге!у посе йаг йе г)(адгаиггпагк гергеаеп(аг(опа оГ а(гпр!е апррог! аа а (гп)Ге ег(де нчои(г( 1еаг( го (пГгп)ге г))ар1асегпепгь апг( аггеааеа ОГ соигае, )Га г)д)г) Ьгас(ге! Оа аЫег) )и !Ье гпаппег аЬогчп !Ь(а нч)11 а!гег йе ЬеЬачюиг го 1Ьа! ччЬ(сЬ чнс аЬа11 депега1!у ааашпе.
ТЬе опе-г)ипепа(опа! ргоЫепг оГ р!а!ее апг1 йе гпггойк!юп ОГ )Ь(с(г апг( 1Ып аеашпргюпа ггапа1аге г)(гесг1у го йе депега! йеогу оГ р!а!ею 1п Г(д. 4.3 ъче !11иаггаге йе ехгепяопа песеааагу апг1 нчг)!е, Ы р1асе оГ Ег). (4.1) (аеашп|пд ио апс1 ио го Ье 2ЕГО) х( (а) (Ы йя. 43 Оейпбспь с! чапа Ь!е~ (сг р!а1е арргсгд!ваг(оса (а) Жр!асегсепгг апг( гсгапоп, (Ь) пгеьь гегсЬапга тье ь1га(пя гпау поп ье аерага1ег) ппо ьепг((па ((и-р(апе согпропепга) апг( ггапяхегае кЬеаг агоцра апг( иге Ьаче, гп р!асс оГ Ег!. (4.2), д — О дх д О ду д ду дх (4.!О) апг) — = хи — О (4. ! !) ди дх ди ду ТЬе р!аЧе ргсЫепп йк(г апг( 1Ып (сппа!41(спи 117 !18 Р)а!е Ьепд!пд арргох!та!)пп %е поге гЬаг пов ш адд!11оп го поппа! Ьепд!па шошепга М,. апд 3Х,., пов дейпед Ьу ехргеааюп (4.3) Гог йе х апд у д(гесг!опа, геяресбче!у, а гв(аг(па шошепг аг(аек дебпед Ьу гд2 †(4.12) 1пггодис!па арргорг!аге сопайипче геЬпюпя, а1! шошепг сошропепга сап Ье ге!агед со д!кр!асешепг дег(чаг1чеа.
Еог иго!гор)с е1аьг!с!гу че сап йиа впге, ш р1асе оГ Ег!. (4.3), = ВЕО (4.13) вЬеге, акаиш)па р!апе зггеаа ЬеЬач)оиг !п еасЬ 1ауег, 1 ч О и 1 О О О (1 — ч) г2 (4.14) вЬеге ч га Ро!еаоп'з га!ю апд В га дейпед Ьу йе яесопд оГ Ег(я (4.4). ЕигГЬег, йе ьЬеаг Гогсе геяийап!а аге (з,1 8 = ' = а(чи — О) Ы (4.15) рог !аоггор(с е!айаг(игу (!ЬоиаЬ Ьеге ве де!!Ьегаге!у Ьаче пог ге!агед 6 го Е апд и го а1!ов Гог рока1йу д!Йегепг яЬеаг г!а1д11!ек) (4.1б) а = кбс! ='(г Ь ~)=О (4.!7) апд, 1п р1асе оГ Ег!. (4.7), д д — О дх ду О д д ду дх И, + =ЕтМ+К=О (4.18) вЬеге ! га а 2 х 2 гдепдгу шагпх.
ОГ соигье, гЬе сопьйидче ге!адопя сап Ье ьппр!у депега11гед го ашкоггоргс ог 1пЬошоаепеоиа ЬеЬандоиг аисЬ аа сап Ье шашГеягед гТ аечега! 1ауегя оГ ша!ег!а)а аге аааешЫед го Гопп а сгчирояге. ТЬе оп!у аррагепг д!ГГегепсе га йе а!гас!иге оГ йе В апд а шагг(сея, вЬ)сЬ сап аЬчауа Ье Гоипд Ьу яшр!е 1пгеагаг)оп. ТЬе почегшпд ег!иаг!опа оГ гЬ1сЬ апд й1п р!аге ЬеЬагдоиг аге сошр!егед Ьу впг1па гЬе ег!и1!!Ьг!иш ге!агюшс Ааа!и ош1111па гЬе '!и-р!апе' ЬеЬанюиг нче Ьаче, 1п р!асе оГ Ег!. (4.б), ТЬе р!аГе ргоЫапп !Ыс)с апг! 1Ып !пипи)аг!опх ! 19 Ег!иаГюпх (4.13) — (4.18) аге йе Ьаях Ггогп ччЫсЬ гЬе хо1цгюп оГ ЬогЬ й!с)с апс1 гЫп р!агеа сап агагг. Еог 1Ыс(г р!агеа апу (ог а11) оГ гЬе !пг(ерепс(епг чаг(аЫех сап Ье арргох(гпаГег( 1пг!ерепг(еп11у, 1еаг(!п8 Го а ппхег1 Гогпш!аг(оп гчЫсЬ ие хЬа1! йаспаа гп СЬаргег 5 апг! а!хо Ьг(ейу (п Бес.
4.16 оГ гЫа сЬаргег. Гог гЫп р!агех гп м'Ь(сЬ 1Ье аЬеаг г(еГоггпагюпх аге апрргеааед Ес!. (4.15) ь геччг!ГГеп ах (4.19) ачги — 0 = 0 апг1 йе агга(п-г((ар1асегпепг ге1аоопх (4.10) Ьесогпе д2И, дх1 д и д г да дх ду (4.20) гчЬеге к ь гЬе гпагпх оГ сЬап8еа (п спгчагпге оГ гЬе р!аге. ()япд гЬе аЬоче Гопп Гог гЬе й!п р1аге, ЬогЬ 1ггег!ис!Ые апг) пихег( Гоггиа сап почг Ье чуг(ггеп. !и раг6сп1аг, Ь ь ап еаау гпаьег го е11пипаге М, Я апг( 0 апг) !еаче оп1у гч ах йе чапаЫе. Арр1у(п8 ГЬе орегагог хг~ го ехргеаа!оп (4.17), !гьегопд Ес(х (4.13) апг( (4.17) апс) Ггпа!1у гер1айп8 0 Ьу ГЬе чае оГ Ег!. (4.19) 81чеа а пса!аг ециаеоп (1ЛУ)гОЕах ге — 9 = 0 (4.21,' гчЬеге, пяп8 Ег1.
(4.20), х д~ д2 дг (Ехг) =,, 2 дх~' ду ' дхду 1п 1Ье сапе оГ ьоггору чу)ГЬ сопагапг Ьепйп8 аг((гпеаа В гЬь Ьесогпеа йе уче11- (спопгп ЬгЬаппоп(с ег)пагюп оГ р!аге Г(ехпге )где да, да ч1( ~ дх дх ду дуе) (4.22) 4.2.2 ТЬе Ьоцпдагу сопйбом 1. ЯхегГЬогаппгагу, гчЬеге г(1хр!асегпепга оп геагга(пег( рагь оГ 1Ье Ьоипг)агу а ге 81чеп арес10ег( ча1иех.* ТЬехе сопг(1г1опа аге ехргеааег( аа а =пх де=9„апг1 О,=дг ' !Чоге йы гп гьп р!агеа йе аресйкапоп ого а!опас аоГОГПаГкапу ареспаса ГГ, угу яр 14. !98 Ьы йк 'ь пог йс сапе ~п йк!с р!асса гепеге йе цсаппиеа агс !пдерепг!спг!у ргеасггоег!.
ТЬе Ьопиг(агу сопг)11юпх ччЬгсЬ Ьаче Го Ье (гпроаег) оп йе ргоЫегп (аее Е(га 4.2 апг) 4.4) 1пс1пг(е 1Ье Го!!оп'(п8 с1ааа(са! сопг(!г(опя 120 Р!а1е Ьепйпе арргох!гпабоп Воопдагу МП, МО5, апд соггекроп Фкр1асегпепе в,,е,, гч Ед. 4.4 Воппдагу !гас!гоп апд соп(ыца1е д~кр!асегпеп1, Гао1е: 1Ье Огпр!у коррог1ед сопдггоп герьппц М„= О, Яг = 0 апд иг = 0 !к !депг!са! а1 а согпег поде 1о креп(угад Я„= Я, = О, 1Ьаг !к, а с!агпред корроП. Тпгк !еадк 1о а рагадох д а сцгчед Ьоцпдапг (а) 8 гподе!!ед ак а ро!уцоп (Ы. Неге и апд к аге йгесггопк поппа! апд сап8епгга! го ГЬе Ьоппдагу сигче оГ 1Ье ппдд!е ко«гасе. А с1агпред ед8е ь а крее(а! саке кч(1Ь лего ча1пек акя8пед.
2. Т«ос«гоп Ьоиигуа«у, ч«Ьеге к!гека гекпаапск М„, М,, апд 5„(соп)и8аге со ЬЬе йкр!асегпепь Я„, Я, апд гч) аге 8!чеп ргексПЬед ча1иек. А Ггее ед8е ь а крее!а! саке чч(1Ь лего ча1пек акя8пес1. 3. 'Мгхед' Ьоипг!а«у сопгугггот, юЬеге ЬоЬЬ ггасдоп апд йкр!асегпепгк сап Ье крее(Ьес1. Турка! Ьеге ь 1Ье ягор!у кпррогсед ед8е (кее Г!8. 4.2), Гог 1Ьь, с!еаг1у, М„= О апд и = О, Ьпс П ь 1екк с!еаг гчЬегЬег М„, ог Я, пеедк го Ье 8!чеп. Крее!Пса!(оп оГ М„, = О ь р)гукгсаПу а гааге ассерсаЫе сопйггоп апд доек пог 1еад со й(Псц11!ек.
ТЬ(к кЬои!д аачаук Ье адорсед Гог 1Ь!с(с р!а1ек. 1п «Ьгп р(асек Я, ь апсогпагкаПу крее(Пед Ггогп гч апс) гче кЬаП Ппс1 сеггагп д((Псп!1(ек„ апд шдеед апопгааек, аккосга1ед гч(1Ь ЬЬь аккпгпрс!опох рог шяапсе, гп Е(д. 4.4 ъче кее Ьогч а крее(Пса!(оп оГЯ, = О а1 согпег подек ппр!кП (п 1Ып р!агек Гоппаеу!еадк го 1Ье ргекспрдоп оГ аП Ьоппдагу рагапгегегк, ччЬ!сЬ гк Ыеп11са! 1о Ьоппдагу сопйпопк оГ а с!а«пред р1а1е Гог 1Ьь рогпс. 4.2.3 Тйе !ггеднс! Ые, 1Ы!и р1а1е арргох(гу)акоп ТЬе 1Ып р!а1е арргохппадоп иЬеп сая !п сеппк оГ а яп8!е чаг(аЫе и ь с1еаг1у !ггедпс!Ые апд ь гп Гас! гур(са! оГ а йкр!асегпепг Го«гоп!а!!оп.
ТЬе ес(паг!опк (4.17) апс1 (4.18) сап Ье гчг(11еп со8есЬег ак длу)'м — д = О (4.23) апс( 1Ье сопк1!1пс!че ге!акоп (4.13) сап Ье гесакг Ьу ияпд Ес). (4.19) ак м = выл (4.24) 122 Р1аее Ьепг!!п9 арргохипаооп гчЬеге М„, М„, апг! 5, аге ргеасг!Ьег! ча)иеа апг! Гог гЫп р!а!ее !!ЬоидЬ, оГ соигее, ге!акоп (4.34а) !е ча1Ы Гог гЬ1с1г р!а!ее а1ео): дгч дХ !ч1„= — апг! Ь1, =— дп дг ТЬе геаг!ег ччП! гесо8пгае ш йе аЬоче гЬе гчеП-1гпоигп ш8гейепгх оГа гЪр1асетеп! Гогти!агюп (аее СЬаргег 2 оГ Чо1ите 1, апг1 СЬар!ег 1 оГ йь чо1шпе) апгГ йе ргосег!игеа аге а!гпоя ашогпаес опсе !ч! га сЬоаеп. 4.2.4 СоМпойу гецц1гегпеп1 аког йаре 1цпсбопь (С„сопбпцйу) 14.35) + Агх+ Агу+ апг! дгч — = Вг + Вг х + Вау + ду !4.36) ипгЬ а пшпЬег оГ сопяапга гп еасЬ ехргеаяоп !иаг еийс1епг го г!егегт)пе а ипн!ие ео!идоп Гог гЬе пог!а! рагагпегега ааеос!а!ег! МгЬ йе!ше. ТЬия Гог гпяапсе, гТ оп1у ггчо пог!еа аге ргеаеп! а сиЬ!с чапапоп оГ ю аЬои16 Ье регт1ее!Ые подпд гЬаг ди/дх апг! гч аге ерес1Пег! а! еасЬ поде.
Рбпи1аг!у, оп1у а 1гпеаг, ог ичо-гегт, чапаеоп оГ ди/ду гчои1д Ье регпиаяЫе. Р!д. 4.5 Сепг!па!у гецягегпепг 1ог поппе! ь!ореь Гп ЯесИопе 4.3 — 4.13 иге ичП Ье сопсегпег! иг11Ь йе аЬоче Гогпш1а!юп [а!агепд Ггот Ег!а 14.24) апг! (4.2б)), апг! йе ргееепсе оГ йе еесопг! г!ег1чаг!чеа гпгасагеа г!и!ге с!еаг1у йаг ие аЬаП пеег! С1 сопепш!у оГ гЬе еЬаре Гипсоопа Гог йе 1ггег!иЫЫе, йгп р!аге, Гогпш!агюп, ТЫе сопопшгу га гайсиП го асЫече апг! геааопа Гог гЫе аге 81чеп Ье!оиг. То епеиге йе сопдпшгу оГЬой гч апг! Ье погта! е!оре асгоаа ап гпсегГасе чче птаг Ьаг е ЬогЬ а апг! дге/дл опцие!у г!еЬпег! Ьу ча! иеа оГ пог!а! рагатегеге а1оп8 еисЬ ап гпгегГасе. Сопайег Бд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
