Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 57
Текст из файла (страница 57)
6.5.3 Кеднс1)оп оГ а Непи)$)ап Маспх Го Тг)д)аиопа( Гопи: ТЬе Ме$Ьод оГ Ьапсхоз Кгу(оч зег)непсев оГ чес$огз д, Ац, Аец, ... Ье!оп8$п8 |о аи и х и ша1пх А апд а яаг6п8 чес|ог ц и С" чгеге а!геаду нвед Гог |Ье депча6оп оГ йе ЕгоЬеп(нв поппа( Гиии оГ а 8епега! ша|пх )и Яесг)оп 6.3. ТЬеу а1во р1ау ап иирог|ап| го!е $и йе шейод оГ Ьапсгов (1950) Гог геднс)п8 а Негии6ап ша|пх |о $пд)а8опа1 Гоггп. С1ове!у ге1а|е|$ |о внсЬ а вес)пепси оЕ чес|огз $в а вег)пепси оГ внЬзрасев оГ С" К (г$, А):= зраи(|$, Ац, ..., А' '~Д, | > 1, Ко(д, А):= (О), сайе|$ Кгу(ои зрасез: К|(ц, А) $в |Ье внЬврасе зраппед Ьу йе Егз| | чес|огв оГ йе вег)пенсе (А"9), „. Аз |и Бес6оп 6.3, чче депо|с Ъу т йе 1аг8ев| ип$ех ! Гог |чЬ$сЬ ц, А9,..., А' 'д аге в6!1 1шеаг!у $пдерепдепЬ йа| Гв, дни Кг(д, А) = |.
ТЬеп т < и, А до К (д, А), йе чес|огв ц, Ад,...,А 'д Гопп а Ьаяз оГ К„(ц, А), апд йеге$оге АК (ц, А) ~ К (ц, А): 1Ье Кгу!оч зрасе К (ц, А) |в А-|пчапаи| аид йе шар х | ф(х):= Ах девспЬев а 1шеаг и|ар оГ К (д, А) |иго $|ве!Е. 1п Яес6оп 6.3 чче агпчед а1 йе ЕгоЬеп)нз и|а|пх (6.3.1) ъчЬеп |Ье шар ф |чав девсг)Ьед ий|Ь геврес| 1о йе Ьаяв ц, Ац,..., А 'ц оГ К (д, А). ТЬе Гдеа оГ |Ье Ьапс|юв шейо|$ )з с1ове!у ге!а|ед: Неге, йе и|ар ф )в девспЪе|$ чдй геврес| |о а врес$а1 огйопогта! Ьаяв ц„ця..., ц оГ К (ц, А), ччЬеге йе цг аге сЬозеп я|сЬ йа| Гог а!! | = 1, 2,..., т, йе чесзогв ц„ця..., д, Гопи аи огГЬопоппа1 Ьаяв оГ К,(д, А).
11 А = А" Гв а Непи)$)ап и х и ша|пх, йеп внсЬ а Ьаяз $в еая!у сопв|гнс|ед Гог а 8)чеп вгагг)п8 чес|ог ц. %ге аввшпе ц Ф 0 ш огдег |о ехс!н|$е |Ье |6|да! саве апд внррозе Ги адд)6оп йа1 !~9!~ = 1, ччЬеге !! !~ |з йе Енсйдеап ног|и. ТЬеп |Ьеге )в а йгее-|епи геснгяоп Гогиш1а Гог йе чес|огв ц; (яин!аг геснгвюпз аге Ггпо|чп Гог ог|Ьо8опа! ро1у- 363 6.5 Кдвдллддлл оГМадпсив до Бдлдр!ел гоглд поппа1в, сГ. ТЬеогедп (3.6.3)) цд ц. удцо. Ац; = у;ц; д + ддцд + у,.„, ц;.„Гог д > 1, (6.5.3.1а) дчЬеге Б.
иА (653.1Ь) у;,.д:= !)гд!! чч!1Ь г,:= Ац; — дгцд — удцд д цд,.:= г;/у,~„дТ уды ~ О. Неге, а11 соеЕГдс!епгв у„д)д аге геа!. ТЬе геснгяоп Ьгеа)св о(Е дч!й йе Гдгвг !пд)ех д =: дл чг)й уд„= О, апб йеп йе Го11одч!па Ьо16в дл = ид = днах д)дпд Кд(ц, А) Ркооп длге вЬодч (6.5.3.1) Ьу пн)нег!оп очег Ь С!еаг!у, ыпсе !Щ = 1, сЛе чесгог ц,:= ц ргочп(ев ап огйопоппа1 Ьаяв Гог К,(ц, А). Аввнпде подч гЬаг Гог водпе ! > 1 чесгогв ц„..., ц аге и!чеп, во йас (6.5.3.1) апд( врапГцд,..., цД = К;(ц, А) Ац, = ууцд д + ддцу + уу„ц,,, Егодп йе д)еЕдпдгдоп оГ дп апд) няпа йе дпд)нег!оп ЬурогЬеяв и и и у„„ц; ц;„, = ц, Ац; — буцу цг = О. гог д' = д' — 1,1Ье вагпе геавоп(па апд! А = Аи ЕдгвГ адче уу+дцу — додд = цу — д цу угцу — дцд-д = д цг-д) цг уу. ТЬе ог!Ьоаопа1!гу оГ йе цд Гог д' < Г апд! Ацг д = УУ-д цв-г + ~У-дцг — д + угцг йеп дгпр!у (Ац,)ицг = чг = у;, апг) йеге(оге ц;д,ц,„= О.
г ог д < у — 1 дче аег йе вагпе гевн)г Мй (Ье ай оГ Ацд = Удцд д + д)дц; + Уд,дцд,д.' и и4 (1 )и Р(па!!У, в!псе вРап(ц„..., ЦД = Кд(ц, А) ~ Ку(ц, А) Еог д' ~ У, дче а!во Ьаче Ац;и Кудд(ц, А), дчЬ!сЬ ппр1дев Ьу (6.5.3.1Ь) цуд.д и врап[цу „цп Ац;) ~ К;,(ц, А), апд( йеге(оге арап(ц„..., ц, Д ~ К,„(ц, А). %псе гЬеогйопоппа1 чесгогв Ьо16в Гог а1! д < р', апд! ГЬа( г, ~ О ид (6.5.3.1Ь) Гог а11 д < у.%е вЬодч йгвг йаг йеве вгагедпепгв аге а1во ггне Гогу' + 1, 1Е г, ~ О.
1п ЕасЬ йеп УУ„Ф О, дв апд1 ц, аге чче11 д)еГдпед! Ъу (6.5.3.1Ь), апд1 !!ц „!! = 1. ТЬе чесгог цг„)в оггЬо- аопа! Со аЛ! д); дч!ГЬ д ~ д: ТЬ!в Ьо!сЬ Гог д' = д, Ьесанве УГ„Ф О, Ьесанве 6 Бвепчв!ие РгоЫепв д„..., ц,, аге 1(пеаг!у (поерепоепг апг) г(!ш Кг„(д, А) ~ Г + 1 ае оЬга!и К;~,(ц, А) = врап[ц„..., ц „,~.
ТЬ!в а1во вЬоюв Г + 1 < т = гпах,. г((ш К,ЬГ, А), апг) !в < гп Гог йе Ьгеа)с-оГГ (пдех Гв оГ (6.5.3.1). Оп ГЛе ойег Ьапд, Ьу йе г)еГш!Г!оп оГ !в Ац;, е храп [ц,, „ц,,Д ~ храп [ц„..., д,,3 = К„(гГ, А), во йаЬ Ъесанве Ац; а врап[ц„..., ю);,Д = К;„(д, А) ~ К,,(ц, А) Гог ! < Гр, чче аег йе А-!пчапапсе оГК,,(гГ, А), АК,,(д, А) ~ К;,(ц, А). ТЬегеГоге !в > т, япсе К (ц, А) (в йе Гггвь А-!пчапап! внЪврасе ашот йе К;(ц, А). ТЬ!в йпаПу вЬояв !в = т, апй гЬе ргооГ (в согпр1еге.
П ТЬе геснгяоп (6.5.3.1) сап Ье ччпГГеп гп Геппв оГ йе шаГг5сев 6 Ув 0 У2 62 У1 о й:= [Г " !Л, ав а шагпх ецнаг)оп АД,. = ДД + [О,...,О, У,„Г,„] = Яд+ У,,д,,,ет, 1= 1,2,",,ш юЬеге е,:= [О,..., О, Цг а И' !в йе !й ах)в чесгог оГ й'. ТЬ!в евана!!оп !в еая1у чепцей Ьу сошраппа йе 11Ь со1шппв, ! = 1,..., 1, оп Ьой вЫев.
Хосе, гЬаг гЬе л х ! шаспсев Д; Ьаче огйопогша1 со1нгппв, Ц,"Д, = Г, (:= ! х ! Ыепйу гпавпх) апг) йе .Г, аге геа1 вушшеГг(с ГпгЬааопа! шаве!се. %псе ! = т !в ГЬе йгвГ !пг)ех мГЬ у ~, = О, йе шавпх Г !в !ггеднс!Ые, ав$ йе ргесег)!па шаШх ег)наг(оп гейнсев го (сГ. (6.3.3)) АД =Д .Г ччЬеге Д"Д =1 . Апу е!аепча1не оГ Г (в а!во ап е!шепча!не оГ А, ыпсе .Г в = хв, г ~ Оппр!!евх:= Д в Ф Оапг( Ах=АД г=Д .Г г=2Д ь=2х.
1Г т = и, (.е., 1Г йе шеГЬог) йоев пог геггпшаге ргегпаГнге! у югЬ ап т < п, йеп Д„!ь а нпЬагу шавпх, апг! йе Гг(г((ааопа! шаГпх,Г„= К'АД„)в нп(- гап!у япн!аг го А. Сочен апу чесгог ц =: д, мгЬ |!д!! = 1, йе шегЬод оГ Г.апсгов сопявгь оГ сошрнг(па гЬе пшпЬегв У,, до ! = 1, 2, ..., т, (у,:= 0), апг( гЬе ггЫ!ааопа! шагг(х.г Ъу гпеапв оГ(6.5.3.1). БнЬвецнепг!у, опе шау арр!у йе шеГЬвЬ оГ ЯесГ!оп 6.6 Со сошрнге ГЬе е(аепча1нев апг) е4епчесГогв оГ Г (апг( ГЬегеЪУ йоье оГ А). Сопсегп!п~ йе нпр1ешепгаОоп оГ йе шегЬод, йе ГоИочг!па гешаг)гв аге !и огг)ег: 365 6.5 пес)иес)еп о| Масгкее со я)лгр!ег гопп 1. ТЬе пшпЪег оГ орега||опв сап Ье гедисес! Ьу ш1годис)п8 ап аихй!агу чес1ог дейпед Ьу и;:= Асй — Удс г. ТЬеп г; = и; — 6)дг, апд йе пшиЬег 6 нА нц сап а1во Ье сошршед Ггош и|, япсе д,."д, г = О.
2. 11 !в по1 песеяяагу |о вгоге йе чес|огв д| )Т опе !я по| |п|егеяед !и йе е)8епчес)огя оГ А: 1п огдег |о саггу ои| (6.5.3.1) оп! у пчо аихй!агу чес|огв ю, во С" аге пеедед, вЬеге !шбайу а:= ц Ь йе рчеп ягаг6п8 чес|ог в|й (ц!~ = 1. 31)!й!п 1Ле Гойочдпй ргойгаш, вЬ)сЬ ипр!егпеп|в йе Еапсгоя а!8опйш Гог а рчеп Негпи6ап л х л ша|пх А = А™, ч„апд и„, )с = 1, ..., и, депо|с 1Ье сошропеп|в оГ и апд в, геяресбче!у: и:= 0;у,:= 1; г':= 1; 1: |Гу! ве 01Ьеп Ьей!п )Т |' Ф1 йеп !ог )с:= 1 ягер 1 ппгй л до Ьей!п Г:= ч„; ч„:= веГУ); и „:= — У;С епд; в:= Ач+ в; 6):= енв; в:= в — 6 ч; лг:= г |:= ) + 1' 7. '.=,„авив' його 1; енд; ЕасЬ вгер | -+ | + 1 гес!шгев аЪои| 5л яса)аг пш16рйса6опя апс! опе пш16р1|- сабоп оГ йе ша|пх А илй а чес|ог.
ТЬегеГоге, йе п|е|Ьос! !я |пехрепяче й А !в врагве, во йа| Ь )в раг6си1аг1у ча1иаЫе Гог яо!|Апй йе е!8епча1ие ргоЫеш Гог 1агйе врагве ша|псея А = А". 3. 1п йеогу, йе п|ейод Ь йш|е: |1 я|оря чдй 1Ье йгв| !пдех ! = гл < л чд|Ь уг„= О. Но мечет, Ьесаияе оГ 1Ье шйиепсе оГ гоипс)ой; опе чдИ гаге1у йпд а сошригед ус„= 0 |п ргас6се. г'ег, Ь )я пяиайу по1 песеяяагу |о регГопп |папу я|еря оГйе п|ейос1 ип6! опе йпдя а гего ог а чесу япай у,„: ТЬе геаяоп !в йа|, ипдег веа1с авяшпрйопв, йе 1агйея| апд вшайев1 е!8епча1иев оГ .У, сопчегйе чесу гарЫ!у ю!й |псгеаяпй | |овагд |Ье!агйея| апс! япайея| е|йепча1иея оГ А (Каше1-Ра!8е йеогу: вес Каше1 (1966), Ра!8е (1971), апд Баад (1980)).
ТЬегеГоге, й опе |я оп! у |п1егея1ес1 ш йе ех1ге|ие е|8епча!иев оГ А (вЬ~сЬ !в с!ш|е Ггес)иеп))у йе саяе !и аррйса6опя), оп!у ге1а|Ые1у Геъч в)еря оГ Г.апсхов' п|ейод аге песеяяагу |о йпд а .Уо г «л, вЬЬ ех|ге|пе е|8епча!иев йаг а1геас!у арргохпиа|е йе ех|ге|пе е!8епча)иея оГ А |о шасЬше ргес)яоп. 4. ТЬе п|е|Ьод оГ Ьапсгоя илй 8епега|е огйойопа1 чесгогв д| оп1у !и йеогу: 1п ргасбсе, дие |о гоипдой, йе чес|огв д, ас|иайу сошри|ед Ьесоп|е )еяв апд !еяя огйойопа! ая ) шсгеавея.
ТЫв де(ес| сои1д Ье соггес|ед Ьу геогйадолайг|лд а пев!у сошри|ед чес|ог с)сс.г в!й геярес1 1о ай рге|доия 366 6 Е!Зепчв!ие РгоЫепм чесГогь ф, 7' <; 1, ГЬаГ )в, Ъу гер1ас)па 4, Ьу Ф Фн-г '= 4+г — Х Й;"4н-г)В~. г=г Ноеечег, геогГЬоаопабхаг(оп гь г!н!Ге ехрепяче: ТЬе чесгогв ф,. Ьаче Со Ье вГогег(, апд азер 1 оГ йе Ьапсхов тейог) почч гег)шгез 0(1 и) орега6опв 1пьгеад оЕ 0(л) орегабопь аь ЬеЕоге.
Внг Ь )в ровяЫе го ачоЫ а Гн1! геоггЬоаопа!маг)оп го зоте ехгепг апг) ь6!1 оЪса)п чегу аоод арргохппабопь Гог йе е)аепча1неь оГ А Гп ьр)ге оГ йе 6!ЕЕ(сн!6еь шеп6опе6. Гуега(1ь сап Ье Гонпб Ги йе Ео!)оабпа Шегайге, чгЬ1сЬ а1зо сопса)пз а зуяегпа6с Гпчеьбаа6оп оГ йе Гигегеь6па пнтепса1 ргорег6ев оГ йе Ьапсхоь гпейод: Ра)ае (1971), Раг1еп апд Зсогз (1979), апд Сн!!ши апг) М11ондЬЪу (1985), ччЬеге опе сап а(во Е)пд ргоагашв. 6.5.4 Кеднс6ои го НеььепЬегп Роггп %е почч чч)вЬ го деьспЬе а ьесопг) а!аог!ГЬги оГ ГЬ)в Гс)ид, )и ччЬ(сЬ опе ньеь аз Ггапь(огша6оп гпагпсеь Т, реппша6оп тазпсеь апс$ е!нтипа6оп гпагпсеь оГ йе Гопп 1 1,„, 1 )1;;) < 1. 1С ччаь а!геабу оЬзеп ег) Ги Бесгюп 6.5.1 йас опе сап ггапь(опп а а)чеп л х л таспх А Ьу гпеапь оГ и — 2 НонзеЬо!бег гпаспсез Т,- ьпш!аг1у со НеьзепЬега Еоггп В, А:= Ае - А, -~" -~ А„з = В, А; = Т; 'А;, То 368 6 Е1аепча!ие РтоЫетв !и Гас! хнсЬ ГЬаг (сГ.
Зес11оп 4.1 оп Санах е1нгнпайап) Т; ' То ГЫз еаза, опе гинхг йгя 11е!егги!ие йе аЪьо!нГе1у 1аг8ея согиропеп! о(а, )и„,) = гиах )а,,), г>1+1. -11ХГан ТЬегенроп, опе !пГегсЬапцеь го1чх г апгГ 1+ 1, ах 1че11 ав со!шппь г ап11 1' + 1 оГ А1, !.е., опе согирн!ех А':= Р, , '1А, 1Р, ..., зо ГЬаГ почч ГЬе с!ига!пап! е1егиепГ о!а !х ги ГЬе йгя рояЬоп. ГгепоГ!п8 йе геьн111п8 гиагпх Ьу А' = (н',х1, оие ргосеедх Го Гопп йе гиа111х б,„Ьу гиеапь оГ йе сГнапГ!1!ех а,'.1 !> ...:= "11.
(1=1+2, ..., и). (о Гогу = 1+ 2,1+ 3,..., а опепочч ьнЪггасгх !61„!них го1ч1+ 1 Ггоги гочч Г оГГЬе гиагпх А' апг! йеп а1Ыв !г;„1Ьпеь со!шпп 1' со со1шпп 1'+ 1. Ах а гехи!Г опе оЪГа1пх йе гиа111х оГЬепч1ье А; = 6;,.11 А'б1~1 = т,. -1А!, т„ 71 ! г.1~-161+1 1чЬГсЬ Ьах йе гГеягед Гопи. ЬГоГе ГЬаГ йе ГгапьГоппа11опь )ньГ гГеьсг!Ьег$ 1еаче йе е1егиепга оГ йе ьнЬгпаГг!х !атее (6.5.4.2)) оГ А; ., нпсЬап8ей. АГГег и — 2 яерь оГ ГЬ!ь гуре опе еперь нр 1чГГЬ а НеььепЬег8 гиа111х В= А„ и.сог. рго8гатпь Гог ГЫх а18огГГЬги ап1! Гог йе ЪасГс ГгапьГопиа11оп оГГЬе е!8епчесГогь сап Ъе Гонпд !и МагГ1п апд %1!!11пхоп (1971); коаталм рго8гапь, 1п Бгп1Й еГ а!. (1976). ТЬе пшпепса! ьГаЬ11Ьу оГГЫь гиейогГ сап Ъе ехапнпе1! ах Го11о1чя Ее! А, апгГ Т; Ье йе гон!пеев асГнаНу оЪГа!пей 1п р!асе оГ йе А;, Т; 11нг)и8 ГЬе сонгхе оГ ГЬе а18огЬЫп 1п а Поа11п8-ро1иГ согирнГаГ!оп. 1п гАеъч оГ (6.5.4.1), по ГнгГЬег гонп111п8 еггогх аге согиппГГед !и йе сопгрШаиоп оГ Т, ' !гоги 369 65 ива«сиоп ог Ма!исоа го Б!пгр!ег оопп То Т,-' = а(т !), апгГ Ьу !Гейл!!!оп оГ А, опе Ьы (6.5.4.3) А, = П(Т, 'А!,Т!) = Т; 'А;,Т, + Я;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
