Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 54
Текст из файла (страница 54)
ТЬпь, (6.2.14) Саго!!агу (Сау1еу — Напп1топ). ТЬе сбагасгегГвг!е ро!уиопиа! гр(!г) оГ а таггГх А ватаев ьг(А) = О. 6 Е!Зепча1ае Ргойегач (6.2.15) Согойагу. А тагг!х А !з иопг)егода!огу !!' ат( ои)у (Г !гз тппта! ро!упот!а! аиг) с)гагасгегузг(с ро!упит(а! со!ос(г(е (ир го а ти!г(р1(сагуие сопззаиГ). Ехлмгга. ТЬе хогг(ап шагпх Ьаз йе еехепча1иез Л, = 1, Л., = — 1 гч(гЬ ши111р!(с(г(ез р(Лв) = 2 р(Л2) = 3 о(Ли ) = 5, а(Лг) = 4. Е!ешепгагу Йч(зогз: (1 — и)', (1 — р)', ( — 1 — р)', ( — 1 — и) ( — 1 — и). СЬагасгег!зг!с ро! упопиа1: Ю(р) = (-1)'(р — 1)'(р .ч 1)'.
М(пипа! ро1упопиа!: Ф(и) = (и — 1)'(и + 1)'. То Л, = 1 гЬеге соггезропг) гЬе Ипеаг!у !иг(ерепг)епг (г(аЬг) ещепчесгогз еи еч; ш Лз = — 1 ГЬе еппепчесгогз ее, еч, еч. 6.3 Т))е ГгоЬеп)пк Хоппа! Ропп о(' а Матт)х 1п 1Ье ргеч(оиь зеспоп ве з1ис))ег) йе шагг!сез Сч(Л), вЫсЬ 1игпег) оиг го Ье йе Ъи!!г)шп Ыос)сз оГ1Ье хогг)ап поппа1 Гопп о(а шагг(х.
Апа!произ!у, опе Ъш!с(з ир 1Ье и гоЬетиз погта) Гост (и!зо са11ед йе гаггопа1 иоппа! Гогт) оГ а ша1г!х Ггош ггоЬеи!из тагг!сез и" оГ 1Ье Гоггп уе О и" = (6.3.1) О 1 О 341 63 Тье Ггоьеп!ив !Часта! гогт оса Мсипх (6З.2). (а) г, = Аг; „! > 1, (Ь) г, г„..., г„, аге 1шеаг1у Гпс!ерепс!епг, (с) г = Аг, сГерепсГь 1!пеаг!у оп г, г„..., г,: гЬеге аге сопсиапгь 7, счгГЬ Гт + !ла — 1 Гав — 1 + + 10 ГО ТЬе 1епагЬ т оГ гЬе Кгу!оч ьес!иепсе оГ соигье сГерепсГь оп гч. С!еаг!у, т < и, ь4псе гпоге йап и чессогь !п С" аге аЬчауь 1!пеаг!у сГерепсГепп 1Г опе Гоггпь гЬе и х т шагпх Т:= [г, ..., г,] апс! йе гпагпх Р оГ (6.3.1), йеп (6.3.2) В ес!шча!епг го гап1с Т= т, А Т = А[го, ..., г,„г] = [ги ..., 1,„] = [г,, ..., г г]Т = ТР.
(6.3.3) Ечегу е1аепча1ие оГ Т гь а1ьо ещепча1ие оГ А; Егош Рг = Лг, г ~ О, сче !пс1еес1 оЬга!п Гог х:= Тг, !п ч!есч оГ (6.3.3), х ~ 0 апс( Ах = АТг = ТРг = ЛТг = Лх. Могеочег, сче Ьаче: (6.3.4) ТЬеогеш. ТЬе тагг! г Т оГ(6.3.1) В попсГегодагогуг ТБе питта! ро!у- иоииа! оГ Р!ь ИГг) = 7о+ 7г7с+ '''+ 7т-гГс + !с = ( — 1) сГег(Р— 7сГ).
Ркоог. ЕхрапсГ!па ср(Гс):= сГег(Р— Гс!) Ьу йе 1аьг со!шпп, йе сЬагасгес4сйс ро1упопиа! оГ Т !ь Гоипс1 го Ье 7с Π— 7о 1 — гс ср(Гг) = сГег ут — 2 1 —,и 0 1 = ( 1) (7о+ 7гГс+" + 7 -г7с + Гс ). Ву йе геьи!гь (6.2.12), (6.2.14) оГ гЬе ргесейпд ьесбоп, гЬе пишпиип ро!упопиа! ф(Гс) оГ Т с!!ч!с(еь ср(Гс). 1Г сче ЬасГ сГеа ч7 < т = с!еа ср, ьау Цр) = а, + и, Гс + " + а, г и" ' + !с', г < т, счЬоье ргорегВеь сче посч сч!ьЬ го с!!ьсиьь. Опе епсоипгегь шагг!сеь оГ й!ь гуре !п гЬе ьгис!у оГ Кгу!ою ьес!аеисеь оГ чесгогь. Ву а Кгу!оч ьес!иепсе оГ чесгогь !ог йе и х и гпагпх А апсГ 1Ье шгВа! чессог га а С" опе гпеапь а ьеоиепсе оГ чес1огь г,, 1= 0„1, ..., т — 1, сч!1Ь йе Го!!осч!па ргорегВеги 342 6 ЕщепчЫие РгоЫепы йеп Ггогп ~)г(Р) = О аосте и"е, = е;,, Гог 1 < ! < т — 1, йе Го!!огч1па сопГгаЙсг1оп гчоп!д геьи!г аг опсе: О = ф(Р)ег = мое, + м, е, + " + а,, е, + е„ = [ме, ап ..., и„,, 1, О, ..., 0)~ ~ О.
ТЬиь, гГед ф = т, апгГ Ьепсе ~)г(!г) = ( — 1) гр(!г). Весапье оГ (6.2.15), йе гЬеогеш 1ь ргочес$. П Аььштппд йе сЬагасеег1ь11с ро1упоппа1 оГ и" Го Ьаче ГЬе кегоь 2; гч!ГЬ пш!Врйс!Веь и,, ! = 1, ..., Гг, Ф(и) = уе + ". + у — р ' + р = (р — 2 )" (И вЂ” 2з)" " (р — 2з)" йе 3оггГап поппа1 Гопп оГ г" !п (6.3.1), ш ч1егч оГ (6.3.4), гь учеп Ьу С.,(2„) О ТЬе ь1дшйсапсе оГйе РгоЬепшь гпагпсеь 1геь |п йе Гас! гЬаг гЬеу ГпгшьЬ йе Ьп116!пд ЫосГгь оГ йе ьо-са!1ед ггоЬепГиз ог гагГопа! погта! Гост оГа шагг1х. Ь!аше!у: (6.3.5) ТЬеогегп.
г ог еиегу п х п тазггх А йеге Ь а попзтди!аг и х и-таях Т гч!гЬ рг О Т 'АТ= (6.3.6) О Т, гчЬеге йе г; аге г'гоЬепшз таггГсез Ьаппд йе ГоПоадпд ргорегПез: (а) Ц гр,(!г) = бег(г,. — !г!) Гз йе с!гагасгегГзггс ро!упот1а! о/'Р;,! = 1,..., г, йеи гр;(!г) Гз а йс!зог оГаг; г(!г),! = 2, 3, ..., г. (Ь) гр,(р)„ир го йе ти!г!р!1саг1ое соизгаиг -!-1, Гз йе тГиГта! ро!упот1а! оГА. (с) ТЬе таггГсез г",.
иге ипГдие!у гГегегтГпегГ Ьу А. Опе саПь (6.3.6) йе г гоЬеп!из иогта! 7огт оГ А. Ркоое. ТЬ!ь гз еаь61у гГопе гч11Ь йе Ье1р оГ гЬе 3оггГап поппа! 1оггп [ьее (6.2.4)1: Юе аььпше йа1,! ш (6.2.5) !ь йе Хогдап поппа1 Гопп оГ А. %11Ьои! 1оьь оГ 5епега!Ггу, 1ег йе !пге5егь чи' Ье огдегегГ, (6.3.7) ч'," ) чзп ~ )" ~ )ч~,'[„з, ~ = 1, 2, „,, Гг. 343 6.3 Тае «говеагах !хогта! В'огв оГ а Магпх 13ейпе йе ро1упоппа!в гр!(И), ! = 1, ..., г, г = шах, <, <„р(2,), Ьу гр!(И) = (хг И) ' (хх И) ' (ах И) ' ~пв!пд йе сопчепгЬуп «,":= О гГ ! > р(2,)].
!п ч!ехч оГ (6.3.7), гр,(И) д!чк(ев гр! — г(И) апд + грг(И) !в йе пиши!а! ро1упоппа! оГ А. !х(охч га$се ав йе ргоЬ- еп!пв ша1пх гг!пвг йе г гоЬеп!пв шагпх хчЬове сЬагасгепвбс ро(упоппа! !в гр„(И). 1 ег $, Ье 1Ье ига! пх 1Ьаг ггапвГогшв е', Ьио Ьв 1огг(ап поппа! Гопп Е,, 5; 'Г;5; =.l;. А 1огдап попиа1 Гопп оГ А (1Ье Зогйап попиа1 Гопп ь ышг(ые ои1у пр 1о регпшгабопв оГ 1Ье хогг(ап Ыос$св) йеп !в Г '~2 Ассогг(!па го тьеогегп (6.2А) гьеге ь а шагпх У хч!й У гАГГ = У. тье ша1пх Т:= 115 ' хч!1Ь ггапвГоппв А шго йе г(ев!гег( Еопп (6.3.6).
11 гв еаву го сопчгпсе опеве1Г оЕ йе ппщпепевв оГ йе е";. Еххм«хв. гог гбе пгагпх 2 !и гбе ехатр!е оГ Бес!!оп 6.2 опе Ьав е и (и) = (! — и)'( — ! — и) = - (и' — и' — 2и' -«2и' + и — !), Ехх(И) = (! — И) ( — 1 — И) = — (И~ — Их — И -«1), срз(и) = — (и + !) апг! йеге Го!!ох«в О О О О 1 1 ΠΠΠ— 1 ΠΠ— ! О ! О О -2, К,= .! О 1, Р,=(-!). О О ! О 2 О 1 1 О О О 1 ! -Г" Л 1 [' ] 344 6 Езьоича|мо Ргояоии ТЬе я8шбсаисе оГ гЬе ЕгоЬеп!ив поппа! Гопи Бев т Вв ГЬеоге6са1 ргорег6еь (ТЬеогепз (6.3.5)).
1гь ргас6са! ипроггапсе Гог сотрп6п8 ез8епча!пев |ь чегу 1иш(ей Гог ехатр1е, зТ йе л х л та(пх А !ь попг(его8азогу, йеп сотрц6п8 йе ЕгоЬепшь поппа! Гопп Е (6.3.1) зь ег(шча)епг со йе сотрпга6оп оГ йе сое(Гзс|епгь у, оГ йе сЬагасгепь6с ро|упопиа! 9 (Гз) = г)ег(А — )зГ) = ( — 1)"()з" + у.— Гз" + "'+ уо), зчЫсЬ Ьав йе деь!ген е!8епча)пеь о!А аь хегоь. Впг В зв пог абч|ьаЪ|е го Вгя з)е(спите йе у; зп огг)ег Го ьпЪвег)пеп((у сотриге йе ез8епча!иев ав иегов оГ 9з: 1п 8епега1, 1Ье иегов Л оГ ьз геасг пшсЬ зпоге вепя6че|у го вта!1 сЬап8еь т йе сое(Тзс!епгь у,. оГ зр йап го япа|! сЬап8еь ш йе е!етепгв оГ йе оп8!па( тагпх А (вес Зес6опь 5.8 аи6 6.9).
Ехххзчси. !и Бес!зол 6.9, ТЬеогези (6.9.7), Ь зчз1! Ье вЬозчи йаз зЬе езьеича!ие ргоЫет Гог Непшйаи та!псов А = А" Ь зче11 соиз)зззоиез) |и йе Го!!озч|и8 веиве: Рог еасЬ ез8еича!ие Л,(А + АА) оГ А + ЛА ЗЬеге |в аи езхеича!ие Лг(А) оГ А висЬ йаг !Лч(А + ЛЗА) — Лз(А)! < 1иЬз(ЛЗА). !Г збе 20 х 20 зиазпх А Ьав, вау, зЬе епьеича1иев Л = Г, Г = 1, 2, ...,20, йеи !иЬ (А) = 20 Ьесаиве А = А" (вее Ехегпве 8). БмЬ|есззи8 аП е!еизеизв о!А зо а ге!а6че епог оГ аз зиовз ерв, з.е., гер!вс!и8 А ьу А з- ззА члзь /лзА! ~ ерв!А!,!з Го!!озчв зьаз (все Ехегсяе 11) 1иЬх(ЛА) ~!иЬх(!ЛА!) ~ 1ибх(ервЗА!) ~ ерв зз20! иЬз(А) < 90 ерв.
Ои зЬе озЬег Ьаий а зиеге ге1а6че еггог !пуз! = ерв оГ йе сов%степ!в у; оГ зЬе сЬагасзепвбс ро!уиоииа! Чз(и) = (и — 1)(р — 2) ... (р — 20) ргоз)исев згезиеиз)оив сЬаиьев зи зЬе хегов Л, = у оГ зр (вее Ехвизр!е (!) оГ Бес!зол 5.8). ТЬе ь!Гпагюп !ь раг6сп|аг!у Ьад Гог Негпп6аи та!пеев зч!(Ь с|пяегег| ез8епча! пев: йе е!8епча!пе ргоЫепз |ог йеве зпагпсеь зь в6!! зче!1 соп616опед ечеп Гог иш16р1е е!Еепча!пев, зчЬегеаь пш|6р1е хегов оГ а ро|упоппа1 ьз аге а1зчаув !!1-сопбз6опед Гпис6опв оГ йе сое(Тзс!еп!ь у, 1п аз!6з6оп, пзапу те(Ьог(в Гог сотрм6п8 гЬе сое(Гзс|епгв у, оГ йе сЬагасгепь6с ро1упоппа! аге пшпепса1! у ппяаЫе.
Ав ап ехазпр(е, зче тепгюп йе те!Ьоз( оГ Егакег, Описал, ап6 Со!!аг, чгЬ!сЬ !ь Ьаьед оп (Ье оЬьегча6оп (ьее (6.3.2) (с)) ГЬа( йе чес(ог с = [у, у„..., у„зЛг !ь ГЬе ьо1п6оп оГ а Впеаг ьуяет оГ ез)паг!опь Тс = — г„из!й гЬе попяп8п1аг тагпх Т:= [го„г„..., Г„Д, ргоч!з)ед йас го,..., г„, !в а Кгу!оч вецыепсе оГ |еп8й л. Г)п(оггппаге1у, йе пзагпх Т !ь т '8епега| !11-соп6|гюпег), сопс$(Т)» 1, ьо йас (Ье сотрпгед ьо!п6оп с сап Ъе Ы8Ь1у !псоггесг (вес Бес!!оп 4.4). 1пдее6, аь )з — со, йе чесгогв г„= А'го зч|11, зчЬеп вса!ег) Ьу ьшгаЫе Гасгогь и„, соичег8е Гочгагб а поившего чесгог Г = 1!т„из!„!Ьаг, т 8епега|, 6оев пог г(ерепд оп йе сЬо|се оГ йе |пЬ!а! чес(ог г .
ТЬе со1шппь оГ Т гела, йеге|оге, го Ьесоте "тоге апд пюге!теаг дерепдепг" (ьее Бесгюп 6.6.3 ап6 Ехегс|ье 12). 345 бА Тое яоСАох Схгоппа! гоно ога Магпх 6.4 ТЬе Бс[спг Хоппа1 Ропп о[' а МаГгсх; НегппГсап апд Моппа1 Ма(В[сея; Япдп1аг Уа1пез о[' Магг!сея 1Г опе доев пог адш!С агЪгггагу попа!паи!аг шагпсев Т !и йе япп1апгу СгапьГоппасюп Т 'А Т, Ь га !и аепега! по 1опаег роба!Ые Со сгапьгопп А со ЛоггСап поппа1 Гогш.
Нохчечег, Гог вшсагу шасг!сея Т, !.е., шаспсеь Т чч!сЬ Т" Т = Г, опе Ьаа йе Го!!отч!иа гехи!С оГ ЗсЬиг: (6.4.1) ТЬеогезп. Рог еоегу и х и тагпх А йеге а а итгагу п х н тагпх Н ГЧ1'ГЬ Л 1 ггнАгг— О неге л;, ! = 1, ..., п, аге йе (лог иесезхагс!у А!!згглсг) есдеиоа!иез оГА. Рвюп %е иае сошр1еге шгсисгюп оп и. Рог и = 1 СЬе СЬеогеш га Спч!а1. Зиррове СЬе йеогеш ь Сгпе Гог шагпсеь оГ оггСег н — 1, апгС 1ег А Ье ап и х н гпаСпх. 1.еС Л, Ъе апу е!ленча!ие оГ А, апд х, + О а соггеьропгС!па е!аепчессог гчьь )1хг 11 = хгхг = 1, Ах, = л, х,, тьеп опе сап йпгс л — 1 агсйс!опа! чессогь хх, ..., х„апсЬ йас х„хх, ..., х„Гогшь ап огйопоппа! Ьаяь оГ С", аш1 сЬе и х и гпаспх Х:= [х„..., х„] тч!сЬ со!ишпь х; !ь сЬиь ишсагу, Х"Х = !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
