Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Опсе а пелч арргохииасе ча!ие лз„Ьаа Ьееп Гоипзс, йе Гипссюп /'зх еча(иасезс ас хз„со Гзпзс 512 5 г Зо<З|оа Хогарт аазс Мзоппоаз Ро|оь Ьу Их|а||хо Майонез !п Бессюп 5.5, 1и соииессюп зчссЬ Хе«|сои'в шесЬод, зче сопв(беге|( с|чо СесЬпзз!иев Гог с(езеппш(иа а|$йз(опа! гооии г!ебазсоп апсс лего вирргевяои. Вой аге арр(ссаЬ(е со йе гоос-6пс!!пав шесЬозсв з!1всиввех( |п йзв вессюп. Неге кего вирргевяоп яп|р!у аиюипсв со еча(пассии йе она!па! ро(упоппа! р(х) апг! ишиепса!1у с(1чсйпа зз Ьу йе ча!ие оГ йе ргоз!исз (х — 4 |) ... (х — 4з) со са!с«1асе йе Гипссюп «|Ьове кего |в со Ье г(есегш(пес! пехс. ТЬВ ргосевв |в ваГе 1Г со|приса6оп св гевспссе|1 азчау Ггош ча(иев х |чЬасЬ ГаИ |п с!ове песаЬЬогЬоос(в оГ йе ргечюив(у зсесегшшез! гоосв 4з,..., сз.
Сои|гагу со г(ейасюп, лего вирргевяоп зчог(св а!во 1Гйе шесЬоз!в о!й|в вес6оп аге арр!зез! со 6пг(спа йе лесов оГ ап агЪЬгагу Гппс6оп Г(х). 5.10 Т)1Е Л~-МЕЙОС1 О1'А1Г)СЕП ТЬе ззз-шесЬос$ оГ А(сссеп Ье!опав со йе с!авв оГ шесЬ|хсв Гог ассе!егас(па йе сопчегаепсе оГ а асчеп сопчегаепз весСиепсе оГ ча!иев х;, !пп х,=с.
ТЬеп Гг апд с сап Ъе гсесегш(пес! Ггош х;, х,, х;,з тяпа йе ес!иасюпв (5.10.1) л;,, — с = Гф:, — с), л|, з — с = Гс(х;„, — с). Ву в«Ьсгас6оп оГ йеве егсиассопв, .л|+ з апс( Ьу виЬв6|исюп шсо |Ье бгвс ег!пассии, япсе Гг ~ 1, .з -л Х -з х~| .х;,з — 2.х;,, +.л, \!яиц йе |11ГГегепсе орегасог Лх,:=.х„з — .х, апс( посша йас Л~х, = Ас.. з — Ах; = .х;„з — 2.л,, + х„с!Вв сап Ье зчпссеп ав (Ах )з лз. (5.10.2) ТЬеве шеСЬог(в СгапвГопп йе вецпепсе (х,) шзо а весспепсе (х,') зчЬ(сЬ ш аепега( сопчегаев Гаяег со|час|(в с йап йе опа(па1 везсиепсе оГ ча(пев х,. БисЬ шеСЬоз!в арр!у Со 6пс(спа кегов шавишсЬ ав йеу сап Ъе «вез! Со ассе!егазе СЬе сопчегаепсе оГ вегсиепсев (хз) Гиги(вЬез! Ьу опе оГСЬе пзеСЬозсв ргечзоив1у зссвсцввег(.
1и огссег со з!!ив|гасе йе гзз-шесЬосс, 1ес ив аввшие йас йе ве|Сиепсе (х,) сопчегаев со|час|(в с!1(се а аеошеспс вессиепсе зчссЬ Гассог Гг, / Гг ) < 1; л; „— с = Гс(.х| — с), з = О, 1, .... 313 5.10 ТГ«е а'-Ме«Г«од ог Атее ТЬе Го(!о«ч!па йеоге«п зЬоиз ГЬаг йе х,' сопчегае Гаяег ГЬап йе х, Го с аа ! -+ со, ргочЫее1 (»,) ЬеЬачеь аауи«ргоГ!са11у аз а аеоп«егг!с зег!иепсе: (5.10 4) ТЬеогепь Барраже йеге е»Ггь !Г, ) !! ) < 1, аисЬ ГЬаг Гог йе юе!Гиеисе (л;),.т; ф с, х;,, — с = (ГГ + !Г;)(», — с), !ип д, = О, ! е Г«оЫз, йеп Яе оа!иег х,' !Ге««иееГ Ьу (5.10.3) ай е»«гг Гог зифс«еиг!у Гагде Ь аиеГ »,' — с !ип — '— —. = О. „»! — с Ркоог. Ву ЬуроГЬеяь, йе еггогь е,:= л! — с за6ьГу е„, = («е + Ь,)е, . 11 Го!- 1о«чв йаг .тг а — 2л„, + х; = е;, ! — 2е«, + е; = е,((Г! + !«„!)(Г» + !5!) — 2(Г! + !3;) + 1) = е;((Г! — 1)' + р;), «чЬеге р; — О, »! „— .т; = е;,, — е; = еГ((Гà — 1) + е«!).
(5.10.5) ТЬегеГоге »! ! 2»; ! +.т, ~ 0 Гог аиГВс!епГ(у 1агае Г, япсе е, Ф О, Г! «е 1, апе( !Г! — О. Непсе (5.10.3) аиагапгееа ГЬаГ х'; га «че!! Г!ейпед. Ву (5.10.3) апг! (5.10.5), ((Ге — 1) + !5!)« х,' — с = е, — е! ' (Ге — 1)е+ Гог ьиГйс!епг!у 1агае Г, апг( сопле!!иеп!1у .т, '— с . ) ((Г! — 1 ) + «,)' ( !ип — ' — — '= 1ип 1 — — ~ --' — ) — — О. .л, — с; „! ((Г» — 1) + ф!)) Сопя!!ег ап Ьега6оп и«ейос! чч«ГЬ «ГегаГ«оп Гипс6оп Ф(т), (5.10.6) т, „, = Ф(.т,), !' = О, 1, 2, ..., ТЬе и«еГЬое( В пагпее! айег ГЬ!ь Гогиш!а.
11 ь ЬаьеГ! оп ГЬе ехресга6оп — Го Ъе сопйппее( Ье!о«ч — йаг йе ча!ие (5.10.2) ргочЫев аг!еааг ап ппргоче6 арргохипа6оп Со йе ИпиГ оГйе кеГГиепсе оГча!иеь х; ечеп !Гйе ЬуроГЬеяь йаг (х,) !а а аеогпеГГ!саПу сопчегаепг ьееГиепсе ьЬоиЫ пог Ъе ча!Ы. ТЬе Л'-п«еГЬГи( оГ А!Г(сеп йиа сопа!ага оГ аепегаг!пГГ !гоги а и!чеп ьеГГиепсе (х!) йе Ггапв(огп«ее( еееГиепсе оГ ча!иев (х; „— х!)~ 15.10.3) ! ! т«ег — 2л;,, + х;' 314 5 а!оспах гого! апсс Мсппппгп Роса!а Ьу Иогапчо Ма!Пас!а Гог оегегш!и!п8 йе гего с оГ а Гипс6оп Г(х) = О. ТЬе Гоппи!а (5.10.3) сап йеп Ъе иаес! го с!есегш!пе, 1гош Гпр!еь оГ пассеизм!че е!ешепся х„х;„, хс, ! оГ 1Ье ьейиепсе (хс) 8еиегагес! Ъу йе аЬоче йегасюп Гипс6оп Ф, а пев вес!иепсе (х ), вЫсЬ Ьореуийу сопчегйез Гаьгег.
Носчечег, Ь арреагь го Ье айчапгайеоиа Го шаГсе иае оГ йе !шргочес! арргох!шасгопь ишпесйаге!у Ьу рм6п8 у;:= Ф(х;), г! = Ф(у;) (5.10.7) ! = О, 1, 2, (у; — х;)! ТЬыпеГЬос$ сь с1ие го 51еГГепаеп. (5.10.7) 1еасЬ Го а пев Иега6оп Гипсйоп Ч', (5.10.8) х;а, = Ч'(х!), хф(ф(х)) — Ф(х) Ф(Ф(х)) — 2Ф(х) + х Вой йега6оп Гипсбопь Ф апс! Чс Ьаче, ш 8епега1, йе ваше йхес! роси!го (5.10.9) ТЬеогегп.
Ч'(с) = с стр!сеь Ф(с) = с. Соппегае1у, !Г Ф(с) = с апс! Ф'(с) ~ 1 ехсагу, йеп Ч'(с) = с. Ркоог. Ву гЬе с!ейп!6оп (5.10.8) оГ Ч', (4 — Ч'(С))(Ф(Ф(4)) — 2Ф(~) + ~) = (с — Ф(~))!. ТЬиа Ч'(с ) = с ппрйея Ф(с ) = с. Хехг ве аааише йаг Ф(с ) = с, Ф Ь с!гйегеп6аЫе Гог х = с, апс! Ф'(с) + 1. !.'Нор!га!Ч ги1е аррйес! го гЬе йейййоп (5.10.8) 8!чу Ф(Ф(4)) + 4Ф'(Ф(4))ф'(4) — 2Ф(~)ф'(~) ~ + ~ф'(~)! — 2~Ф(Д ф (ФК))ф'(~) — 2Ф'(~) + 1 1+ ф'(~)! — 2Ф (с) П 1п огс!ег го ехаиипе йе сопчегйепсе ЬеЬачюг оГ Ч' гп йе пе!8ЬЪогЬоос! оГ а йхес! роси! с оГ Ч' (апс1 Ф), ве ааашпе йаг Ф ы р + 1 сипела ей1Гегеп6аЫе ш а песйЬЪогЬоод оГ х = с апс! ГЬас Ь с!ейпеь а шесйос! оГ огс!ег р, ГЬас ь, (5ЛОЛО) Ф'(~) =" =ф -с!(Д=О, фспс(Д= р!А +О (атее йесгюп 5.2).
гог р = 1, ве гейшге йаг сп асЫ!гюп (5.10.11) А =Ф'(с)~ 1, апс! в!1Ьоис 1оаа оГ 8епега!Ьу ве аааише С = О. ТЬеп Гог ыпа!1 х ра! Ф(х) = Ах" + — — - Ф" ' и(йх), 0 с О ( 1. (р + 1)! 315 5.!О Тле аз-Мейод оГ А~йеп ТЬив Ф(х) = Ах" + 0(хтт ), Ф(ф(х)) = А(Ах + 0(хт"))" + 0((Ах" + 0(хт''))т+') )0(хтз) П р > 1, )А'.х+ 0(хз) Пр= 1 ф(х) = (Ахт+ 0(хт ')) = Азхзт+ 0(хз"+'). гог р > 1, Ьесаиве оГ (5.10.8), 0(ХР'+ г) Азхзт + 0(хзт+1) (5.10.12) Ч'(х) =."- —,— -- — - --„- — = — А'хзт ' + 0(хзт). 0(х" ) — 2Ахт+ 0(х"+ ) + х гог р = 1, Ьозчечег, гдпсе А ф 1, Азхз + 0(хз) Агх~ + 0(хз) Ч (х) = — з , — =0(хз) А х+ 0(хз) — 2Ах + 0(х ) + х ТЫв ргочев йе ГоПозч!п8 (5.10.13) ТЬеогепь |.ег ф Ье ап !гегагГоп уйлсг!ол гГефл!лд а тегЬоа о( оттГег р ~от остриг!пд Ггв дхег( рошг т.
тот р > 1 йе соггевропйпд Ггегаг!оп Гллсгюл Ч' оГ (5.10.8) г(егегтГлев а тегЬогГ оГоттГег 2р — 1Гог сотпридпд с. тот р = 1 йгв тейогГ !в аг !еавг о(оп!ет 2 ргосп!етГ Ф'(4) ~ 1. Хосе йаг Ч' у!е!г!в а весила-огг$ег гпегЬод, йаг !в, а 1осаПу циаг!гаПсаПу сопчег8епг гпегЬог$, ечеп зГ !Ф'(4)! > 1 алга йе Ф-гпегЬск1 гПчегдев ав а сопвег!иепсе (вес БесПоп 5.2)). 11 Гв ргес!ве1у ш йе саве р = 1 гЬаг йе пгегЬогГ оГБгеПепвеп гв нпроггапг.
тог р > 1 йе Чт-пзегЬос! г!сев 8епегаПу пог ппргоче ироп йе Ф-гпегЬод. ТЫв !в геагП!у вееп ав ГоПозчв. 1.ег х, — 4 = в зч!1Ь я виГПс!епг!у япаП. Хе- 8!еоПп8 геппв оГ ЫПЬег огг!ег, зче Ппг! Ф(х;) — 4 = Ае', Ф(Ф(х;)) — С =' Ат' 'ет', зчЬегеав Гог х;„— с, х;,, = Ч'(х,.), х;,, — 4 = — Азе'т Ьу (5.10.12). Хозч (Ат~-з тз~ а (Аз зт-з ~ Гог р > 1 апд виГПс!епг!у япаП е, зчЫсЬ евгаЫ!вЬев Ф(Ф(х;)) ав а пшсЬ Ьепег арргохипагюп го 4 йап х, ч, = Ч'(х;). гот гЫв геавоп, Бгейепвеп'в гпейог1 !в оп1у гесопипепгГеП Гог р = 1.
316 5 Гйпзйпа Еегов впа Мзазшнш Ро1пп Ьу !зегазпе Мезаспв Ехлми.в. ТЬе Ьегайоп Гппсйоп Ф(х) = хз Ьав йхеп' рошзв сз = О, сз = 1 зччЬ Ф'(сз) = О, Ф"(сз) = 2, Ф'(сз) = 2 ТЬе пегайоп х„, = Ф(х;) сопчегйев спаз1газзса!1у зо Гз зГ !хв! < 1.
Виг Гог (хв ~ > 1 йе весрзепсе (х;) езчегйев. ТЬе ггапвГоппайоп (5.10.8) узе!дв х х' — 1+. з5 Ч'(х)= = — — - - — †. ччйг, хг .З- х — 1 (х — гз)(х — гз) з' 2 Ъ7е ргосеег1 го вЬозч гйаз йе йегайоп х„, = Ч'(х;) геасЬев Ьой йхез1 рошгв Гог вшзаЫе сЬозсев оГ ЗЬе взаг6па роза! хч. гог !х) < 05, Ч'(х) ы а сопггасйоп зпаРРзп8. !Г )хв! < 05 ЗЬеп х,„, = Чз(х,) сопчегаев зочзагзГв сз = О.!п впГйсзепз ргохппйу оГ Гз Йе Ьегазюп ЬеЬачев ав х;,, = Ч'(хз) хз, чзйегеав йе пегайоп х;,, = Ф(Ф(х,)) Ьав 4зЬ-огпег сопчегаепсе Гог /хв / < 1: х, „, = Ф(Ф(х;)) = х~.
гог !хв! > г,, л.„, = Ч'(х,) сопчегйев гозчагзГв сз = 1. 11 зв геагй!у чепйей зйаз Ч'(1) = О, Ч'"(1) ~ О. апп' Изаг йегеГоге циайгаззс сопчегаепсе 1ю1йв (зп врзге оГ гйе Гас!! Ьаг Ф(л) йзд поз ргоийе а сопчегйепз пегагзоп). 5.11 МГП(ПТЫаГ!ОП РГОЫЕПТВ ЪийОиТ СО!)ВГГа)ПГВ %е ч6!1 сопзйз(ег йе Го!1очз(па пипзш!гагзоп ргоЫепз Гог а геа! Гппс6оп )и й" — й оГ и чапаЫев: г(е!егпипе пипй(х). (5.11.1) %е аввппзе йас Ь Ьав соп6ппопв весопг( рагба! 6епча6чев чз!й геврес! го а!! оГ !1в чапаЫев, Ь а Св(й"), апз( чзе г)епо1е йе агав(зеп1 оГ Ь Ьу ! дй дй1 д(х) = ГУЬ(х)= ~ — —,, ..., — ~ апг( йе шагпх оГ весопг( г)ег!чабчев о( Ь Ьу Н(х)= — —,, 1,Гз=1,...,п. А!шов! а1! шзпзш!га6оп гпеГЬоз(в в1аг1 чз!й а рози! хе а й" апз( аепега1е а вег(пепсе оГ рошгв х,, Гз > О, чзЬзсЬ аге впрровег1 го арргохппаге йе г(евзгез( зпшппшп рози! х.
1п еасЬ в1ер оГ йе з1ега6оп, х, -+ х„~ з, Гог лчЫсЬ 317 5.11 М!пппьабои Ргояетв и!Шоя Сопигяпъь д„= д(х,) + О Гвее (5.4.1.3)], а веагсЬ сПгес6оп з„ь г(егегпппег( Ьу хогне сопърша6оп ъчЬъсЬ сЬагасгепхеа йе шегЬод, апъ( йе пехг роша х„,, = х, — Л„г„ ь оЬга!пес! Ьу а Пле геатсЬ; !.е., йе яеряге Л„ь ъ(егегш!пег! ао йаг Ь(х„,,) = гпш гр,(Л), гр,(Л):= Ь(х„— Ла,) г Ьо!г(а аг !еая арргохнпаге!у Гог х„,, 13внаПу ГЬе гПгесгюп г, ь га(сеп го Ье а г(езселг РНтесяол Гог Й, !.е.„ (5.11.2) гр'(О) = — дтпл„< О.
ТЫа епангеа ГЬаг оп!у роя6че ча!неа Гог Л пееъ( го Ье сопаи(егег( 'т йе пипип(га6оп оГ гр,(Л). 1п Бес!!оп 5.4.1 ъче еяаЫВЬе6 аепега! сопчегаепсе ГЬеогепь 1(5.4.1.4) апг( (5.4.1.8)) ъчЬ!сЬ арр1у го аИ шегЬгиЬ оГ йь гуре ъч!ГЬ оп!у пп!г( геяпс6опя !п йь зесг!оп ъче ъчьЬ го Ьесоше асъ(на!пгеъ( ъч!ГЬ а Геъч, арес!а! шегЬог(я ъчЬкЬ шеагь рпгпап!у йаъ ъче ъчП! г(!аснаа а Геъч прес!Пс ъчауа оГ ае!есг!па з, ъчЫсЬ Ьаче Ъесоше нпроггапг ш ргас6се. А (!оса!) пнпнпшп ро!пг х оГ Ь В а хего оГ д(х); Ьепсе ъче сап нае апу хего-ПпсПпа шегЬод оп йе ауяеш д(х) = О аз ап арргоасЬ го Ппг(!па пнпнпшп рошга оГ Ь. Моя ппроггапг ш йь геааг6 В !ъ!еъчгоп'а шегЬод (5.1.6), аг еасЬ аргер х„- х„„= хд — Лъ з„оГ ъчЫсЬ йе Хеьгоп еПгес6оп з„:=Н(х„) 'д„ ь га(ъеп аа а веагсЬ г(!тес!!оп.
ТЫя ъчЬеп гье6 ъч!ГЬ йе сопяапг аргер !епдгЬ Л, = 1, Ьаз йе аг(чапгаае оГ г(ейп!па а !осаПу гГнаг(гаг!саПу сопчегиепг шегЬоъ( [ТЬеогеш (5.3.2)). Внг П Ьав гЬе г(!ааг(мангале оГгег!и!г!па ГЬаг!Ье шагг!х Н(х,) оГ аП аесопъ( раг6а! <1еггча6чеа оГ Ь Ье созпршег1 аг еасЬ яер. 1Г л ь !агае апг! !Г Ь В сошр!кагег(, йе сошрнгагюп оГ Н(х„) сап Ъе мету соаг!у. ТЬегеГоге шегЬодв Ьаче Ъееп г(еч!аед ъчЬеге(п гЬе шагг!сеа Н(х„) аге гер!асеь! Ьу анПаЫе шагг!сеа Н,, 5ъ '= Нъдь, ъчЫсЬ аге еаау го сошрше. А шегЬоь! ь аа!ъ( го Ье а алая-!ъ(еъчгол лгегЬоП !Г Гог еасЬ Гг > О ГЬе шаГпх Н„,, ааг!айса гЬе ао-саПеъ( диаЯ'-!ЪГеъчгол ециабол Н„,(д„, — д,) = х,ч, — х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
