Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Нойчечег, 1Ье ехгвгепсе оГ висЬ а ча1ие у = а, = 4 й = 4й Ьав Ъееп вЬойчп го Ье ппровяЫе еаг!!ег ш йе ргооГ оГ 1Ьгв йеогеш. П 5 У!па!па Лего! епа Мгпппппг Рого!! Ьу Ьегеиче Месите плП а15о ргоч1де июпоГошс сопчегаепсе: У! ~ ~Уе ~~ ' ' ' > 4! Пгпу! = 1! ° Нач1иа Гоипг$ йе !агаеег гоос «! оГ а ро!упоипа1 р, йеге аге 56П 1Ье оГЬег гоо$5 «„«е, ..., «„Со Ье Гошк$. ТЬе ГоПогчгпа Ыеа ящае5$5 1Ье!Г 1гигиег$гаге!у: "г$гчЫе ой'" йе Ггпогчп гоог «„гЬаг ь, Гопп йе ро1упопиа! р,(х):= х — « оГ г$еагее л — 1. ТЬь ргосеаа ь саПег$ гГе($аггал. ТЬе!агаеяг гоог оГ р, (х) ь «„апг$ тау Ъе г)еГеггпгпег$ Ъу йе ргечюгь!у г$евсг1Ьег$ ргосег$игеа. Неге «, ог, ечеп Ьеггег, йе ча1ие у = хе, Голи!) Ьу очегяЬоо$1па гпау хегче аа а 5$агПпд ро!пГ. 1п ГЬ15 ГааЬюп, аП гоп!5 гчГП Ъе Гоипг$ ечепГиаПУ.
ГУейаГгоп, ш аепега1, ь поГ лч1ГЬоиГ Ьахагг$, Ъесаиве гоипг$оГГ плП ргес!иг1е ап ехасг г$есегш1паг(оп оГ р,(х). ТЬе ро!упоииа! асгиаПу Гоипг$ ш р!асе оГ р, гч(П Ьаче гоо15 еП$ТегепГ Ггоп! «„«,,..., «„. ТЬезе аге йеп Гоииг$ Ьу гиеапв оГ ГигГЬег арргохипаПопх, гч1ГЬ йе геаи11 ГЬаГ йе!ахГ гоогыпау Ье г$шге 1пассигаге. Ночгечег, г$ейаггоп Ьах Ьееп Гоипг$ го Ье пшпеПсаПу вгаЫе 1Г г$опе лч11Ь саге.! п г$гчгЫгпа о$Г а гоог, гЬе соеГПс1епгв оГ йе г$ейагех$ ро1упоппа! р,(х) = ао х" ' + а',х" ' + " + а'„ гиау Ье со!при!ей гп йе огг1ег ао, а',,..., а„', ( ГаггчаггГ гГе/!а!гол) ог гп йе гечегяе огг$ег (ЬасГггчаггГ г(е(!а!гол).
ТЬе Гоппег ь пшиеПсаПу хгайе гГ йе гооГ оГ хгпаПевГ аЬво!иГе ча1ие ь гПчЫег1 оГГ; йе!аьег ь пшиеПсаПУ 51аЫе гГ ГЬе гооГ оГ !аггее! аЪхо!иГе ча1ие ь г$гчЫег$ ой: А ппхег$ ргосееа оГг$еГеггигп1па йе соеГПс1епга гчП1 Ье хгайе Гог гооь оГ Гигеггиег$гаге аЪхо1иге ча1ие. Бее РеГегх апг$ %ПГг!пхоп (1971) Гог г$еГаПя.
Гуейаг(оп сап Ье ачойег$ а!гоаегЬег аа хиааехгег$ Ьу МаеЫу (1954). Не ехргеехех 1Ье г)ег1ча$1че оГ йе г$ейаГег$ ро!упоппа! р,(х) ах Го11очге: р'(х) р(х) х — «, (х — «,)2 ' апг$ еиЬ5$1$иГех ГЬ15 ехргеааюп шГо йе $л$елчГоп ПегаПоп ГипсПоп Гог р,: р,(.х„) р(х,) р',(х,) ', р(л„) х — с е .! 1п аепега$, гче Ппг(1ог йе ро1упогп1а15 р(х) ру(х) '= — —.— — —— (х — «,) ... (х — с;) йаг р (х) р(х) р,'(х) = — =— (л — с,) ... (л — «у) (х — «!) ... (х — «а) !=! х — «! 295 5.5 Кое!в ос Ро!упошва1в. Аррс!саг!оп ос $Чеввсоа'в Мвваод ТЬе МаеЫу чегз(оп оГ 1Ье (згга$ПЫГогвчагс$) $в$есч1оп шейод Гог йпейпй 1Ье гоо1 4!„$я йегеГоге ая Гойовчз: (5.5.13) х,.„= Фг(х„) вч!1Ь Ф (х):= х— р(х) р(х) Р'(х) — 2 , х — с! ТЬе адчапгаае оГ11йз Гогпш!а Иея ш йе Гас! 1Ьаг йе йегайоп а(чеп Ьу Ф! сопчегаея с)иадгаг(сайу го 4;„ечеп П йе пшпЬегя ~„..., ~г ш Ф аге пог гоогя оГ р (йе сопчегйепсе $5 оп!у !оса! !и йвя саяе).
ТЬия йе са1си!айоп о!' С,„!з по1 яепгдйче 1о йе еггогя !псиггед (п са!си!а!!па йе ргегдоиз гоопа ТЬ(я 1есЬп!с$ие ь ап ехашр!е оГ гего яирргеяясои ая оррояес1 го дейайоп [Регегя апд %$йс(пяоп (1971Ц. $в$оге йаг Ф!(х) ря пог дейпед $Г х = 4в, Гс = 1, ..., Г, ря а ргевдоиз гоог оГ р(х). ЗисЬ гоо1я саппог Ье яе!есгед ая згапйпц ча!иея.!паеас$ опе пвау изе 1Ье ча!иез $оипс$ Ьу очегзЬоойпд $Г йе с$оиЫе-я1ер пвейос$ !я ешр!суем. ТЬе Гойомлпй ряеидо-аг.ссяг.
ргоагаш Гог йпейпй ай гоогя оГ а ро(упопиа! р Ьачдпй оп1у геа1 гоогя !псогрога1ея 1Ьеяе Геайгея. Гипс!(оп ргоседигея р(г) апд р'(г) Гог йе ро!упопиа! апд (гз с$ег(чаг(че аге ргеяппед ача$1аЫе. го:=я!от!сад ротг хе, Гог Г:= 1 егер 1 ипй! л до Ьеа!и т:= 2; яя:= го; Ггеганот зг=яя; я:=0; Гог с:= 1 егер 1 ипгй à — 1 до я != я + $Г(г — х$[в!); гя:= р(г); гя:= г — т х гя((р'(г) — ея х я); вТ гя ( г йеп його !гегаиоп; !Г т = 2 йеп Ьей(п яя != г; т != 1; його !вега!!оп епд; 4! !г Е епд Ехавврг.з. ТЬе Гойе!вша ехапвр1е вПизсгасез 1Ье адчапсааез оГ МаеЫу'в шейод. ТЬе соеГйсвепгв а, о!1Ье ро!упопиа! !4 вв р(х):= П (х — 2 ') = ',в а,хвв аге са1си!асед вп аепега! адсЬ а ге!асвче еггог оГ шаапйиде в.
Сопя!дега!вопя вп Бесйоп 5.8 вчй! зЬочсгЬе гоогз оГ р(х) со Ье ней сопд$1$опед. ТЬе Гойовчша сайе зЬовчв 1Ьас 1Ье $сгесчсоп-МаеИу пвейод у!е!дв 1Ье гоосз огсЬе аЬоче ро!упопиа! ир со ап аЬво!иге епог оГ40в (в = !О "= пвасЬвпе ргес$в$оп). 1Г Гогвчагд дейайоп Ь егпр$оуед Ьиг 1Ье гооь аге дгч!дед оГГ аз вЬовчп, !.е. ш огдег оГ десгеав!па шари!аде, йеп 1Ье ППЬ гоог Ь а!геаду сошр!есе!у вчгопа. ТЬе аЬзо1исе еггогв Ье!овч аге ипдегз1оод ав пш16р!ез о!в.
297 5.6 Втпп Вецпепсеь апд па«сиоп Мегаодз ча1ие, заел зЬзв ргосегв зчз1! а1зо узе!з! зЬе гоозз о! р(х) пр зо япа11 ти!Ор1ев оГ тасЬзпе ргесзяоп [Звгз!Зззпзоп 1963, Регегз апз! Зйзз!Ыпвоп (1971)]: Без!пеппе оГ Йчзйпа оГГ гоогв оГ р(х) 13 12 1! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ! 0 (АЪво!изе еггог) х 10зз 0 2 0 4 2 5 3 1 !4 6 12 6 2 2 12 ! 5.6 БГппп Бес[пепсев апс3 ВьесГ!оп Мейодя Еез р(х) Ъе а ро!упопиа1 оГ з!едгее л, р(х) = аох" + а, х" ' + " + а„, ао ф О. !з !в ровяЫе [вес Неппс! (1974) Гог а зЬогоицЬ згеазтепз оГ ге1азез1 геви!зв] зо з!езегт!пе зЬе пшпЬег оГ геа! гоозв оГ р(х) !п а врес!йез$ герои Ьу ехапипзпд зЬе пшпЬег оГ ядл сЬалдев зч(а) Гог сегзазп розпзв х = а оГ а вес!иепсе оГ ро!упопиаЬ рз(х), ! = О, 1, ..., лз, оГ з(евсепз!!пд з]едгеев. БисЬ а в!дп сЬапде Ьаррепв изЬепечег 1Ье в!ап оГ а ро!упопиа! ча!ие х!!!Ге«в !гот 1Ьаз оГ Ьв зиссеввог.
ГигзЬегтоге, зГ рз(а) = О, ГЬеп зЬ!в епзгу !в зо Ъе гезпочег! Ггот зЬе везрзепсе оГ ро!упопиа! ча1иев ЬеГоге зЬе ыдп сЬапдев аге соипзех]. Зи!заЫе вез!иепсев оГ ро1упопиа1в аге зЬе во-са!!ег! 5зи«т ведиелсев. (5.6Л) Тгейп!!!па ТЬе вез1иепсе р(х) = рп(х), р,(х), ..., р„(х) оГ геа1 ро!упоппа!в зв а Зги«т ведиелсе Гог зЬе ро1упопиа1 р(х) зГ: (а) А11 геа! гоозв оГ р,(х) аге вЬпр!е.
(Ь) ыдп р, Я = — вздп ре(с) зГ с !в а «еа! «оог оГро(х). (с) Го«1=1,2,...,т — 1, рзе (с)р; з(~) < О зГ с гв а «еа! «оог о7 рз(х). (з!) ТЬе 1авз ро1упопиа! р (х) Ьав ло «еа! «оозя « ог висЬ Бзштп вез]иепсев зче Ьаче зЬе Го11оиззпд (5.6.2) ТЬеогепи ТЬе литЬе«оГ «еа! «оозв оГ р(х) = ро(х) зл где !лге«па! а < х < Ь едиа!в зч(Ь) — зч(а), зчЬе«е зч(х) !в гЬе лилзЬе«оГ ыдл сЬалдев о( а 5ги«т ведиелсе ро(х), ..., р„(. ) аг !осапол х. 298 5 Р|па|пя Уегов апд Мьппшп Ро|па Ьу ||егапче Ме|иоЖ ВеГоге ргоч1п8 й|я йеогеп|, |че яЬои Ьпейу Ьо|ч а яипр!е гесигяюп сап Ье ияег! |о сопыгис! а 8гигш яег!иепсе Гог йе ро!упопиа! Р(х), ргочЫегГ аИ ||я геа! гоо|я аге ышр!е.
%е г!ейпе югИаИу рч(х):= р(х), р,(х):= — рч(х) = — р'(х), апг! Гопп йе геша!шп8 ро1упош1а!я р, „(х) гесигя|че!у, г!!чк$ищ р;,(х) Ьу р,(х), (5.6.3) |чЬеге (г!е8гее оГ р;(х)] > (с!е8гее оГ р, „(х)] апг! йе сопя|апь с, > О аге роы||че Ъи! огЬег|ч!яе агЬ~|гагу. ТЬ|я гесигыоп и йе тчеИ4спо|чи ЕисЫеал а!догиЬги. Весаияе йе г(е8гее оГ йе ро!упоииа!я |!есгеаяея, йе а!8опй|п пшы |епп|па|е аГ|ег иг < и я|еря: р„,(х) = д (х)р„(х), р (х) 4| О. ТЬе Ипа! ро!упопиа! р (х) и а 8геагея! саги|поп йчвог оГ йе г|чо !шИа1 ро1упоппаЬ р(х) апг! Р,(х) = — р'(х). (ТЛЬ ь йе ригрояе оГ йе ЕисИг!еап а18опйи|.) 1Г аИ геа! гоо|я оГ р(х) аге ышр!е, |Ьеп р(х) ап|1 р'(х) Ьаче по геа! гоо|я ш сопипоп. ТЬия р (х) Ьая по геа! гоо|я апг! яаИя6ея (5.6.1д).!Г Р|(с) = О, |Ьеп (5.6.3) 8!чеЯ Р; г(с) = — с; Р;„г(с). АЯыиие |Ьа! Р;„(4) = О.
ТЬеп (5.6.3) ъчои16 пир!у р;„(с) = ". = р (с) = О, соп|гайсйп8 р (с) ~ О. Т!иь (5.6.1с) ь яаг1яйег1. ТЬе гхчо ге|па|п|п8 сопй|юпя оГ (5.6.1) аге иптейа|е. Ркоог ог Тньокьм (5.6.2). %е ехапппе Ьохч а рег|игЬа|юп оГ йе ча!ие а аИесгя йе пшпЬег оГ ы8п сЬап8ея |ч(а) оГ йе яег!иепсе Ро(а), Рг(а), "., Р (а) Яо!оп8 ая а В по! а гоо! оГапу оГ|Ье ро!упоииа!я р|(х),! = О, 1,..., и|, йеге ь, оГ соигяе, по сЬап8е. 1Г а Ь а гоо! оГ р|(х), |че сопя!|!ег йе ||чо саяея! > О аист! = О.
1п |Ье Игя! саяе, | ( |и Ьу (5.6.14) ап|1 р|,,(а) + О, р;,(а) ф О Ьу (5.6.1с). 1Г р;(х) сЬап8ея ы8п а! х = а, |Ьеп Гог а яи!Вс1епг!у ыпаИ реггигЪаг!оп Ь > О, йе ы8пя оГ йе ро!упопиа!я р,(а), Г = | — 1, Ь 1+ 1, йяр!ау йе ЪеЬач1ог |Иия|га|е|1 !и опе оГ йе ГоИоилпц Гоиг |аЫея: а — Ь а а-|-Ь О | |+ | — 1 О | |+1 299 аа яигв Веинеиии апд Вы«сиоп Ме~ьодв 1п еасЬ швгапсе, в(а — Ь) = гч(а) = гч(а + Ь): йе пшпЬег оГ в1ап сЬапаев геша!пв йе вате.
ТЬыв а!во ппе П р,-(х) г!сев пог сЬапае в!ап аг х = а. 1п гЬе весопг! саве, «че сопс!а1е !гот (5.6.1Ь) гЬаг йе ГоПочч!па 51ап рапегпв регваш а — й и а+и и — и а а+и г 1п еасЬ 1пввапсе„5ч(а — Ь) = гч(а) = гч(а + Ь) — 1: ехасг!у опе в!цп сЬапае !в аа!пег! ав «че рава гЬгопаЬ а гоог оГ ро(х) — = р(х). гог а < Ь апг! впГПс1епг!у япаП Ь ) О, гч(Ь) — и(а) = в(Ь вЂ” Ь) — и(а — Ц !пгПсагев йе пшпЬег оГгоо1в о!Р(х) !п йе 1пгегча! а — Ь < х < Ь вЂ” Ь.
%псе Ь ) О сап Ье сЬовеп агЬ|ггап!у япаП, йе аЬоче гП!Гегепсе тсПсагев йе пшпЬег оГ гоогв а1во ш йе 1пгегча! а < х < Ь. П Ап ппропапг пве оГПгипп вег!иепсев 1в !п Ь!весггои тегЬаГв Гоге!егегт!ила йе е1аепча1пев оГ геа! вуттегпс та!пеев гчЬ1сЬ аге гпг!1ааопа1: а, Р'д О О . р„ ГГ„а„ КесаП йе сЬагасгепвПс ро1упоппа!в р,(х) оГ йе рппс1 ра! пппог Гостей Ьу йе Пгя ! гогчв апП со!шппв о! йе та!их Г, «чЬ1сЬ веге тепг1опег! ЬеГоге ав ваг!в!уши йе гесигв!оп (5.5.3): Ро(х)' р,(х):= а, — х, р;(х):= (а; — .«)р, ,(х) — р,'р; г(«), ! = 2, 3, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
