Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 43
Текст из файла (страница 43)
!л!оис 1ег у > 0 Ье йе япайеяс !пгеаег вас!аГу!па Гс„(р,2 !) < Гс(х„) — р„2 ' — '/!06(х)!!. 8 (5.4.1.12) Ассогсйпд го (5.1.1.11), 7' < 7', апс( ГЬе с!ейпиюп оГ х„„схе Ьахе (5.4.1.1 3) 6(х„с) < Мрс2 7). (5.4.1.8) ТЬеогеип. 11тГег йе Ьуройеяея оГ ТЬеогет (5.4.1.4) еасГс ьес1иепее (х„) ргосГисесГ Ьу а тегйосГ о( йе гуре (5.4.1.7) загГфез ГЬе еопс!иейопк оГ ТЬеогет (5.4.1.4). 279 5.4 А Мое|ай Хсчпоп Меаххз То арр!у йе ГЛеогегпз оГ йе 1аз! зесПоп гес1гПгез а 1Пг!е ргерагаПоп. %е зЛочч Пгзг йаг, Гог ечегу х зпсЬ ГЛа! И = Ы(х):=РДх) 'у'(х) апд з = з(х) = —— Н !! Г!! ех1зг [1.е.„РГ(х) ' ех!згз апс1 И + 0$, чче Лаче 1 (5.4.2.1) з я 0(у, х) Гог аП О < у < у(х), у(х):=— сопс!(РГ(х ) ) 1п йе аЬоче, !!РГ(х)!!:=!пЬ(РГ(х)) апс! сопгГ(РГ(х)):= !!РГ(х) '!! /!Ру'(х)/! аге Го Ье г$ейпег$5ч11Л гезресГ Го йе ЕпсПг11ап попп.
Раоог. %псе Л(х) = Г(х)гДх), чче Лаче (5.4.2.2) 06(х) = 2у ~(х)РДх). ТЛе шес1паППез !! Г (х)07(х)/! < !/Ру'(х)!! !! Г(х)//, !!07(х) 'Г(х)!! < !(РГ(х) '!! /!Дх)/! с1еаг!у Ло!41, апд сопзег!пеп!!у РЛ(х~ Г'(х)~0Г(х)РГ(х) 'Дх) 1 !!РЬ(х)!! !!РУ(х) Ях)!! !! Гг(х)РГ(х)!! сопд(07'(х)) Л!очч, Гог аП у ъч11Л О < у < 1/сопо(РГ (х)), П ГоПоччз ГЛа! з е 0(у, х) ассогд1па го йе с!ейп11!оп оГ 0(у, х) а1чеп 1и (5.4,1.1). (:) Аз а сопзесГпепсе оГ(5.4.2.2) чче оЪзепе: 1Г РГ(х) ' ех1згз, йеп (5.4.2.3) 06(х) = О с~ Г(х) = О, 1.е., х !з а згаг1опагу ро!пг оГ Л П апд оп!у !Г х Гз а лего оГу.
Сопз!серег йе ГоПочч!па пгос1П(ед 1Че5чГоп гпеГЛос$ (сотраге вГГЛ (5.4.1.7)1: (5.4.2.4). (а) Бе!есг а згагг!пд рогог хе е Й". (Ь) Рог еасЛ Гг = О, 1, ... гГеу! пе хее, )гот х„аз Го!!от: (и) Бег И,:= РГ(х„) 'Г(х,), 1 сопд(РГ(х,)) ' 28О 5 Г!лойпа Уегод апд Мтипяп Ро!пп 'пу Ьегааче Метопд агдГ 1ег Ьд(х):= Ь(хд — хг!д), дчЬеге Ь(х):=Цх) 1(х). Ггегегтте йе втайевг тгедег !' > О ваг!фу!лд Ьд(2 !) < Ьд(О) — 2 ! —" !)Пд)! )ГУЬ(хд))!. (П) Ггегегт!пе Лд во Маг Ь(хдд,) = ш1пе ..., Ьд(2 '), апдГ 1ег хдд,:= хд — Лдад. Ав ап апа!ой со ТЬеогеш (5.4.1.8) дче Ьаче (5.4.2.5) ТЬеогепз. Еег Г: й" - й" Ье а д!пел уипсйоп, апИ !ег хр е й" Ье а ро!лг дч!гЬ гЬеГойодч!пд ргорегйев: (а) ТЬе вег К:= (х ~ Ь(х) ( Ь(хе)), дчЬеге Ь(х):=Г(х))/(к), 1в сотрас!; (Ъ) у дв сопг!пиоив!у г(фегепг!аЫе оп доте орел вег сопгаттд К; (с) 0Т(х) ' ех!в!в)ог аП х е К.
ТЬеп йе ведиепсе (хд) деудлегГ Ьу (5.4.2.4) !в иеП гуейпегГ апдГ ваг!вйев Яе Той 1д: (1) .хд е К !ог аП !г = О, 1, ..., агиГ (хд) Ьав аг 1еавг опе ассити1абоп рот! х о К. (2) ЕасЬ ассити!айоп рот! х о!'(хд) !в а гего о0,7'(х) = О. Раоог. Ву сопв!гпс6оп, (Ь(хд)) гв шопогопе: Ь(хе) > Ь(х,) >" . Непсе х, е К, Гг = О, 1, .... Весапве оГ авяипрГ!оп (с), Ид апгГ у„аге хчеП г(ейпед П хд гв дейпей Ргош (5.4.2.1) вд е ГУ(уд, х ), чгЬеге в„:= Пд I 'вПд 'д.
Ав ччав ГЬе саве Гог (5.4.1.7), йеге 1в а у > О ейй ГЬе ргорегйев 81чеп !и (5.4.2.4). Непсе х,, 1в дГейпед( Гог еасЬ хд. Ходи (5.4.2.4) Ьесошев Гоппайу !гГепг1са! го йе ргосевв 8!чеп Ьу (5,4,1.7) 1Г од 1в дейпегГ Ьу 1 дд 1!уй(хд)1 ТЬе гегпашг1ег оГ гЬе йеогегп Гойочгв Ггогп (5.4.1 8) ав вооп ав дче евгаЫ!вЬ ГЬаг шГуд > О, !пГод > О. 281 5.4 А Мо41йед Хечпап Мейоп АссоггПп8 го аввшпргюпв (Ь) апг$ (с), РГ(х) ' 14 сопгшпопв оп $Ье согпрасс ве! К.
ТЛеге$оге сопг$(РЯх)) 1в сопг$ппопв, апд 1 шах сопд(РГ(х)) «ех ех !в!в. %ПЬоп! 1овв оГ 8епега1$гу, 5че 1пау аввшпе гЬаГ х, $в по! а вГаПопагу ро$п! оГ Ь; 5чЬ$сЬ гпеапв ГЬа! Ь $в по гего оГ 1: Ьесапве оГ (5.4.2.3) апг$ авыипрг$оп (с). [1ГДх„) = О, $Леп П ГоПогчв $пппег$$аГе!у ГЬаГ х„= х„ х„„=.",апг$ йегегвпоГЛ$п81ейговЬочч.]ТЬпв,в!псе х„е К Гог$» = 0,1, !пГ у, > у > О. Оп гЬе огЬег Лапс$, Ггогп йе Гас! $ЬагДх,) + О, Ггош (5.4.2.2), апг$ Ггогп йе шег1па1П$ев !!И„/! = !!РГ'(х,) 'Ях,и > —.
— — !/ Г(х„)!!, 1 ((РГ(хеи ~!06(х„)/! < 2/(РГ(х„)/! // Г(х„)!/, П ГоПо5чв пшпесПаГе!у ГЬаГ ! 21РГ(х„))! [Ггош йе сопПпшгу оГ 0$ (х) ш йе веГ К, 5чЫсЛ гв сошрасГ]. ТЬпв, аП йе геыПв оГ ТЬеогегп (5.4.1.8) [ог (5.4.1.4)] арр1у го йе вег$пепсе (х„). 8!псе аввшпргюп (с) апг$ (5.4.2.3) го8егЛег 1шр1у $Ьаг еасЬ вгаг$опагу роша оГЙ $в а!во а лего оГ Г: йе ргооГ Гв сошр!еге. П ТЬе гпегЬог1 (5.4.2.4) гес$п$гев гЬаг !!06(хек апг$ ",„:= 1~сопг$(РГ(х„)) Ье согпрпГег$ аГ еасЬ $$егаПоп ввер. ТЬе ргооГ оГ (5.4.1.8), Ьо5чечег, вЬо5чв йаГ П 5чоп!д Ье впГПс$епГ го гер!асс аП у, Ьу а!о5чег Ьоппг$ у > О, у„> у.
1п ассогг$5ч!ГЬ ГЬ1в, Л„!в пвпаПу деГегш$пег$ ш ргас$$се во ГЬаГ Ь„(2 ') ( Ье(0). Ночеечег, 58псе йгв оп! у гег$п$гев $Ьаг у, > О, йе шегЬог$в овей Гог йе аЪоче ргооГв аге по! впГПс$епг!у вггоп8 го Ппагапгее йе сопчег8епсе оГ й14 чапапп А Гпгйег гешаг$с аЬопГ йе ЬеЬавПог оГ (5.4.2.4):!п а впГПс1еп$!у япаП пе$8ЬЪогЬоог$ оГ а лего $Ье шегЬод сЬоовев 2, = 1 апгошаПсаПу. ТЬ$4 шеапв $Лаг йе шегЬсн$ сопГоппв го йе оггПпагу Ь$е5чгоп шегЛод апг$ сопчег8ев 4$падгаг!саПу. %е сап вее йгв ав ГоПо5чв: 8!псе 1пп„„х„= х ааспб Г(х) = О, йеге Гв а пе18ЬЬогЬоос$ !',(х) оГ х !и вЫсЬ ечегу Пегагюп ввер г„- г„, 5чЛ$сЛ 5чоп14$ Ье сагг$ес$ оп! Ъу йе оггПпагу Ь$е5чГоп гпейог$5чоп!П ваПвГу йе сопгППоп (5.4.2.6) !)ге„— х)! ( а!ге — х()е 282 5 Рвиппа Уегпь апа М!пппппг Рп~ЬГа Ьу 1ГегаГгче МеГЬпгп апд (5.42.7) 32а~с~1га — х1~ < 1, с:=сопгГ(01'(У)). Тау!ог'з ехрапяоп оГГаЪои! х 8!чез Дх) = 0Г(х)(х — х) + о(~1х — х1).
5Писе !ип„а о(1х — х)!Их — х1 = О, йеге Гз апойег пе18ЬЬогЬоогГ Ггг(х) о!х зисЬ гЬаг ф/07(х) г!! г(х — х!! < Г(х) = ГЬ(х) < 2107(х)!/ !1х — х!! Гог аП л и Г'г(л). СЬоозе а пе!8ЬЬогЬоог( 17(х) ~ Ггг(х) гл ГЯх) апгГ 1еГ Ггп Ье зисЬ ГЬаг хг, е Цх) Гог Гг > Ггп. ТЬгз гз РозЯЫе Ьесаизе!ип, „л.„= х Сопыг(ег!п8 л„,:=х„— 01(л„) 'Г(ха), Г.е., па= 1 !и (5.4.2.4), апгГ иып8 (5.4.2.6), (5.4.2.7), уче аге 1ег( го Ь(ха,г) < 4!!ф(х)!! !1х„„.г — х1~ < !ба~се!1х„— х1~Ь(ха) < Ь(ха)(! — 4) Ггош (5.4.2.4Ъм), уа!)гГ„/! /!0Ь(ха)!/ < 2гДОГ(хе) г!! Ц~~0Г(х,)~~1г(хе) = 2Ь(х„).
ТЫз ипрПез Ь(х„,) < Ь(ха)(1 — ~ф) < Ь(х„) — — "- (гГа (! )!0Гг(х„))!. ТЬаГ 1з, йеге ех!згз а lгп зисЬ йаг Гог аП Гг > Ггп йе сЬо!се 7' = О апг$2а = 1 учП! Ье шаг(е ш гЬе ргосезз 8!чеп Ъу (5.4.2.4). ТЬиз (5.4.2.4) В ЫепПса! го йе огьПпагу ЬГе«г!оп шегЬог$ ш а зиГПс1епг!у япаП ие18ЬЬогЬоод оГ л, лчЬ!сЬ шеапз йаг П !з 1осаПу гГиаг(гаг!саПу сопчег8епи АззипурПоп (а)-(с) ш ТЬеогеги (5.4.2.5) сЬагасгег1хе йе с1азз оГ ГипсПопз Гог учЫсЬ йе а18опйш (5.4.2.4) гз арр!гсаЫе. 1и опе оГ гЬе ая68пег1 ргоЫешз Гог ГЫз сЬаргег, пчо ехаи1р!ез «иП Ье 8!чеп оГ ГипсПои с1аззез учЫсЬ гГо по! запзГу (а)-(с). 5.4.3 ЗидПез1(опз Гог а Ргас1!са! !гпр1ешеп1а11оп оГ йе Мог((Пег( Неуч!оп Мейог(. А Кап(г-Опе Мейог! Гуие Го Вгоудеп Хе«г!оп'з гпейог( Гог зо1ч1п8 йе зузгешЯх) = О, ччЛеге7: й" — й", !з гГипе ехрепяче ечеп гп 1гз шогГ!Пег( Гопп (5.4.2.4), япсе йе ЮасоЫап 0Яха) апгГ йе зо!иПоп го йе Ипеаг зузгеш 0Г'(ха)е! = 7'(ха) пшя Ье соиуригегГ а! еасЬ 283 ЗА А Мое!йее $Хееаоп Меихх$ пегаПоп.
ТЬе еча1пайоп оГ ехрйсй $оппи1аз Гог гЬе согпропепгз оГОГ (х) тз Ггепиеп$1у сошрйсагед апг$ созг!у; $пг$еег$, ехрйсп Гогпш1аз шау по! ечеп Ье ачайаЫе, !п зпсЬ сазез П ь геазопаЫе го гер!асс (дГ(х) дГ(х)~ '! дх' ' ' дх".! аг еасЬ .х = х„Ьу а гпагг4х (5.4.3.1) ч Ьеге л; Г(х) = Ях', ..., х' + Ь;, ..., х") — Г(х', ..., х',..., х") ! Ях + Й;е;) — Г(.х) гЬаг ь, че 1пау гер!асе йе рагйа1 г(ег$чаг!чез дГГдх' Ьу зш!аЫе гй$Гегепсе г$ио$1епгз Л, Я Хосе гЬаг йе шаспх ЛГ(х) сап Ье сошрпгег$ члгЬ оп1у л агЫ!г!опа1 еча!иагюпз оГ йе Гппсгюп Г(Ьеуопг$ $Ьаг гепи$гех$ аг йе ро$пг л = х) Ночтечег П сап Ье г$1ГПси1$ го сЬоозе йе згерз$хез Ь;. 1Г апу Гг; ь гоо !аг8е, йеп ф'(х) сап Ье а Ьаг$ арргох1пгагюп го $3/'(х), зо ГЬаГ йе Пегайоп х„,, = хд — л„д$$ (х„) ! (хе) (5.4.3.2) сопчег8ез, $Г П сопчег8ез аг аП, пшсЬ гпоге з!оч!у йап (5.4.2.4).
Оп $Ье огЬег Ьапс$, !1апу Ь; в гоо япаП, гЬеп Г(х + Ь;е,) = Г(х), апг$ сапсейагюпз сап осспг пЬ1сЬ гпасегПаПу гег$исе йе ассигасу оГйе сййегепсе г$иог$епгз. ТЬе ГоПочли8 сошргош$зе зеепь го ног!с йе Ьезь 1Г ае азяппе $Ьаг аП согпропепь оГ Г(х) сап Ье сопъригес$ члй а ге!арче еггог оГйе загпе огг$ег оГ ша8п$$ис$е аз йе шасЫпе ргесвюп ерз, йеп сЬоозе 11, зо $Ьаг / (х) апг$ Г(х + Ь;е;) Ьаче гоп8Иу йе йгзг г!2 г$!8$гз !п сопппоп, 8$чеп $Ьаг г-г$$8$$ асспгасу ь Ьеш8 ша$ига!пее$ !пяте йе сошрыгег. ТЬаг 1з, (л;! ()А, Г(х)$! = ерз $$Ях)$(. 1п гЫз сазе йе $пйиепсе оГ сапсеПайопз $з изпаПу по! соо Ъад. 1Г йе Гипсгюп Г Ь чету сошрйсагег$, Ьочечег, ечеп гЛе л аг$ййопа1 еча1пайопз оГ Г пеедег$ го ргог(исе ЛГ(х) сап Ье гоо ехрепяче го Ьеаг ас еасЬ Пегагюп, 1п $Ьгз сазе юе ггу гер!ас1п8 $3Г(х,) Ьу зотие тпапПх В„ч4|сЬ Гз ечеп ягпр!ег йап ЛГ(х„). БшгаЫе шагг1сез сап Ье оЪга!иег$ ияп8 йе Гойочлп8 гезий с$ие го Вгоусйеп (1965).
(5.4.3.3) ТЬеогепв. Г.ег А атиГ В Ье атЫгтат1 л х л тагт Геез; !ег Ь е й", апИ 1ег т: й" - й" Ье йе аЯле тарртд т(и):= Аи+ Ь. циррозе х, х' а й" ате гйзгтег песгатз, алг$ Аефле р, д Ьу р:=х' — х, ц:=Цх') — Е(х) = Ар. 284 5 Р|потпа Уагпь апет Мтп|птппт Ро|пп Ьу 1|егаиче Мей|ки Твен йе и х и татгвх В' дтоеи Ьу 1 в':= в + —,— (д — вр)р' Р Р тат!фея !иЪ|(В А) < 1иЬт(В А) тчттГ| гезрсст то йе Еис!|т(топ погт, аи|Г |т а!ао лат|фея йе ет!иаттоп В'р = Ар = т!. и=хР+го е Р=О, !(о)|<1, Йе!е.
ТЛиа || Говоить Гтоп| |Ье |Гейштюп оГ В' |Лат, Гог !и!!т = 1, !/(В' — А)и!!т = !!(В' — А)о/!т — — )( — А)о!~т < 1иЪ ( — АЦт!) <1иЪ|( — А). Непсе 1иЬ,(В' — А) = амир 1)(В' — А)т|1! <1иЪ ( — А). Г ) '|=| ТЛ|ь геаив зЛотча йат йе ЗасоЬ!ап Гур(х) = А оГап аГПпе Гипстюп 1' та арргохипатед Ьу В' ат!еаат аа туев аа П |а арргох!тате|! Ьу В, апт1 Гиг|Легтоге В' апд 0г(х) и|П! Ьой |пар р !пто йе вате чес|ог. В!псе а йГТегеп6аЫе поп1|пеаг Гипстюп Г: й" — Г!" сап Ье арргох!тате|! то Пгат огт$ег |п |Ье пе!аЛЬогЛоо|$ оГ опе оГ !15 пегое .х Ьу ап аГПпе Гипстюп, тЛ!ь аиааезта и|вид йе аЪоче сопатгисбоп оГ В' Гготп В ечеп т йе поп Ппеаг сапе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
