Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Весаиье оГ (а), апг$ Ьесаизе ха а 5„(л.п) Гог а!1 Ег > О, !/0Г(х„) — 0Г(х )$! < у/!х, — лп !! < уг, апг$ йегеГоге !!$3Дхай < уг+ !!$?Е(хп)!! =:К Еог аи(Всгепг!у !агае и > ЕЧ(а), Ъесаике О < Гг < 1. Сопьег$иепг!у, йеге В а!ишг 1ип х, = с а 5,(х,), а е гчЬове гпс!ияоп гп ЕЬе с1оаиге Ео!!о!чу Ггогп гЬе Гас! йа! х„а 5,(лп) $ог а1! 1! > О.
Ву раыпВ го йе 1ипВ гп — со $п (5.3.5) ъче оЬгагп (3) аь а яг$е геьц11: ,Г 2"- ! г» и - и 1 12 ~! . — .~! = ~14 — -.1~- 272 5 Ггпгггпд 7егоь апд Мгппппт Рогпгг Ьу ггпгааче Мпгггодг ТЬе !пес!па!ггу !! Г(х„)!! < К!!лг, г — л„!!. Го11оччя Ггогп йе ег$пагюп Г'(х„) = — О/ (х,)(넄— х„). Непсе !пп !! Г(х„)/! = О, г и апг$, япсе ! 1а соп$1пиоиа аг с, 1пп !! /(х„) !! !! /(с)!! — О 1.е., с 1а а хего оГ Г.
Г$пс(ег ьогпегчЬаг ьггоп8ег аяяппргюпв Ь сап Ье яЬоччп ГЬаг с га йе оп!у хего оГ !'гп 5,(х,): (5.3.6) ТЬеогезп (Ь$еччгоп-КапгогочгсЬ). Свеи йе Гйисггои Г, С а й"- $$" аигГ йе соигех лег Сп < С, !ег Г Ье соштиоиг!у ЙфегеиггаЬГе ои Сп аиг$ ьаггЯ йе соигГгггоиз (а) !!$7Г(х) — $$Г(у)!! < у!!х — у!! Гог а$! х, у е Сп, (Ь) !!$7Г(хп) 'Г(хп)!! < х, (с) !Ф(- ) '!! <$$.
/ог коте .хп я Сп. СотггГег йе г$ггаггггггее Ь -'= х)г;, 1 + гг$ — 2Ь "г. 2 ГГ Ь < г аггг$5„,(х„) ~ Сп, гЬеи йе зег$ггеггсе (л„) г$еЬггег$ ЬУ л„„:=.х„— $$Г(хг) 'Г(х„) Гог Гг = О, 1, ... гетагиз ги 5„,(хп) аиг$ соиоегдез го йе иигг$ие =его оЦ(х) ггг Сп гл 5„(хп). гог йе ргооГ атее Огге8а апг$ ггЬе1пЪо1дг (1970) ог Со!!ага (1968). 5.4 А МОййЕГ$ ХЕЮГОП МЕГ)$Од ТЬеогегп (5.3.2) 8пагапгеея $Ье сопчег8епсе оГ $л$егчгоп'ыпегЬог$ оп! у гТГЬе ягагг1п8 рого! х оГ гЬе ЬегаОоп га сЬокеп "апГГгс1еп$1у с!оае '* со йе г(еягег$ яо!пг!оп с оГ Г(х) = О, 7: И" — $е". 273 5.4 А МоиЗаеи Чезчгоп Мпйои ТЬе ГОПов(па ехашр!е ьЬовь гЬаз Хевзоп'ь шейос1 зиау гйчегде озЬегв(ье. Ехлмчса !.ез /: й — ° й Ьс азчеп Ьу Г(х) = агсшп х.
ТЬсп с = О зь а ьо!сиоп о/ /(л) = О. ТЬе Злзсвзои исгайоп Ь з/ейпез5 Ьу х,„,:=х„— (! 4- хзз) агсгап л;. !Г лче сиооье хп ьо зиаз агсгап ! хо ! > — — з 2)хо! ЗЬеп ЗЬе ьез1пепсс ( ~ х, ! ) гйчегасзс !ип, ! х, ! = со. 'Ызе г(еьсг(Ье а шог)(йсазюп оГ Хевзоп'ь шезЬоз) Гог вЬ(сЬ а!оЬа! сопчегаепсе сап Ье ргочеп Гог а (агае с1аьь оГ Гипсйопь /: ТЬе гпогППсайоп (пчо)чеь зЬе шсгог)исзюп оГ ап ехзга рагашезег Л апз) а ьеагсЬ з/згесгзоп ь зо г)ейпе йе ьез!иепсе (5.4.0.1) хл.
з:= лл — Лльл, виеге зур(саПу ь„:= з/„ = (О/(х„)1 з/(х,), аозт йе Лл аге сЬоьеп ьо зЬаз зЬе ьег/иепсе (/з(х,)), Ь(х) = /(х)~Г(х), зь ьзпсг!у шопозопе г)есгеаяпа апг( зЬе х„ сопчегае зо а пипипшп ро(пз оГ Ь(л). (Сошраге зЬзь в(зЬ зЬе ргоЬ!еш оГ попПпеаг 1еаьз-ьг1иагеь г)аза Пзйпд шепзюпед зп Бес!(оп 450) %псе Ь(х) > О Гог аП л., Ь(х) = О пп /'(л) = О. Ечегу !оса! пшшпши рози! .г оГ Ь вЬзсЬ ьаз)ьйеь /з(х) = О зь а1ьо а а!ОЬа) иипзишгп рози! х оГ /з аь веП аь а лего оГ / 1п йе ГОПовзпа ьесгюп ве взП сопяз)ег Пгьз а Гев аепега! геыйь аЬоиз йе сопчегаепсе оГ а с!аьь оГ пипипзаазюп шезЬоз!ь Гог агЬПгагу ГипсПопаЬ !г(л).
ТЬеье геьи!зь вП! йеп Ье иьег( зп Кесз(оп 5.4.2 го шчеьззаазе йе сопчегаепсе оГ йе шогППег( 1л!евзоп шезЬой 5.4.1 Оп йе Соичегдепсе оГ Мзизшзга!Гоп Ме1Ьог)ь 1.ег !~ ~! Ье йе Еис!к(еап чесгог попп апз! О < у < 1. %е сопыг(ег йе ьес (54.1.1) 0(у, х):= (ь е й"! /!ь!! = 1 взй 0Й(х)ь > у!!0Ь(х)!!) оГ аП гПгесйопь ь Гогпипа а поз-гоо-1агае асизе апа!е в(зЬ зЬе агаг((еп! 0Ь(х) = 1 —,..., — — ), вЬеге х = (х',..., х")г. згдЬ(х) дЬ(х)'л зл дх' '"' дх" )' ТЬе ГОПовша 1еиипа ьЬовь, а1чеп ап х, ипг(ег вЬаз сопсйзюпь а ьса!аг Л апг( ап ь а й" ехйи ызсЬ йаг 6(х — Ль) < Ь(х).
274 5 ддпо!пд Уагоа апд М!пппшп Рогпь 'пу Пегагпа Магипоа (5.4.1.2) Еегппюа. 1.ег Ь: й" — й Ье а7ипсгГоп ъчЬоке дга(Генг !а ИеЬиегГ ааГ сопгтиоиь Гог а!! х о !'(х) Ги а пеГдЬЬогЬоог( !'(х) оГх. БиррозеуиггЬег йаг РЬ(х) а О, аигМ 1ег 1 > у > О. ТЬеп йеге !е а пеГдЬЬогЬоогГ Цх) ~ Гг(х) о( х алИ а питЬег Л > О яисЬ йаг Ь(х — ре) < Ь(х) — (д(4)$!РЬ(х)!! Гог а!! х а Цх), я о 0(у, х), агиГ О < и < Л. Ркоог. ТЬе яе! 17'(х):= х я Гг(х)! !!ВЬ(х) — РЬ(х)!! < — ' //РЬ(х)/! ! ! 4 га попеюпр!у апг$ а пе15ЬЬогЬоог! оГ л, е4псе РЬ(х) ~ О апг$ а!псе РЬ(х) 14 сопйпиоив оп $'(х). 5ип1!аг!у ГГ~(х):= л я У(х)/0(;, х) ~ 0 —,.х 1а попегпргу апй а пефЬЬогЬооо оГ х.
СЬоояе а Л > О ьо гЬ|! Я,а(х) = (. !!!. — х!! < 2,Ц а ГГ (1) „ 17 (х) апг$!е! ТЬеп гТ х е Ю(х), О < р < Л, з о О(;, х), 1Ьеге еяаГ д, О < д < 1 аисЬ ГЬа! Ь(х) — Ь(х — рю) = рРЬ(х — О!а~ = ЯОЬ(х — дря) — ВЬ(л)р + РЬЯН~. 5!псе х е Цх) 1гпр11еь .х, л — рз, х — О!аг е ГУ' гл Е7~, й Го!!опек гЬаг Ь(х) — Ь(х — рз) > — — ' !!РЬ(х)!! + ГгВЬ(х~ 4 > — — ' !!РЬ(х)!! + р — ' !!РЬ(х)!! = — ' !!РЬ(л)!!. %е сопяг$ег 1Ье Го!!очппд пгегЬси$ !ог гп!пип1г!пд а г!!ГГегеп!!аЫе Гипсйоп Ь: й" — й.
(5.4.1.3). (а) СЬоозе питЬеге у„о„, Ь= О, 1, ..., ьгГГЬ ГпГо, > О, пир уа < 1, !пГуа>0, аги( сЬооье а егаггшд рот! хп а й". 275 5.4 А Мод!ада ЛЧедддоп Метод (Ъ) гог а!! Ь = О, 1, ..., сЬоояе ап яд а 0(уд, хд) аилЕ яег хд,:= лд — Лдяд дгЬеге Лд и [О, и, [0Ь(хд)(!! !я яисЬ ЕЬаг Ь(хд„) = ппп (Ь(хд — !ляд) ! О < !л < од!!0Ь(хд)!!). ТЬе сопчегаепсе ргорег11ея оЕ ГЫя шегЬод$ аге а1«еп Ьу ЕЬе Гойо«ипа (5.4.1.4) ТЬеогепв.
Еег Ь: й" — й Ье а Гипс!го, аплГ !ег хо е й" Ье сЬояеп яо г!лаг (а) К:=(х(Ь(х) < Ь(хо)) !я сотрасг. атЕ (Ь) Ь !я сопгтиоия!у гЕфегепгЕаЫе и лоте ореп яег сопла!и!ад К. ТЬеп Гог аоу яедиепсе (хд) гЕеЯпелЕ Ьу а тегЬолЕ оЛ" ЕЬе гуре (5.4.1.3): (1) хд е КЕог аП Ь = О, 1,.... (хд) Ьая аг 1еаягоиеассити!а!!оп ротгх !и К. (2) ЕасЬ ассити!айоп рот! оЕ(хд) !я а ягагЕопагу рооп оЕЬ: 0Ь(х) = О.
Ркоог. (1): Ргош ЕЬе г(ейшл!оп оГ ЕЬе яег!пепсе (хд) Ь Еойо«я птппеейаге!у ЕЬаллЬе яег!пепсе (Ь(х,)) ыпопогопе: Ь(хо) > Ь(х,) > ".. Непсе хд а К Гог аП К К Ея соплрасл;1ЬегеГоге (хд) Ьая ал 1еаял опе ассппш!алюп ропП х е К. (2): Айше ЕЬаг х Ея ап ассшвл!алюп ро1пг оГ(хд) Ьш Ея пол а ялагюпагу ро!пг оГ Ь: 0Ь(.х) ~ О. (5.4.1.5) %11Ьопг 1ояя оГ Пепега!Пу, !ег 1ип, „лд = .х. Ьег у:=1пГд уд > О, и:= лпГд од > О.
Ассогг!1гщ го 1.епппа (5.4.1.2) гЬеге гя а пе1аЬЬогЬоод ЕУ(х) оГ х апгЕ а пшпЬег Л > О яаг!я!у!па (5.4.1.6) Ь(х — !ля) < Ь(х) — !л — /(0Ь(л)[ 4 Еог аП х е Е!(х), я а О(;, х), апдЕ О < Ел < Л. %псе!ппд „х, = х, ЕЬе сопбпшду оГ 0Ь(х), лоаелЬег «чГЬ (5.4.1.5), пп- рйея ЕЬе ех1ягепсе оГ а /с„япсЬ ЕЬаг !ог аП Ь > /со (а) хд и Ег(х), (Ь) [0Ь(хд)!! >,'!!0Ь(х)[. 1.ел Л:= ппп(Л, лло10Ь(х)!!), е:= Л(у/4И0Ь(хи > О. о!псе од > и, И !о1- 1о«я 1Ьаг [О, Л] ~ [О, од10Ь(хд))Д Гог аП Ь > Ь .
ТЬеге!оге, Ггопл ЕЬе лЕейп!люп оГ х„,, Ь(х„,) < ппп(Ь(х, — !ляд) (О < Ел < Л). д 276 5 Р!паапа хпгпь апд М!п!гппгп Ро!пь 'пу 1Гегаиче Мейпап о!псе Л < Л, .х„е Цх), з„е О(;,, х,) ~ О(;, .х„), (5.4.1.6) ппр!1еь йа! Л; Гг(х„~ г) < Ь(х„) — ' ) 06(лИ = Ь(х„) — е 4 Гог а!! Гг > Гг . ТЬга гпеапь !Ьаг 1пп„„Ь(х„) = — оо, юЬ!сЬ сопггаг)!сгь Ь(х„) > Ь(х„,,) » ".
Ь(х). Непсе, х Га а я!аг!опагу ро!пс оГ Ь. Е3 аргер (Ъ) оГ (5.4.1.3) !а Гспо~чп ав йе Пле зеагсЬ. Ечеп !ЬопдЬ гЬе шегЬод а!чеп Ьу (5.4.1.3) га с!и!!е телега!, !Гь ргасбса! арр11са!юп Га !пп!!есГ Ьу йе Гас! йа! йе!ше ьеагсЬ шпаг Ье ехасг, !.е., !г гег!ага !Ьаг йе ехасг ппп1- шшп рошг оГ йе Гппсгюп ф(р) '= 17(хг — щ,) Ье ГоппгГ оп !Ье ш!егча! [О, о„()01г(х„)(] !и огг!ег го г)егепшпе л„„. Сгепега!!у а дгеаг г(еа! о! еГГогс !а гегГшгегГ го оЫа!и ечеп ап арргохппаге ппшпппп роша ТЬе Го!!олч!па чаПапг оГ (5.4.1.3) Ьак йе ч1г!пе ГЬаг !и пгер (Ь) йе ехас! ппппвгабоп га гер!асес( Ьу ап !лехасГ 1те «еагс1Ь ш рагбсп!аг Ъу а ЙпОе ьеагсЬ ргосепп: (5.4.1.7). (а) С1юоуе литЬеги 7„, о„, Гг = О, 1, ..., уо йаг 1пГ о„> О.
шГ;„> О, апр 7„~ (1, Сйооье а егаМнд рот! .хп е й". (Ь) Рог еасЬ Гг = О, 1, ... оЬгат .л.„,, Ггот х„аь Го! 1онс< (м) Яе1есг Яп й 0(уп, хп), Авале Рп к [ '(хк)~! Ь(Р) '(хг Игп) ала аегегтте йе ита!1езг иггедег! > О 5исЬ гдаг !Ь(р,2 '«< Ь,(О) — р„2 '-'" -!/0Ь(х„)!!. 4 ф) 0егегтте г' е (О, 1, ...,Я ьисЬ йаг Ь„(рг2 ') 1у т!путит, ала Гег л„,, = .;„— Л„з„, гчЬеге Л,:= р„2 [Гл!о!е ГЬаг Ь(х„,) = ппп„е, и! Ь,(р, 2 ') ] 11 !а еая!у вееп ГЬаг ап !пгедег у' > О ехга!к чч!Ь !Ье ргорегОез (5.4.1.7Ьм): 1Г х, га а ьгаОопагу ро!пг, йеп ! = О.! Гх, га по! ага!!опагу, йеп йе ех!а!епсе оГ Г Го!!пучит ппшегГ!аге!у Ггош !.епппа (5.4.1.2) арр!!ег! !о х:= л.„.
1п апу сапе 7' (апг! Лг) сап Ье ГоппгГ айег а йпЬе пшпЪег оГ а!ей. 277 5.4 А Мск$1йеа 'гСеи!оп Месись ТЬе шос!!йес( ргосеяя (5.4.1.7) каспийско ап апа!оа со (5.4.1.4): Ркоог. %'е аааише аь ЬеГоге йаг х !а ап ассипш!агюп ро!пс оГа вес!иепсе (х„) с!ейпес( Ьу (5.4.!.7), Ъиг поС а ксайопагу ро!пс, !.е., 0!с(л) + О. Ааа!и, си!ГЬоиг 1оаа оГ аепегайгу, 1ег !ип х„= х А1ьо 1ес о:= !пГ„о„> О, у:= шГ„у„> О. Ассогйпа со Г.епппа (5.4.1.2) йеге га а пе!аЬЬогЬоос! Цх) апс! а пишЬег Л > 0 аисЬ йас Цх — рз) < Й(х) — д — ' !/06(х)!! 4 (5.4.1.9) Гог ай х и Г/(х),за 0(у, х),0 < р < Л.
Ааа!и, ГЬе Гас! йаг !ип, х, = х, йас 0!с(х) !а сопйпиоиь, апс) СЬас 06(х) ~ 0 ппр!у йе ехЫепсе оГ а /со аисЬ йас х„а Ц.х), !!06(х,)!! >, /!06(х)!/ (5.4.1.10а) (5.4.1.10Ь) 1ог аП Ь > !со. %се пеес! Го ьЬосх ГЬаг ГЬеге !а ап г. > 0 Гог сиЬ!сЬ Ь(х„„) < Ь(х„) — е !ог ай Гс > /со. !л!оге йгаг айаг (5.4.1.10) апс! у„> у ипр!у У„/!06(х„Н > -' !!О!с(л)Г, 1ог ай Гс > /со. СопьесГиепс!у, ассогс(!па со йе сГейп!сюп оГ х„„апс! 7' (5.4.1.11) Ь(х„,) < <Ь„(р„2 ') ~ (Гс(х„) — р„2 '-' — 10!с(х,Я < Ь(х,) — р,2 ' — ' !/06(х)!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
