Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 45
Текст из файла (страница 45)
11 аИ гоогз с;, 4~ ~ )~г )~ 3 4„, о( р(х) аге геа1, йел ЬГеи гол'з тегйслГ у!еЫз а солпегделг зггГсг!у г!есгеазГлд зедиелсе х„Гог алу !л!г!а! па!ие хп > ~,. Раоог. «!11Ьоиг 1озз оГ йепега!йу, «е шау аззшие йаг р(х ) > О. 5!псе Р(х) сГоез пог сЬапйе Яйп Гог х > си «е Ьаче р(х) = оп х" + ". + а„> О Гог х > с, апгГ йеге1оге ап > О. ТЬе гГег!чаг1че р' Ьаз л — 1 геа1 кегоз а; «йй 4~ > а~ > ~т > аг > -.
> а„ , > ч„ 289 5.5 аооп оГ ро!упопиа!в. Арр!!салоп оГ Хепгоп'и Мегпоо Ъу КоПе'ь гЬеогеш. 5!псе р' га оГг!е8гее л — 1 > 1. 1Ьеве аге аП Пь гоогх, апг) р'(х) > О Гог х > а, Ьесапье ао > О. Арр1уш8 КоПе'ь йеогеш а8аш, апс1 геса!Пп8 гЬаГ п > 2, чче оЬГа!и р"(х)>О Гогх>а,, р"'(х) > О Гог х > а,. ТЬпа р апс! р' аге сопчех ГппсПопь Гог х > а, Хочч х„> д, ппрПеь йаг р(х„) х„ч, =х„— с — <х„ р'(х ) х!псе р'(х„) > О, р(х„) > О. 1! гешашь го Ье ьЬоччп, йаг пе г)о пог "очегяЬоог," г.е., йаг х„, >»,.
г гош (5.5.6), х„>», > а „апс1 Тау1ог'ь !Ьеогеш чче сопс1пс!е йа! О = Р(с,) = Р(хч) + (»г — х„)Р'(х„) + г~(~г — хч)хР"(д), », < д < х„ > р(х„) + (» — хч)р'(х„), Р(хч) = Р(хч)(хч хч+г) ЬоЫз ЬУ ГЬе г1ейп111оп оГх„~г. ТЬпь О > р'(х„)(х„— х„чг +», — х„) = р'(х )(»г — х,,), апг1 х„,, > д, ГоПоччк, гдпсе р'(х,) > О. лог!агег ихе чче поге йе ГоПочлп8 сопьег!пепсе оГ (5.5.6): 'ччге аге АППП Гасег! чч!ГЬ гЬе ргойеш оГ ПпсПп8 а пшпЬег хо >» г, чч11Ьои! 1спочч1п8 с, ЪеГогеЬапс$. ТЬе ГоПоплп8 !пегрга1гПеь аге ачаПаЬ)е Гог гЬь рпгроье: (5.5.8) ТЬеогеш. Рог аН гоогх»; оГ ап агЬ!!гагу ро!упот!а! р(.х) = аох" + а,х" '+ "+ а„, !»! < шах —, 1+ .
—, ..., 1+ ! а„а„, а,! )с ! < шах 1, ",~ ! у=! !»,.! < шах а„ ! а„ а, !' а„, а,! 2 — "—, ...,2 а х ' ао! н — г !»! Х з=о а! Г 3/ ао Х! ао ~! ао 'ч! ао (5.5.7) Еешша. Еег р(х) = ао х" + " + а„, ао > О, Ье а геа! Ро!улотуа! о! г(едгее л > 2 аИ гоогх оу" учЬГсЬ аге геа!. (Г а, га йе !агдехг гоог оГ р', йеп р"'(х) > О/ог х > а,, !.е., р' !х а солюех Гйлсг!ол Гог х > а,. 290 5 Ргпагпа Еегое апд Мгппппгп Ро!пп Ьу Пегаиее Мегподе Боте оГ йеве 1пегГиаПГ!ев ичП Ье ргочег1 ш Бесдоп 6.9. Сотраге а!во НоивеЬо1йег (1970). АгЫ!г!опа! гпес!иаИПев сап Ье Гоипг1 ш Магг!оп (1949). ОиагГгаг!с сопчегаепсе г1оев по! песеввап1у теап Гав! сопчегаепсе.
1ГГЬе !шба! ча1ие хо 1в Гаг Ггогп а гоог, йеп йе вегГиепсе хе оЬга!пег! Ьу Ь!ечггоп'в тегЬогГ тау сопчегае чегу 51очг1у Гп йе Ьед!пп!пд. !пгГеегГ, П х„1в 1агае, йеп хе+". ! 11 х гег е н — 1 =х— лх„+" 1 л! во ГЬаг йеге гв ПП!е сЬапае Ьеггчееп х, апгГ х„,. Т1Пв оЬвегчадоп Ьав ГегГ Го сопыгГег!пд йе ГоПоичпа гГоиЫе-вгер глегГгогГ: х„е,=х„— 2, —, Ге=0,1,2 р(хе) р'(х„) 1и Пеи оГ йе вгга!аЬГГопчаггГ Хегчгоп тегЬод. ОГ соигве, йеге Гв погч йе г(апдег оГ" очегвЬообпд." Гп рагПси!аг, Гп йе саве оГ ро!упопиаЬ гч!й геа! гоп!в оп!у апгГ ап шгПа! ро!пГ хо > с„вите хег г гпау очегвЬоог сг, леда!!па ГЬе Ъепейг оГ ТЬеогет (5.5.5). Ногчечег, !Ыв очегвЬооПпд сап Ье гГегесгегГ, апгГ, гГие го воте гетагГгайе ргорегг1ев оГ ро1упопиа!в, а аоогГ Гп111а! ча1ие у (Сг > у > С ) илй гч$исЬ го Магг а виЬвегГиепг Ь!егчгоп ргосег(иге Гог йе са1си!абоп оГ св сап Ье гесочегей.
ТЬе 1ассег 18 а сопвегГиепсе оГ ГЬе ГоПоилпа йеогет: (55.9) ТЬеогепг. !.ег р(х) Ье а геа! ро!улолда! о( гГедгее л > 2, ад гаагу оГ гчГг!сГг аге геа1, с г > 4г » " с„. Г.ег а, Ье йе !а«деы гоог оГ р'(х): сг > а, > ~в. рпапге 8 СеогпеГпс гпГегргеГаПоп оГ йе гуоиЫе-зГер гпеГЬогГ. 291 5.5 боои оГ Ро!упоппа!е. Арр! !еаг!оп оГ Хе«!оп'е Меиипг рот л = 2, гче теди!те а!во гЬаг 4! > св. ТЬел )от епету г > 4г, гЬе литЬетв Р(г) , .р(г), р()! — — у:= г — 2-; —, у':= ч — —,— рв(г)' рг( )' рч(у) (т !дите 8) ате те!! Ие()лед але( ха!1~у (5.5.10а) а, <у, (5.5.10Ъ) с! < у' < г'. 1! гв геай!у чег!Оег( гЬа! л = 2 апг! 4! = 4, ипр!у у = 4! Гог апу г > 4!. Рвюк Аввигпе ааа!и !Ьав р(г) > 0 Гог г > с,.
Гог висЬ ча1иев г, вче сопв!г(ег ГЬе г!иап66ев Ло, Л! (Г!аиге 8), «уЬ!сЬ аге г!еггпег! ав Го!!огчв: Ао '= р(г') = р(г') — р(г) — (г' — г)р'(г) = ~ (р'(г) — р'(г)1 (г, 'у Лг:= р(г ) — р(у) — (г' — у)р'(у) = ~ (р'(г) — р'(у)] й. 'у Ло апг! Л! сап Ье !пгегргегед ав агеав очег апг( ипг(ег гЬе дгарЬ оГ р'(х), гевресггче!у (Г!аиге 9).
т!апге 9 ТЬе г!пап!!гмз Ьо апд Ь, !пгегргегеа ав агеав. Ву 1.епипа (5.5.7)„р'(х) !в а сопчех Гипс6оп Гог х > а,. ТЬегеГоге, апг( Ьесаиве г' — у = г — г' > 0 — гЬе 1аггег Ье!па ров!г!че Ъу ТЬеогеп! (5.5.5) — вче Ьаче (5.5.1 1) о! <оо !"у>"! «чгЬ ег!иа! Ьу Л! = Лп Ьо!йпа !Галс( оп!у !Г р' гв а 1Ьвеаг Гипсбоп, ГЬа! !в, гГ р тв а ро1упопиа! оГ г(еагее 2. Хочч 5че йвг!паи!вЬ !Ье гЬгее савев у > с„ 292 5 р|гч|гаа Хеген ап|Г М|лппшп Ряпгь Ьу ггегаг|че Мейо|гь у = »| у <»|. Гог у >»,, йе ргорояПоп оГ йе |Ьеогеш ГоПо|чв ипше|$$аге1у Ггош ТЬеогегп (5.5.5). Гог у = »,, |че вЬогч Пгвг йа|»г < юг <»,, йа| Гв, », |в а випр!е гоо| оГ р.
1ГУ = », = », = а, |чеге а пш!Пр!е гоо|, йеп Ъу Ьуройеяв л > 3, ап|$ сопве|$иеп|1у г$| < Ле гчои1|$ Ьо!с$ ш (5.5.11). ТЬЬ гчои!д 1еа|$ |о йе сопгга|$$с|$оп Лг = р(в') — р(»,) — (г' — »,)р'(», ) = р(г ) < Лч = р(г'). ТЬив», пшв| Ье а випр1е гоо|; Ьепсе а| <», = у' = у < г', апг$ |Ье ргоро- яПоп В вееп |о Ье соггес| |и йе весопг$ саве, |оо. ТЬе саве у <», гешашв. 1Г аг < у, |Ьеп йе ча1$|$$1« оГ йе ргорояВоп сап Ье евгаЫ)вЬе|$ ав ГоПогчв. 5!псе р(г) > О апг$», < аг < у <»„гче Ьаче р(у) < О, р'(у) > О. !п рагВси!аг, у' ычеП г)ейпег$. Гиг|Ьегшоге, япсе р(у) = (у — у')р'(у) ап|$,($| < Ле, |че Ьаче Г$е — Г$| = Р(У) + (г' — У)Р'(У) = Р'(У)(г' — У') > О.
ТЬегеГоге г' > у'. Ву Тау1ог'в йеогеш, ПпаПУ, р(» ) — Π— р(у) + (» — у)р (у) + (с — у) р (5), ап|$ япсе р"(х) > О Гог х > ао р(у) = (у — у')р'(у), апг$ р'(у) > О, О > р(у) + (»г — у)р'(у) = р'(у)(», — у'). ТЬегеГоге», < у'. То сошр!е|е йе ргооГ |че ргосее|$ |о вЬогч йа| (5.5.12) у=у(г)>аг Гог апу г >»,. Ааа$п гче г$1в|$паи)вЬ г|чо савев, », > аг >»г апг$ »г = аг = »,. ГГ», > аг >»г, йеп (5.5.12) Ьо!сЬ гчЬепечег »,<г<»,+(»,— аг). ТЬ|в ь Ьесаиве ТЬеогеп| (5.5.5) ппрйев г > г' >»„апг$ йегеГоге у = г' — (г — г') >», — (», — аг ) = а| Ьо!|$в Ьу йе с$ейп$|юп оГ у = у(г).
Непсе гче сап ве!ес| а ге |ч$|Ь у(гв) > а и Авяипе |Ьа| йеге ех|в|в а гг >», ил|Ь у(г, ) < а и Ву йе $пгегше|$$аге-ча! ие йеогеш 1ог сопПпиоив Гипс|юпв, |Ьеге ех$вгв а 1 е (ге, гг'1 гч$1Ь у = у(г) = по Ггош (5.5.11) Гог г = г, Аг = р(г') — рГу) — Р' — «) р'(у) = р(г') — р(у) < Ав = р(г')~ апг$ йегеГоге р(у) = р(м,) > О. Оп йе ойег Ьапд, р(аг) < О, япсе», ь а я|пр!е гоо|, ш оиг саве, саив$па р(х) |о сЬапае в$ап. ТЬ|в $в а сопггаг$$с|$оп, ап|$ (5.5.12) пшв| Ьо1д Гог аП г >»,.
1Г», = а| = »„|Ьеп Ьу Ьуройеяв л > 3. Аввшпе ~ч|Ьоиг Говв оГ аепега!$1«, йа| р(х) = х" + а| х" ' + " + а„. 293 5.5 аояй оГ Ро!упот1йа. Арр11сай1оп ог Хейчйоп'й Мйй1ййх$ ТЬеп а, а„ 1+ — +" + —" г г г~ л л — 1а, а„ 1+ — — +" + л г лг" =г — — 1+О— ТЬегеГоге у = у(г) = г + 2(г' — г) = г — — ~! + 011 — ) л ~ 1г))( 2! г а 1 — — )+0(1). л) ТЬе ргасг!са1 в!ап!Осапсе оГ й!в йеогеш !в ы Го!!очгв.
1Г ъче Ьаче вгаггег! йч!1Ь хч > С„йеп еЬЬег йе арргохппаге ча1иев аепегагег! Ъу йе й1оиЫевгер шевой! р(х„) х =х — 2 —, ййй й р'(х„) ва1!вГу апг! !ипх„= 4„ й ю хч3хй» хй>хййй»'''~й ог йеге ехгв1в а Гйгвг х,,:= у висЬ ГЬа1 Р(х,)Р(х„) > О Гог О < lс < Ггч, апй! Р(хч)р(хй,) < О. 1п 1Ле Гйгв1 сые, а!1 ча1иев р(х„) аге оГ 1Ье ваше 51!1и, Р(хо)Р(хй) > О Гог а!! Гг, апг( йе хй сопчегае пюпогопйсайу (апй! 1авгеггЬап Гог йе 51га!аЬгГопчагг! !й!ейчгоп шейся) 1ойчагг!в йе гоог 4й. !п йе весила саве, хч > х, »" х,, > Ей > у = х,, > а, > «й. ~35!па уе:= у ы йе вгагг!па ропп оГ а виЬвег!иепг вгга!аЬ1Гогйчагг! !й!ейчгоп ргосег)иге, Р(Уй) — Гй = О, 1, ..., Р (Уй) >!псе л > 3, йе ча!ие оГ у(г) шсгеавев !пг!ейп!!е!у ы г - со, апг! йче сопс!иг!е ааа!и йаг 1Ьеге ех!вгв а гч > с й йч!й уч = у(гч) > а,. 1Г (5.5.12) г!!г! пог Ьо!г! Гог а!1 г > сй, йеп йче сои!д сопс!иг!е, )ивг ав ЪеГоге, 1Ьаг йеге ехгвгв 2 > сй йч!й у = у(2) = ай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
