Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ЕасЬ тегЬос/ о/ аг!еачг рй о«ае« /о«с/еге«т/и«од а/гхес/ ротс с гв ГосаИу сопиегдепг, Ги йе веиве йас йе«е /в а пгдд/гЬо«/гоос/ Гс" (ч!) о/' с чч/сЬ йе р«оре«су гЬаг /о«а 11 ГиЖа! хо е гМ'(с), йе ведиепсс х, депе«агес/ Ьу Ф соиоегдев Го с.
[11 .4«(с) сап Ье 1а1сеп аь Г!", йеп йе спейос1 гв ьа(с( 1о Ье д!оЬа!!у соиие«деиг. ) 1и йе опе-с(1гпепь1опа1 саье, Е = й, йе огс(ег оГ а гпейос( с(еГспес) Ьу Ф сап о/сеп Ье с(есеггп(пес$11 Ф Гв ьиГГсс(еп1!у оГсеп с(1йегепс(аЫе сп йе пе(дЬЬо«Ьоос(,Ф'(с). ГГ л'; я.«г (с) апс1 11 Ф"'(с) = О Гог Гс = 1, 2, ..., р — 1, Ъи! Ф"'(с) чс О, 1! Го(!осчь !Ьа1 .х;,, = Ф(х) = Ф(4) + - -'- —,— ' — Фпо(с) + 0()[х; — '. ) «+ ' ), р1 х;, — с Ф'«'(с) Гпп— „(..; — с)' Рог р = 2, 3, ...
йе спейос( 1ь оГ (ргесгве(у) рй огс(ег. А гпе!Ьос) гв оГ Гсгы огс(ег 11, Ьеы!с(ев р = 1, Ь гв сгие йа! (Ф'(с) ) < 1. Евами.в 1. Е = 11, ф 1в с/1$/егепс1айе сп а пе1дЬЬогиоскГ М'(2). 1ГО < Ф'(4) < 1, йеп сопчегдепсе ип!! Ье 11пеаг (йгьс огс/ег). 1п Гас!, йе .ч; сч111 сопчегае юпопосогдса11у со 4 (Бее гщиге 6.) 1à — 1 < Ф'(с) < О, йеп сис .х; сч111 а!сегпаге аЬога с1иг1ид сопчегдепсс (ьее Гщиге 7).
г'щиге 6 Мопосопе сопчегдепсе. 2бб 5 Е!и6!ид Уегоь апсг М1и!тив Рогам Ьу Ьегаиче Мегпог!ь Е!доге 7 А!гегпагищ сопчегдепсе. Ехлмись 2. Е = Й, Ф(х) = х — Г(х)//"(х) (Ь/еипоп'ь теГЬог(). Аышие йаг / Ьаь а ьи/бс!епг пиигЬег оГ соп6пиоиь г(ег!чаг!чеь т а пе!дЬЬогЬоод оГйе ь!тр!е гего ' оГ / (!.е.. / '(,-) ~ 0). 11 Го!!огчь ГЬаг Ф(с) =::, Ф"(-) = —, / "(4) /'(=) ' Ь!еччгоп'ь те/Ьог( !ь аг!сам 1оса1!у г/иаг(габса!Гу (ьесопг( огг(ег) сопчегдепг.
Еисми.ь 3. Ги !Ье тоге депега! саье ГЬа!, и ап ии/о!г( кего оГ/; !.е., /"(С)=0 Гог1=0,1,...,в — 1, йеп / апг) /' Ьаче а гергеьепга6оп о/ йе Гопп ./(х) = ( — -:) д(х), д(с) Ф О. ./'(х) = т( — с)" 'д(х) -ь (' — с)"д'( '), абй а г/!Г/егепг|аЫе Гипс6оп д. 11 Го11оьчь йас /'(х) (х — с)д(х) /'(х) тд(.;) + (х — с)д'(х) ап6 йегеГоге 1 Ф'(с) = 1 — --. ТЬиь Гог в > 1 — ГЬаг !ь, Гог ти16р!е хегоь о/ à — Ь/еччгопь те!Ьог/ !ь оп!у!!пеаг(у сопчегдепг.
267 5.2 Сеиега! Сопчегзеисе Тиеогеиь ТЬе Го!!озч!пд депега1 сопчегдепсе йеогешв вЬозч ГЬаг а вес/пепсе .л7 депегазегГ Ъу Ф: Е -+ Е чч!!1 санчесе Го а Йхег! ро1пГ с оГ Ф П Ф !з а сопзгасггче шарр1пд. Ав пвпа!, !! !! гергевепгз вогпе попп оп Е = зг". (5.Х2) ТЬеогегп.
Еег йе /ипсбон Ф: Š— Е, Е = й" Ьаие а Пхег! рои» с: Ф(с) = с. ЕиггЬег !ег 5,(с):= (г ! !!г — с!! < г) Ье а не!дЬЬог!гоод о/ '. зисЬ гьаг Ф гз а сопггасг/ие тарр/пд т 5,(с), йаг еь !!Ф(х) — Ф(у)!! < К!!х — у!!, 0 < К < 1, /ог а!! х, у е 5,(с). ТЛеп /ог ану хз е 5,(с) йе деиегагег/ зециеисе х;, = Ф(х;), 1 = О, 1, 2, ..., Ьаз йе ргорегбез (а) хгп5„(с)/огаП1=0,1,..., (Ь) !!х;.„— 4!! < К!!х; — 4!! < Кге'!!хи — ~!!, г.е., (л;) сопиегдез аг !еазг Гтеаг/у го с.
Ркоог. ТЬе ргооГ Го!1оччв ипюпег!1аге!у Ггогп йе сопггасйвп ргореггу. Ргореггюев (а) апгГ (Ь) аге ггпе Гог г' = О. 11 зче взвшпе ГЛаг йеу аге ггпе Гог / = О, 1, ..., Ь йеп Ь Го!!озчз ппгпег!!азе!у ГЬаГ !!х;„— с!! = !!Ф(л;) — Ф(с)!! < К!!х; — с!! < К" '!!хи — с!! < г. П ТЛе Го!!озчГпд йеогегп ыпоге ргес1ве. Хозе ГЬаг йе ех|вгепсе оГ а Овеса ро1пз гв по 1опдег аввишегГ и рг!огЬ (5.2.3) ТЬеогеш. Еег Ф: Š— Е, Е = й" Ье аи /гегаг/оп /инсан, хи е Е Ье а згаггтд роЬгг, а>и/ х;,, = Ф(л;), Г = О, 1, .... Еигг/гег, 1ег а пе/дНюгЬооа 5 (хо)'=(л ! !!х — хо !! < г) о/хо апг! а сонзгангКО < К < 1,ех/згзисЬ йаг (а) !!Ф(х) — Ф(у)!! < К !!х — у!! /ог аП х, у а 5,(л„):= (х ! !!х — хз !! < г), (Ь) !1хг хо !! = !!Ф(хо) — хо !! < (1 — К)г < г. ТЬен и /оПовз йаг (1) х; е 5„(х,) /ог аП / = О, 1, ..., (2) Ф Ьаз ехасг/у оне Пхег! ротг с, Ф(С) = С, ш 5„(ло), аги/ !нп х; = с, !!х;е, — Ц < К!!х; — с!!, Ркоог.
ТЬе ргооГ !з Ьу !пгГпсг!оп. (1): Ргош (Ь) Л ГоПозчв ГЬаг х, е 5„(хи). 1Г Ь Гв ггпе ГЬа! х, а 5,(хи) Гог / = О, 1, ..., / апо Г > 1, ГЬеп (а) 1шр1!ев (5.2.4) !!х;„— х; !! = !!Ф(х;) — Ф(х;,)!! < К!!х; — х;,!! < К'!!х, — хз !!, 268 5 Г!п41пв 2егоя апд М1пппопг Ро!пее Ьу геегаиче Мое!гогуг апг! йегеГоге, Ггогп йе гг(ап81е !пег!иа!1!у апг3 Ггогп (Ь), ~~х,'г — хо~~ < ~1х,.г —.х |~+ ~~х; —.х-г~~+".+ Гхг — хо1! <(К'+К' '+ "+1П! г — о~! < (1 + К + . + К')(1 — К)г = (1 — К" ')г < г'. (2): Г(гь! «ге ьЬопг 1Ьа! (лг) гь а СаисЬу ьег!иепсе.
гуош (5,2.4) апд Ггогп (Ъ) и Го!1огоь Гог пг > Г гЬа! (5.2.5) !1х,„— лг! < !1х,„—.л, /! + !!.х,„г —.л„, л! + + !1хг„—.л';! < К'(1+ К + " + К ' ')~! — о ( < — !.х г -л'о е < К ' К' 1 — К Весаиье О < К < 1, юе Ьауе К'г < и 1ог ьийс(епг(у !агре 1 > Щг). Непсе (.хг) гь а СаисЬу ьег!иепсе. 8!псе Е = Г!" гь согпр1е!е, 1Ьеге ехапь а 11ппГ 1ип.л, =,. Весаиье.х, е 5„(хо) Гог а11 г, с шиьг!(е гп йе с1оьиге 5,(хо). гиггЬегшоге с гь а Охес( рогп! оГ Ф, Ьесаиве Гог а!! г' > О !!Ф(с) — се~! < !!Ф(с) — Ф(л;и + !!Ф(л;) — !! <К)4 — хЛ+ 1~х;.
— 4 8!псе 11ш, „'Гехг — Д = О, Ь Го!!оигь аг опсе йа! !!Ф(с) — е '! = О, апд Ьепсе Ф(с) = с. И с е 5„(хо) пгеге апойег Ггхег! рогпг оГ Ф, йеп !. — с)! = )Ф(-.) — Ф(сН < К1)с — с!), О < К < 1, пгЬ(сЬ ппр!геь йа1 /)с — с)! = О. Гша!!у, (5.2.5) ппр11еь к' (с . ~~~ = 1гш ~~.
хг1~ < 1 К гьхг хо~~ апг( '!л;, г — с)! = '!Ф(х;) — Ф(С)(! < К(1хг — 4((, «гЬ(сЬ сопс!иг(еь 1Ье ргооГ. 269 5.3 ТЮюе Сопеегаепее ог й|еюеюоп'ю Мею|юою| |п телега| Чаппйею 5.3 ТЬе Сопчегдепсе о(' Хечч1оп'я МеГ[1ос1 1п Яечега1 Чаг1аЫеь Сои|Я|!ег |Ье ьуьюепю /'(х) = 0 аюйеп Ьу ! Ье Гипс6оп /: Я" — Я". БисЬ а Гипс|юп юх ахаю|! |о Ье ю/юКегеигюаЫе а| а ро!п| х а Я" К ап и х и |па|пх А ехюх|х !ог ъеЬ!сЬ !!/'(- ) -./( .) - А( — о)!! О !! --хо!! !п юЬ!ь сапе А аагееь и ююЬ ГЬе 1асоЬ|ап и|а|ах О/(хо) [нее (5.1.5)).
лЧе Пгхг по|е |Ье Гоаоиююпа (5З.1) Ее|пи|а. //О/(х) ех/агя /ог аП х |и а соиоел гедюои Со ~ й", аию/ ю/'а саихй|иг у ех!5гх юеюг/ю !!О/(л) — О/'(у)!! < у!!х — у!! /ог аП л, у е Со, |Ьеи /ог аП л., у е Со г/ге ехгюиюаге !!./(х) —./(у) — 0/(у)(- — «)!! < -'!!. — у!!' 2 /|о/аз.
(Кесаа |Ьа| а хею М ~ й" а сопуех !Г.х, у е М ипраех |Па| |Ье 1|пе ьеаюпепю [л, у):= (: = Лх + (1 — Л)у(0 < Л < 1|| ь сои!а!пег! июююЬюп М.) Раоог. ТЬе Гипс|юп юр: [О, 11 — й" аюююеп Ьу юр(г):=/(у + г(.л — у)) ь г/юФТегепююаЫе Гог аа 0 < г < 1, юиЬеге х, у е Со аге агЬ~|гагу. ТЬ!х Гопоиюх Ггоюп |Ье сЬаюп ги1е: р'(г) = 0/(у + г(х — у))(х — «). Непсе П Гоаоюох Гог 0 < г < 1 |Па| !!юр'(г) — |р'(0) !! = !! (О/'(у + г(л — у)) — О/'(у))(х — у) !! < !!О/(у + г(х — у)) — О/'(у)!! !!х — у!! < >г!!х — у!!' Оп |Ье о|Ьег Ьап|1, Л:= /'(х) — /(у) — О/(у)(х — у) = юр(1) — юр(0) — сю'(О) ,| (юр'(г) — юр (0)) югг, о 270 5 Рсоа!оа Уегое апд М!пппонг Ро!пп Ьу 1инаиче Мегноае ао гЬе аЬоче гпес/па1йу у!е!сЬ .! ,1 )/Д!) < ( )!ср'(г) — д'(0)! сй < у)! х — у/!2 ( г г/г 21 ТЬ15 со!ар!егех йе ргооГ. 1йсе сап пов ьЬов ГЬаг Хевсоп'ь пгеГЬос/ /а с/пас/гаг/сайу сопчегйепг: (5З.2) ТЬеогеюп.
Г.ег С ~ й" Ье а дгоен орел лег, гиггйег,!ег Со Ье а солпех зег ви/! Со ~ С, а!!с/ !ег !! С вЂ” !1" Ье а /иgсйон в/лей П с/ЯегеггггаЫе /ог ай т о Со агч/ сонгншоиз /ог ай .т о С. рог .то о Со !ег рогйгве со!!к!а!!!у г, а, й,;Л Ь Ье дгоегг вгй йе /ойоиннд ргорегйее< 5,(хо):= (л !!1т — .то ( < г) ~ Со, Ь:= а//у/2 < 1, г:= а/(1 — !г), а!!с/ !ег /(т) Ьаое йе ргорегг!ез (а) ()0Г(х) — 0/'(у) ~! < у !х — уг! /ог ай .т, у а Со (Ь) 0Г(л) ' ех!хгх аггс/ айаг!хйек '!ВГ(т) '(! < ///Ьг ай ха Со (с) )!0Г(хо) '/'(хо)!! < а. ТЬен (1) Веднглтд аг хо, еас/г роги! .х„,,:=.х, — О/'(хе) 'Г(х„), !с = О, 1, .
/а и еП г/е/!нес/ анс/ заг!х/гез л! е К,(хорог ай /с > О. (2) !пп„„л.„= с ехгхгх анс/ хагг4ея с я 5,(хо) анс/ Г(с) = О. (3) гог ай /с > 0 / 2! — 1 ))х! — Ц < а — -,-,. Бтсе 0 < Ь < 1, /с/евган'ь тегйог/!з аг !еахг с/иас/гаггсайу солоегдет. Раооп (1): 5/псе 0Г(х) ' ехать Гог х е Со, .т„,, !5 вей с/ейпес/ Гог ай /с !Г х, е 5,(х ) Гог ай /с > О. ТЬгь 15 ха!!с/ Гог /с = 0 апс( /с = 1 Ьу азошпрс/оп (с).
/л/ов, 1Г х; я 5,(х ) Гог/ = О, 1, ..., /с, йеп Ггогп аахппгрггоп (Ь) !!хее! — хе/! = !/ — 07(х!) !Г(хеИ < ф)!Дхе)!! = Я Г(хе) — Г(х„,) — 0/'(х! !)(х„— х,,и, 271 5.5 'Пге Спасе!аспас пГ !сап!оп'а Мепгсг$ !п Берега! ЧаггаЪ|еа япсе гЬе г)ейп!!!оп оГ х„ппрйез Г(хд !) + $3Г(ха !)(х! — л„,) = О. Виг, ассоггВпц со 1.епипа (5.3.1), (5.3.3) !!ха~ ! — ха!! < — !!ха — л„, !!, апг$!ЬегеГоге (5.3.4) „) <„!аг-! ТО!5 1а5$ !пег!па!!!у га соггесГ Гог 1! = О Ъесаиае оГ (с). !Г В ь соггесГ $ог Ге > О, ГЬеп В !а соггесг Гог Ег + 1, япсе (5.3.3) гшр!геа /!ха.,! — ха/! < — ' /1х! — х„,!) < — ' а!Его = а(г! гигйеггпоге, (5.3.4) ипрИез ~~«а+! хп~~ < ~~ха+! .ла~! + )ла -х! — ! ) + '''+ 1~х! .хо 1~ < (1+1+!!+!!+...+!а!-!) . Д(1 $) апг( сопаег(иепГ!У л„,, а 5,(хп). (2): г гот (5.3.4) гГ ь еая!у е(еГегш!пей ГЬаГ (х„) $5 а СаисЬу вег$иепсе, япсе 1ог пг > и 5че Ьаче !)х „— х„)! < !)х „— х )! + !,'х — х,)! +" + ))х„,! — х„)! < а$г~ '(1+ Гг' + (Гг ) +" ) Г 2" — ! <- а,<Я (5.3.5) %е пшаг 51111 кЬоач ГЬаГ с В а кего оГ Г и! 5,(хп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
