Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ТЬе 1геу оЪвегчаПоп 1в йаг гЬе ро!упоппа1в р„(х), р„ ,(«), ..., Ри(х) (5.6.4) аге а Пгипп вег!пепсе Гог йе сЬагасгепвПс ро!упоппа! Р„(«) = г1ег(.У вЂ” «Г) (поге йаг гЬе ро!упоппаЬ (5.6.4) аге !пг1ехег1 гППегепг!у йап 1п (5.6.1)1 ргочЫег$ йе ой'-г11ааопа! е!егпепгв ф,, 1' = 2, ..., и, оГ йе гг!г!1ааопа! гпаспх 3 аге аП попжего. ТЬ15 1в геагП1у аррагепг Ггот йе ГоПоъчпа (5.6.5) ТЬеагет. Г.ег м;, )Гг Ье геа! иитЬегв аий ГГГ ~ О Гог / = 2, ..., и. Биррове йе ро(уиотГа!в р;(«), ! = О,..., и, аге гГеЯиегГ Ьу Яе гесигяои (5.5.3). ЗОО 5 Р!пеипа Уегоя апд М!гапппп Рп!пи Ьу у!ега1!че Мейп1Ь тьел ап гоогв х'„', Гг = 1, ...,!, оГр;, !' = 1, ..., л, аге геа! ал!Г 2!игр!еу хгп>х" » "х", 1 2 1 ал!Г Йе гоогв оу р1, ал2Г р;, гевресг!пе!у, верагаге еасЬ ойег вгг1сг!уу хса> ха "> хеи> ха "» " ху "> Х1П.
! ! 2 1-1 Ркоог. %е ргосеед Ьу !п1(ос!!ОП 1ч!ГЬ гевресг го Ь ТЬе йеогет ы р!аш(у ГгиеГог! = 1. АввшпейаГ И ь Ггие Гог ваше! > 1, йаГ ы, йаГ йе гоогв х1п ап11 х," " оГ р; апг! р1, !еврее!!че!у, ваГ(вГу хсо > х" " > хси > хо " »". хр " > х!!1. 1 1 2 2 1-! 1 (5.6.6) Ву (5.5.3), р, 1в о! ГЬе Гопп р,(х) = ( — 1)"х" + " . Гп рагГ!си!аг, йе г(еВгее оГ р! егр!а!в Гг. ТЬив р,,(х) г!сев поГ сЬапае Ьв вщп Гог х > х", ", ап11 япсе йе гоогв х'„' " аге а11 випр!е, (5.6.6) аучев 1пипесВаге!у (5.6.7) вщп р;,(х'„") = ( — 1)"" Гог Гг = 1, 2, ..., 1.
А1во Ьу (5.5.3), р1~ !(х!л) = — фр! !(Х11л), lг = 1, 2, ..., 6 В1псе ГГ2 > О, яВп р1,(х") = ( — 1)! "', Гг = 1, 2, ", 1, вщп р,. (+со) = ( — 1)' 1, вщп р; 1( — оу) = 1 Ьо!г!в, апд р;,(х) сЬапаев вщп 1п еасЬ о! йе 1пгегча!в (х1!'1, со), ( — со, х)п), 1Х!1! „ХЯ, Гг = 1, ..., л — 1.
ТЬе гооив х! г и оГ Р;е, аге йеге1оге геа! апг! я!пр!е, апг! йеу верагаге йе гоогв х," оГ р,: Х"" > ХО' > ХО' " > ХСП » " Х!и > ХЬ е ". ! Х! Х2 2 1 !11 П ТЬе ро!упоииа1в оГ йе аЪоче гЬеогет, р„(х), р„,(х), ..., рп(х), !идее!! Гопп а Вгигш вегГиепсе: Ву (5.6.5), р„(х) Ьав випр!е геа! гоогв чг > ~2 >" > с„, ап!Г Ьу (5.6.7) вщп р„-1(в!) = ( — 1)" 1, в!цп р„'Д1) = ( — 1)"+"+ ' = — вщп р„г(4!), Гог Гг = 1, 2, ..., л. гог х = — оо гЬе Вгипп вег(иепсе (5.6.4) Ьав гЬе вщп раяегп тьив уч( — со) = О. Ву тьеогеп1 (5.6.2), гч(р) !пг!1сасев гье пшпъег оГ гоогв с оГ р„(х) 2ч(ГЬ С < р: гч(р) > л + 1 — ! Ьо16в 1Т ап11 оп1у 1Т С! < р. 5.7 Вягвсочгв Мосооа тье ъсвессюп шесьосс сог ссесепп!и!па сье ьь гоос 4; оГ р„(х) (4, > 4д > " > 4„) почч в ав Го!!оччв.
В!асс ччссЬ ап спсеп а1 [ао Ьо) чгЫсЬ св Гспосчп со сопсаш 4;; е.а., сЬоове Ьо > 4п ао < с„. ТЬеп сс!чсссе йв !шегча! чч!сЬ Гыпсссро!пс апсС сЬес1с Ьу шеапв оГ йе Всппп вегСпепсе счЫсЬ оГ йе сччо впЬспсегчаЬ сопсашв 4;. ТЬе впЬспсегча1 вЫсЬ сопсашв 4; в апаш сС!чсс(егС, апсс во оп. Моге ргес!весу, сче Гопп Гог 7' = О, 1, 2, ... р;:= (а1 + Ь1)/2, )ас 1Г в(рг) > л + 1 — 1, [рс 1Г сч(1с1) < и + 1 — Ь !а1 !Г сч(р1) > л + 1 — Ь [Ьг !Г сч(1с1) < л + 1 — 1.
ТЬеп [а! ч „Ьг ч г1 ~ [а;, Ь1], !а1,, — Ь|„! = !аг — Ь1!1'2, с; е [асч„Ьг,с!. ТЬе срсап66ев ас !псгеаве, апсс сЬе цпапссссев Ьг ссесгеаве, со йе ссеягесс гоос с;. ТЬе сопчегаепсе ргосевв св Ипеаг сч!сЬ сопчегаепсе гасе 0.5. ТЬ!в шесЬос$ Гог ссесепшпспа йе гооь оГ а геа! ро!упоппа1 а11 гооь оГ ччЫсЬ аге геа! в ге1аВче1у в1очч Ьш чегу асспгасе. 1с Ьав йе асЫЬюпа! аг(чапсаае йас еасЬ гоос сап Ье гсесеппспесс !пссерепгсепс1у оГ йе ойегв. 5.7 Ва1ГВГОСсСг'В МЕЛОС[ 1Г а геас ро! упоппа! Ьав апу согпр1ех соп)паасе гооь, сЬеу саппос Ье Гоипсс пв!па йе огссспагу !чСеччсоп'в шесЬосс ГГЬ в сагпесс опс ш геа! апйпсебс апсс Ьеапп ас а геа! в!асс!па ро!пс: согпр1ех в!асс!па роспсв апс! сошр1ех апйгпеас пшя Ье овес!.
Васгвсосч'в шесЬосс ачосг(в сошр1ех апйгпеас. ТЬе шесЬосс Госсочгв Ггогп йе оЪвегчааоп йас йе гоосв оГ а геа! с!пас!гас!с ро!упоппа! х — гх — ц 2 аге гооь оГ а асчеп геа! ро!упоппа! р(х) = аох" + " + а„, ао ~ О, сТ апг( оп!у 11 р(х) сап Ье с(счсссегС Ьу х — гх — ц сч(СЬопг гешаспссег. ЬСосч Кепега!!у р(х) = р,Я(х — гх — ц) + Ах + В, (5.7.1) 302 5 Р1пЖпе Уегоа апо М1пппов Ро1пЬ Ьу Пегапче Мееаоея А = А(г, д) апг1 В = В(г, гГ), апгГ йе гета1пдег чашвЬев ччЬеп г, гГ ваВвГу йе вувгет (5.7.2) А(г, д) = О, В(г, гГ) = О.
Ва1гвГолч'в теГЬогГ Гв поГЬГпа тоге йап ЬГе5чГоп'в теГЬогГ (5.3) арр(1ег1 Го (5.7.2): дА дА (573) г,+в гс дг дгГ А(го ф) дг дц 1п оггГег го саггу опг (5.7.3), ече тпвг йгМ гГегегт1пе йе рагг1а! г1ег1чаг1чев дА дг' дВ дВ В,= —, В = — -. дг ' ' дд ' дА А = —, дд' Хоче (5.7.1) Гв ап ЫепГ11у Гп г, гГ, апгГ лл Непсе, г11йегепГГа6па 5чГГЬ гевресГ го г апг1 гГ, д др,(х) — р(х) еа 0 = (х~ — гх — ц) — — — хр,(х) + А,л + В„ дг ' дг (5.7.4) д, др,(х) — р(к) = 0 = (х~ — гх — д) — ' — — р,(х) + А х + В . дц ' ' дц АГГег а Гпгйег гГГч151оп оГ р,(х) Ьу ха — гл.
— ц 5че оЬГаГп ГЬе гергевепГайоп (5.7.5) р,(х) = р,(х)(х' — гт — ц) + А, х + В,. Аввшшпа ГЬаг л~ — гх — д = 0 Ьав глчо г11511псг гоовв хо, .х„п Го!!олчв йаг р,(х;) = А,х;+ В, Гог х = х,, 1 = О, 1. ТЬегеГоге йе ецпаг1опв — х(А,х;+ В,)+ А„х;+ В, = О( — (А,.х;+ В,)+ А .х;+ В, = О( Го!!о5ч Ггот (5.7.4). г гот йе весопд оГ йеве егГпа6опв 5че Ьаче Г=О, 1, (5.7.6) в,=в,, А =А,, вГпсе хо + х,, апет йегеГоге йе йгвг егГпаг1оп у1е1<Ь вЂ” хуАе + л;(А„— Ве) + В, = О, ! = О, 1. лчЬеге йе гГепгее оГ р, гв и — 2, апг1 йе гета1пдег Ьав Ьееп ехргеввег1 ав Ах + В. ТЬе соеГВс1епгв оГ ГЬе гета1пдег г1ерепгГ, оГ соыгве, проп г апгГ гГ, гЬаг Гв зоз 5.В Тпе ВепеГиягу оГ Ро!упоппа! Кое!в 8!псе хз = гх, + д П Говозчв йа! х(А,— В,— А, г)+В,— А .9=0, г=0,1, апГ! йегеГоге А,—  — А г=О, е я „— А, д=О, япсе хо ~ х,.
Ригппв йзв Го8ейег зч!ГЬ (5.7.6) у!е!ГГв в,=в„ А,= А„ А,=гА, +„„=дА,. ТЬе ча!иев А, В (ог А„В,) сап Ье ГоипГГ Ьу гпеапв оГ а Ногпег-Гуре всЬепзе. 135!пд р(х) = ао х" + " + а„, р,(х) = Ьо х" + + Ь„з апГГ сопзрагзп8 соеГПс!епгв, зче Ппг$ ГЬе Гоаоилпд гесигвГоп Гог А, В, Ь, Ггоп! (5.7.2): Ьо '=ао, Ь! '=Ьог+ а„ Ь!:=Ь; зд+Ь;,г+а; Гогз=2,3,...,п — 2, А:=Ь вЂ” зд+ Ь зг+ а„ В:=Ь„,д+ а. 8!пзваг(у, (5.7.5) вЬозчв Ьозч йе Ь, сап Ье иве!! го Ппг! А, апг( В,.
5.8 'П!е Яеп816Му о1 Ро1упоГп1а1 Коо(8 %е зчв! сопв!г!ег йе сопсапоп оГ а гоо! с оГ а 8!чеп ро!упопиа! р(х). Ву ГЬВ зче гпеап йе зпйиепсе оп с оГ а япаП реггигЬавоп оГ йе соеГПс!епгв оГ йе ро!упопиа! р(х): р,(х) = р(х) + вд(х), зчЬеге д(х) ф 0 Гв ап агЪПгагу ро!упопиа!. 1.агег оп и зчП! Ье вЬоччп [ТЬеогепз (698)] йа! П с гв а випр1е гоо! оГ р, ГЬеп Гог виГПс!епг!у япаП аЬво!иге ча1иев оГ в йеге ехГяв ап апа!убс ГипсПоп с(в), зч(ГЬ с(0) = с, висЬ йа! с(в) ь а (випр1е) гоо! оГ ГЬе реггигЬег( ро!упоппа! р,(.х): р(с(с)) + вд(с(в)) = О.
304 5 Ргпгугпа Уегоа апгГ Мгпнпппг Рогпа Ьу ЬегаГюе МеГЬог!а Ггопг гЬгв, Ъу г(!йегепг(аг(оп гч(гЬ гевресг го в, игр'(4(0)) + д(г",(0)) = О, Гг = —,— -дЮ р'(с) ' гчЬеге г(с(е) ~ ~г=о ччЬеге Гг(г) !в, !ог вгиаП ! г !, ап аиа!уг!с Гипс!!оп гч!ГЬ 6(0) = О. Р!ГГегеиг!аггп8 пг йпев гч(гЬ гевресг го г апгГ пог!п8 йас р(4)=р'(4)=".= р' гг(4) = О, р~'(С) ~ О, чче оЬГа!п Ггогп О =- р,ц(в)) = р(~ + Ь(г)) + г-дЦ + Ь(г)), йе ге!аг!опв рг"ф)(г + пг! д(С) = О, гп! д(с)1" рггег(~) ечЬеге г((г(г) г(г г=о А8а!п Го а йгМ огг(ег оГ арргохппаГ(оп, 4(я) = с + я" р' '(~) ~ (5.8.2) Рог пг = 1 йгв Гогпш!а гегГпсев Го (5.8.1) Гог 5058!е гоопх Еег пв аввшпе йаг йе ро!упоги(а! р(х) !в 8(чеп гп йе авиа! Гопп р(х) = пох" + + а„, Ъу !гв соеГйс!епгв а,.
Рог дг(х):5 агх" ' ТЬпв, го а йгвг оп!ег оГ арргох(пгаг!оп (!.е., гГ!вге8агг(!п8 геппв гп рогчегв оГ я 8геавег йап 1), Ьавег( оп йе Тау!ог ехраивгоп оГ 4(в), гче Ьаче (5.8.1) с(в) =' с — я —,—. д(с) р'(4) !п йе саве оГ а пш!!!р!е гоог 4, оГ огг(ег пг, Ь сап Ье вЬопгп йаг р(х) + вд(х) Ьав а гоог оГ йе Гопи с(в) = с + Ь(вп ), 305 5.8 ТЛе Бееиачпу ог Ро1упоппо1 йоом йе ро!упопиа! р,(х) Гв йе опе в!ВсЬ гевп11в гГ йе сое(пс!еп! аг оГ р(х) гв гер!асег) Ьу а,(1 + я).
ТЬе Гогпш!а (5.8.2) йеп у!е(г)в йе Г01!ов!08 евгппасе оГ йе е(Гес! оп йе гоо! с оГ а ге1а6че еггог е оГ а;: щ(а чх -')гг г',(я) — с =' ем р'"Г(с) ! (5.8.3) аг~" ' Гг(Г, С):= рФ) гв 1аг8е согпрагед го с, вЬгсЬ гпау Ье йе саве Гог вееппп81у "Ьаггп!евв" ро!упоппа!в. Ехлмргв (%!!!г!пвоп (1959)). (1) ТЬе гоогв Г„= !г, !г = 1, 2, ..., 20, оГ гЬе ро1упоппа1 го р(х) = (.х — 1)(х — 2) ... (х — 20) = ,'г аох'о г=о аге ве!1 верагагей Рог Г,о — — 20, ве ОпгГ р'(20) = 19!, апгГ гер!ас!па йе соеГГгс!епг а, = — (1 + 2 + " + 20) = — 210 Ьу а,(1 + о) сапвев ап евбпгагегГ сЬапае оГ 210 х 20'о Гго(о) — Гго го о — — — — = о 0.9 х 10'о.
191 ТЬе гпом гГгаог!с сЬапвев аге саивегГ !и его Ьу реггогЬа6опв оГ ао. 8!псе (го = 16 апгГ а, = — 10'", 16" г4 (го(о) — с,о =' — оао — — » -о 3.7 х 10 4!15! ТГВв гпеапв гЬаг 1Ье гоогв оГГЬе ро1упоппа1 р аге во ЬагГ!у сопйбопегГ йаг ечеп согпронпа вгй 14-гГ!а!г апгЬгпеггс вг!1 пог апагапгее апу соггесг йв!г Гго. (2) Ву сап!гав!, ГЬе гоогв оГГЬе ро!упоппа1 го го с!=2 ', р(х) = ~ а,хго- ' П (х — 2 '), г=! вЬ!!е пог ве11 верагагегГ апгГ "ассопгп!аг!па" аг кего, аге аВ ве11 сопй6опег1. Рог!ппапсе, сЬапа!па аго Го ага(1 + о) саовев а чапа6оп оГ его вЬ!сЬ Го а Вгвг огг1ег оГ арргохппа6оп сап Ье ЬоопдегГ ав Го!!овв: Йго(о) — сто ! 1 — — = — / =' !о- —,— - — — - — — — — —,о- — ! ( 4(~(. сто ~ (2 — 1)(2 — 1) " (2 'о — 1) ! 11 йпв Ъесогпев аррагепг йа1 гп 1Ье саве о(пиг!6р!е гоо1в йе сЬап8ев !п гоог ча1пев С(е) — С аге ргорог6опа! 1о в", аг ) 1, вЬегеав гп 1Ье саве оГ г8п81е гооГв йеу аге ргорог6опа! 1о 3пвг гп пш16р!е гоогв аге аЬчаув Ьаг(1у сопй6опе6.
Впг яп81е гооыпау Ье Ьаг((у сопй6опед 1оо. Т!6в Ьаррепв гТ йе Гасгог оГ я гп (5.8.3), 306 5 Е1иппиа 2сгоз вид М!и1яия Ро~иГв Ьу 1Гегапхс МеГЬоав Моге аеиега!!у, Ь саи Ье вЬоии Гог а11 гооь сг аий сЬаивев а, а,(! -!- г)1Ьаг са(с) — с, — — ~! < 64(с(. Гг Ноясхег, 1Ье гооь вге яе1! сои666оиеа ои!у ичгЬ гсвресг го яиа!! гс!аг!че сЬаивев оГ йе сое65сгеи!в а;, аигГ нос Гог яиа1! аЬво1ше сЬаивев. !Г яе гер!асс ого = 2 гю ЬУ ага = иго+ Гватс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
