Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ьало = 2 вв(= 10 'х) — ГЬ!в саи Ье сои- вЫегсгГ а яив1! аЬво1гпе сЬвиве — йеи йе юпогбйед ро1уиоги!а! Ьав гооь 4, хг1гЬ с1 "Схо = цго = 2 хю !- 2-4в (2ом 4 !)(41 его). ! и огЬег и огг!в, йеге ех пав вг !еавг оие виЬвсг!р! г я!ГЬ (с /6 ~ >(2пя+ 1)иго) 2в 256 1Г вЬоп16 Ье егпрЬав!гег( йас йе Гоггип1а (5.8.3) гегегв оп1у го йе вепя6- х!!у оГ йе гооь оГ а ро!упоппа1 р(х):= ,'> аох" ' (=О гп !Ь папа( гергевеива6оп Ъу соейс!еп!в. ТЬеге аге ойег хваув оГгергевеп1- |п8 ро!упогп!а(в — Гог гпввапсе, ав ГЬе сЬагасгег!впс ро(упоппа!в оГ1г!6!а8опа! гиагпсев Ьу йе е!егиепь оГ йеве гпагпсев (вес (5.5.3)]. ТЬе е(гесг оп йе гооь оГ а сЬап8е гп йе рагагпе1егв оГязсЬ ап а11егпа1!ве гергевепга6оп гпау 6!Ггег Ьу ап огрех оГ гиа8паиде Ггогп йас девсПЬед Ьу йе Гоггип1а (5.8.3).
ТЬе сопг(!!!оп оГ гоовв ь дейпег( а!хваув чьей а раг6си!аг 1уре оГ гергевепвагюп ги пппб. Ехлмгсв.!и ТЬеогсги (69.7) и я1!! Ье вЬови йаг, Гог сасЬ геа! гп66авоиа! гиагпх Вх Вз В2о Вго иго яЬове сЬагасгепв6с ро1уиоииа! 1в р(х) я (х — !)(х — 2) ... (х — 20), вгиа!1 гс!апхе сЬвивев 1и и; аид В; саиве ои!у яиа1! ге!агйе сЬаивев оГ йе гооь с, = В %1гЬ гевресг го гЬЬ гергевеигаг1ои, а11 гооь аге гге!! соид!г!оиегГ, а!ГЬоивЬ йеу агс хсгу Ьад!у соид!6оиег1 еагЬ гсвресг го гЬс авиа! гергсвеига6ои Ьу соеГйс!еигв, ав явв вЬояи!и йе ргех1оив еха|ир!е. Рог бега!!ег! дьсиввюив оГ гЬ!в гор!с все Рсгегв вид %1!!Навои (1969) вид %!1!Навои (1965).
5.9 1пгегро1аГ(оп МейосЫог РеГеггп(п(пд КооГ8 ТЬе 1п1егро!а6оп гпегЬодв Го Ье 6!всиввед гп 1(пв весвюп аге негу ивеГи! Гог г(егегппп!п8 гегов оГ агЬ!!гагу геа( Гписгюпв Г(х). Согпрагеб 1о зевс!оп'в пгейог(, 1Ьеу Ьаче йе аг(чаи!аде йаг йе г(еьча6чев оГГ пеед по1 Ье 307 5.9 1пгегро!апоп Маг!гоп! Гог 15егегпггпгпз Коога сошрШед. Могеочег, гп а вепве уег 1о Ъе шаде ргесье, йеу сопчегце ечеп Гавгег йап Хелчгоп'в пгейод. ТЬе гдшр1евг ашопа 1Ьеве шейодв ь 1гпохчп ав йе тейпах ооа(зе розги !Гоп ог геди1а Га(зг1 11 ь вппг!аг го йе Ь(вес!!оп шегЬод гп йа1 1хчо пипгЬегв х; апд а; аг!1Ь (5.9.1) аге де1егпипед аг еасЬ вгер.
ТЬе гпгегча! [х„аг] сопгыпв йегеГоге а1 1еавг опе гего оГ Г, апд йе ча!иез х; аге дегепшпед во йа11Ьеу сопчегде гохчагдв опе оГ йезе гегов. 1и огдег го деГГпе х;,, аее„1ег Гг! Ье йе гего оГ йе !п1егро!а1!пд !гпеаг Гипсгюп р(х):=Г(х!) + (л — хг) Ях!) — /'(а,) г чгЬеге р(х,) = Г(х;), р(а;) = Г(аг), йа1 ь, л; — а; а;Г(х!) — х; Г(а!) (5.9.2) ' ' Г(хг) — Г(а!) Г(хг) — Г(а!) 5!псе Г(хг)Г(а!) < 0 гшр!1ев Г(х!) — Г(а!) ф О, рг ь а1агаув гче1! дейпед апд ваг!вйев егйег х; < р, < а; ог а; < Ггг < л;.
Уп!евв Г(Ггг) = О, рГП гТ Г(Гг!)Дх!) > О, аге г:= а; (5.9.3) 1Г.Г(Гг,) Г(х;) < О. ага! .х! 1Г Г(Гг!) = О, 1Ьеп 1Ье пгейод гегпипагев «г11Ь р, йе хего. Ап ппргочешепг оп (5.9.3) ь дие 1о ГуеЫгег апд ь девспЬед ш Ре1егв апд %!!Гг!пвоп (1969). 1п огдег го д!всивв йе сопчегдепсе ЪеЬачюг оГ йе геди!а Га!з!', ье азвшпе Гог зппрйсду йаг/" ех(вгв апд йаг Гог вопге ! (5.9.4а) л; < аг, (5.9.4Ь) Г(хг) < О, /(аг) > О, (5.9.4с) Г"(х) > 0 Гог а!1 .х е [хг, аг]. 13пдег йеве аввшпрггопз, е1йег Г'(Гг!) = 0 ог Г(Гг!)Г(х!) > О, апд сопвег(иеп11у х! < хг, ! = Гг! < аге ! = а,.
То зее йь, поге йаг (5.9.4) апд 1Ье деГгп11!оп оГ Гг, ипр! у гпппед(аге!у йаг .х;<р,<а;. ТЬе гешашдег Гоппи!а (2.1.4,1) Гог ро!упопиа! гп1егро!а!гоп уге!дв, 1ог .х е [х, а,] апд а вшгаЫе ча!ие с я [л;, аг], 1Ье гергезепга1юп Г(л) — р(л) = (х — .л;)(л — аг) Г "(с )2. 3ОП 5 г|пеипа Уегое апд М!п|пгпгп Рогпи Ьу!Гегаиче Мейогга ТЬив (С вЂ” а) Г(с) = О. Вш С ~ а, япсе Г(а) > О апг( Г (с) < О, апгГ лче сопс!иг(е Г(с) = О. ТЬе ча!иев х; сопчегае го а кего о1 гЬе ГипсПоп Г: $1пг(ег йе аввшпрПопв (5.9.4) йе геди(и ГиЫ тегЬогГ сап Ье Гогти1агегГ уч!ГЬ йе Ье!р оГ ап Пега!гоп Гипс!!оп: „,) ..Г()-.еГ() Г(') -.! (.) (5.9.5) х;.1 = Ф(;).
Бшсе !'(с) = О, — (и!'(с) — ! (а))! (а) + Ц(а)!'(с), С вЂ” а Г(а)~ Г(с) — Г(а) ВУ йе теап-ча!ие йеогет, йеге ехгт гГг, гГа висЬ йаГ Г(с) — Г(а) - - - -- = .!'(гГг). с < гГг < а. с — а (5.9.6) =! (гГг) х <гГг<« Г(',) - Г(с) л — с ! Весаиве!"(х) > О Ьо1г(в Гог х и (хг, а|, !'(х) гпсгеавев топо!оп!саПу гп й|в !пгегча1. ТЬив (5.9.6), л; < с, апе1 ! (хг) с О ипр!у !п1тег(!асе!у йаг О < !'(гГг) с ф'(~) < ~'(гГ, ), апг1 гЬегеГоге О < Ф'(С) < 1.
1п ойег и огг(в, йе геди1а ГаЫ тегЬог! сопчегаев Ипеаг!у ипг(ег йе аввитрПопв (5.9.4). ТЬе ргечгоив сПвсивяоп вЬолчв йаг, ипг(ег йе авяипрПоп (5.9.4), геди1а ГаЫ ппП ечепгиаПу игП!ге оп1у йе Пгвг гчго оГГЬе гесигяопв (5.9.3). %е лчП! пои г(евсг!Ье ап !троггапг чапапг оГ геди(а ГаЬг, саПег(!Ье весапг тегЬоИ, юЬ!сЬ !в ЪавегГ ехс!ияче!у оп йе весопг! ра!г оГ гесигяопв (5.9.3): (597) . = — ': 'Г( ') — 'лГ( ' ) '=О 1 !(';) — Г(-~,—,) Ву (5.9.4с), !'(х) — р(х) < О гп йе шгегча! х а [хг, а;].
ТЬив Г(!гг) < О япсе р(!г,) = О, лчЬ!сЬ пав го Ъе вЬочгп. 11 ю почг саву го вее гЬа! (5.9.4) Ьо1дв Гог аП г > го ргоч!г(ед п Ьо1г(в Гог воте го. ТЬегеГоге а; = а Гог г > го, йе х; 1опп а топогопе !псгеав!пд вег(иепсе Ъоипдег( ЬУ а, апг( !ппг х; = С ест. В!псе Гь сопВпиоив, апг( Ъесаиве оГ (5.9.4) апгГ (5.9.2), /'(с) < О, Г(а) > О, аГ(с) — с Г(и) ! (с) — Г(а) 5 9 [пзегрозазюп Мезззодз Гог тзезегпз[пзпв аоот» 309 х,— х, х;„, — с = (», — с) — Г(х,) —- ' .Г(х;) — Г(; — ) .Г(-,) ( Л», с] ~ = (х; — с) — "-' -' — -- = (х; — с)~1 — —--- Х[, з.-хз]- ~ Г[х-з.хз]/ 1(.»з з»;, с] = (, — с)(; — —:)- — ' -' -'-'— Л»- °,] ' ГГ Г ь [зчзсе с[з[Тегеп[!аЫе, [Ьеп (2.1.4.3) 8!чев з (.»з- з, х] = З (з[з), з[з е![х, з, х], .Ф,— .
»,. С] = зГ(ЧЭ. Гз а Г(»з — з, х;, с] гог а яшр!е кето с оГ Г, Г'(4) Ф О, ап[Г йеге ех!я а Ьоип[Г М ап[( ап ш[егча!.Г = (х((х — 4( < в) висЬ йа[ (5.9.10) — '- †, †-! < М Гог апу з[,, з[з а .У. ,з (г[з) , 2 Г'(з[з); (5.9.8) (5.9.9) Ге[ е,.:=М(хз — с( ап[Г езз, е, < пип(1, сМ[, ТЬеп, иЯп8 (5.9.8) апз! (5.9.10), И сап Ье еая!у вЬозчп Ьу ш[1исИоп [Ьа[ (5.9.1 1) е;„<ее,, Готт=1,2,... апд (ез( < пип(1, вМ). Ви[ позе йа[ (5.9.12) ез<Ка Готт=0,1,2,..., зчЬеге [Г = (1+ /5)!2 = 1.618... ь йе роыИче гоо[ оГ йе ез[иа[юп Гзз — зз — 1 = О, апд К:= шах(еч, зч е, ) < 1.
ТЬе Ргоо( зв зпИис[зче: ТЬ[в сЬозсе оГ К ша(»ев (5.9.12) чаИ[( Гог з' = О ап[Г з' = 1. 1Г (5.9.12) Ьо!з(в Гог з' — 1 апз[ Ь йеп (5.9.11) у!е!з(в е;, з < К'К' ' = К", япсе з[з = з[ + 1. ТЬив (5.9.12) Ьо![(в а!во Гог з'+ 1, ап[Г пшв[ йегеГоге Ьо!г[ зп 8епега1. Ассог[Г!п8 [о (5.9.12), йе весап[ ше[Ьоз! сопчет8ев а[ 1еая ав зчеИ ав а ше[Ьо[1 оГ оп1ег [Г = 1.618.... 8шсе опе в[ер оГ [Ье весап[ ше[Ьос[ ге[[изгев 1п йь саве, йе (шеаг Гипс[юп аЬчаув зп[егро1а[ев йе [ъчо 1а[ев[ розпзв оГ йе зп[егро(а[юп. %ЬИе йе от!8!па! шейся (5.9.3) В пшпепсаИу в[аЫе Ъесаиве И еп(отсев (5.9.1), йыпау по[ Ье йе саве Гог йе весап[ зпе[Ьо[$. 'зз[тЬепечег Г(»з) Г(»,,), [(!8[[в аге 1ов[ з(ие [о сапсеИаИоп.
Могеочег, х;,, пеез[ по[!зе зп йе зп[егча! [»з, х, з], апт[ Ь зв оп1у ш а язГИсзепИу япаИ пе!8ЬЬогЬоо»( оГ йе кето с йа[ йе весап[ зпейо[1 В 8иагап[еез( [о сопчег8е. %е изИ1 ехапипе йе сопчег8епсе ЬеЬачюг оГ йе весап[ шейо[5 (5.9.7) !п висЬ а пе!8ЬЬогЬоо[1 апИ вЬозч йа[ йе шейоз( Ьав а вирегИпеаг оп(ег оГ сопчег8епсе. То [Ьь еп[Г, изе виЬ[гас[ с Ггозп Ъой в!Иев оГ (5.9.7), ап[Г оЬ[аш, ияп8 [Г!ч![(е[$ еИИегепсев (2.1.3.5), 3!О 5 егпгпгпа Лагоа апг$ Мгпггпппг Рогпга Ьу Пегапче Мег$гог$а оп!у опе аг(г($!$опа1 Гипс6оп еча!иа6оп, гаго весапг в!ерв аге ас гпов! ав ехрепяче ав а яп81е Ь$епг!оп яер.
8!псе Ке' = (К')' = (Кч)г"„Ггчо весап! вгерв 1еаг$ го а шегЬог$ о!оп(ег г1' = г$ + 1 = 2.618.... $!$г(гЬ сошрагаЫе ейогг, йе весапг ше!Ьог$ сопчег8ев ГосаИу Гавгег йап гЬе $«$еъч!оп шегЬог$, гчЬ(сЬ гв оГ огг(ег 2. ТЬе весап! гпегЬог$ ви88евгв гЬе ГоИогч(и8 8епега1$га6оп. Биррове йеге аге г+ 1 гИИегеп! арргох(шаг!опв л„х, „..., хг „го а лего с оГ Г(х). Регегпппе гЬе шгегро!аг(п8 ро!упопиа1 Д(х) оГ г(е8гее г гч$$Ь $2г(х) =.Г [х~! + ! [х -1 хг)(х «) +.! ['г-а ° »г-1»г)(» - «г- г)(х — хг) ог Д,(.«) = аг(х †.»г) + 2Ь,(.л †.»,) + со пгЬеге ц:=Г[х; е, »;,, хг1, Ь;:= е(Лхг-г. »г) +Г[х;-~, '; — г. х,!(«г — '; — г)).
с,.:=Яке). !Г Ь, !в йе гоо! оГ япаИея аЬво1ме ча!ие оГ йе г$иадгаг!с ег$иаг(оп д; Ье + 2Ь; Ь + с; = О, йеп х„,:= х, + !Ь гв йе гоо! оГ Дг(.«) с!овея го л;. 1п огг$ег го ехргевв ГЬе япаИег гоо! о!а г$иаг(гаг(с ег$иабоп гп а пшпег!саИу яаЫе ГавЬюп, йе гес(ргоса1 оГ йе вгаиг(агг$ во!шюп Гогпш!а Гог г$иаг(габс ег$иаг!опв вЬои!д Ье ивег$.
ТЬеп МиИег'в ггегагюп гаЬев йе Гопп с; пгЬеге йе в!8п оГ гЬе вг$иаге гоог Гв сЬовеп во ав го шахипГае гЬе аЬво!иге ча!ие о! йе г(епопппагог. 1Га, = О, ГЬеп а !шеаг (пгегро!аг!оп вгер ав ш йе (5.9.13) Д(хг у) =Г(.»г у), Г= О, 1, ..., г, апг$ сЬоове йе гоо! оГД(х) с1овев! $о», ав йе пеж арргохииа6оп л.„,. гог г = 1 йгв гв йе весап! гпейод, гог г = 2 иге оЬгаш йе шегЬог( оГ МиИег, ТЬе шегЬог$в Гог г > 3 аге гаге1у сопв(г(егег$, Ъесапве ГЬеге аге по ргасбса1 Гогпш!ав $ог йе гоп!в оГ йе !пгегро!аг!п8 ро!упопиа1. МиИег'в шегЬог$ Ьав дашей а гери!а!юп ав ап еГИс!еп! апг$ Гагг!у ге1гаЫе ше!Ьог$ Гог ИпсИп8 а лего оГ а Гипс6оп г(ейпег$ оп йе сошр!ех р!апе апг$, !и рагбси1аг, Гог ИпГИп8 а яшр1е ог ши1!!р!е гоо! оГ а ро1упопиа1.
1! гчИ! Ипг( геа! ав пгеИ ав сошр!ех гоп!в. ТЬе арргохипа!!п8 ча!иев х; шау Ье сошр!ех ечеп И йе соеГИс!епгв апг$ гЬе гоогв оГ йе ро!упопиа! ав гчеИ ав йе вгагбп8 ча!иев л, «е, х, аге аИ геа1. Оиг ехроя6оп ешр!оув г((ч!г(ег$ г$!ГГегепсев (вес Бес!(оп 2.1.3), ГоИоъ !пц ТгаиЬ (1964). Ву $«$егчгоп'в Гп!егро!аг(оп Гонии!а (2.1.3.8), ГЬе г$иаг(гаг(с ро!упопиа( пгЫсЬ гпгегро!агев а ГипсгюпЯп оиг саве йе 8$чеп ро!упопиа1 р) а! х; .»;, », сап Ье лчг(ггеп ав 311 5.9 Зозегросапоо Мезсзоае Гог СЗезегозсосоа Коои З(х,+з]'=/(хз з) /'$х;, .х,.
з] = ], /'(х;. з] - Лх;] х,. „— хз Дх,, х;,] — /'1хз, х,] Схз — з хз . зе зЗ .хзе 1 .хз — з ТЬеье ссиапс$6ех з$есегпипе йе пехс з!иас$га6с шсегро!ассп8 ро!упопиа1 Дз, з(х). 1с сап Ъе вЬозчп сЬас йе еггогх ге = (хз — с) оГ Ми(!ег'в зпейозс ш йе ргохипЬу оГ а яп8!е хего с оГ/(.х) = 0 хасса(у гззз(6) ез,, = е;е;,вз г — —,, —. + 0(г), 6/'(с) г, = пзах($гз(, $гз з ), $ез х!) (5.9.14) [сопзраге (5.9.8)]. Ву ап аг8ишепс апа!о8оих со йе опе пьес! Гог сЬе хесапс зпесЬозс, и сап Ье ьЬоччп йас Ми!!ег'в зпейоз$ В ас !еахс оГ огз(ег д = !.84 ..., зчЬеге д ь йе 1аг8еьз гооС оГсЬе ессиасзоп /з' — /зз — /з — ! = О.
ТЬе ьесапс шесЬозс сап Ье 8епега1зхе6 ш а сВОегепс зс(гессюп. Сопяз(ег адаш г + 1 аРРгохсша6опв х„.:з „..., хз, Со йе лего с оГ СЬе Гипсзюп /'(х). 1Г йе шчегхе д оГ йе Гипс6оп/'ехсхсх зп а пез8ЬЬогЬооз$ оГ с, /'(д(у)) = у, д(Г(л)) = х, д(0) = с, йеп с$есегпипзп8 с азпоипсх со са!си!а6п8 д(0). Взпсе д(/'(х,)) =. 3, /= з, з — 1, ..., з' — г, йе Го!!оччсп8 хи88еьсх зсье!Г: с$есегпипе йе спсегро!ассп8 ро!упопиа! Д(у) оГ зсе8гее г ог !ехх зчзй Д(Г(хз)) = х,,/ = /, / — 1, ..., / — г, апз$ арргохипазе д(0) Ъу Д(0). ТЬеп ье!есс х,.„= Д(0) ав йе пехс арргохипасе рошс со Ье 1пс!изсезссп йе зпсегро!а6оп. ТЬзв шесЬозс га са!!ез$ зсесегшзпш8 пегов Ьу Ьжегхе зигегро!ассап.
Ьсозе йаз И зсоех поз гез!шге ьо!чш8 ро(упопиа! есрза6опх ас еасЬ |сер ечеи зТ г > 3. гог г = 1 йе хесапс зпесЬоз$ гехи!ся ТЬе шсегро!а6оп Гогши!аь оГ $лсечз!!е апз$ Асс(сеп (хее Бес6оп 2.1.2) аге раг6- си!аг!у иве/ис ш сшрсешеп6п8 шчегье шсегро1а6оп шесЬозся ТЬе шесЬозсь аге!осаНу сопчег8епс оГ хирег!зпеаг огзсег. г ог зсесас!в ьее Охсгозчь(сз (1966) апс! Вгепс (!973). хесапс зпейос1 гехи!ся ГГа; = Ь, = О, сЬеп Г(хз з) = Г(хз з) = /(хз), апзссЬе иега6оп Ьах со Ье гевсагсез$ зчссЬ зссйегепс шиза! ча!иея !п хо!чзп8 йе зрзазсга6с ее!пас!оп, соизр(ех апйизе6с Ьах со Ье пьес(, ечеп зТ йе соеГОс(епсх оГ йе ро!упопиа! аге аП геа!, япсе Ь,' — а;с; шау Ье пе8а6че.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
