Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Ркоок и гого Ах = Лх опе оЬ!а1пь ипгпег!)аге!у Аьх = А(Ах) = ЛАх = Льх, апг) !п депега! А'х = Л'х. ТЬиь, р(А)х = (;о! + 7, А + ". + 7 Аи)х = (7о + уь Л+ '''+ 7 " )х = Р(Л)х. Гиг! Ьеппоге, Ггопг г)е1(А — Л!) = г)е1((А — ЛГ)г) = г)е1(Аг — ЛГ), де1(Аи — Л!) = г)е1((А — Л!)") = бег((А — ЛГ) ) = с)е1(А — ЛГ), йеге Го!!оччгп 334 6 Е!ааааа!аа Ргоо!ата (6.1.7). (ГЛ гь ап е!депоа!ие оГ А, йеп Л !ь а!ьо ао е!депеша!ие оГАг, апг( Л ап е!депеа!ие оГ А". Ве1ьчееп йе соггеьропг(!пд е!аепчес1огь х, у, г, Ах = Лх, Агу — Лу А "г = Лг, гпеге1у йе гпгба! ге1а6опьЬ|р у = г Ьо!6ь, гп ч!еьч о!А" = Аг.!п рагбсп1аг, йеге !ь по ягор!е ге!а6опьЬ|р, гп депега!, Ьегччееп л.
апг( у, ог л. апд г. Весапье оГ у = еп апд гпА = Лг", опе са!!ь г", ог уг, а1ьо а !е(1 е!депюесгог аььос)агег1 Рбй йе е!депча!пе Л оГ А, е пгйеггпоге, )Гх ф О гь ап е)депчес1ог соггеьроп6!пд го йе е!депча!пе Л, Ал=Лх, Т ап агЬпгагу попяпу~!аг п х о гпа1г!х, апд !!опейейпеь у:= Т 'х, 1Ьеп Т 'АТу=Т 'Ал=ЛТ 'л.=Лу, уфО, !.е., у В ап е!депчесгог оГ йе ггапь(оггпед гпагпх В:= Т 'АТ аььос!а!ей Рбй йе ьагпе е(депча!пе Л. КпсЬ 1гапьГоппабопь аге са1!его ят!!апгу ггапфоппаг!опь, апд В В ьа!г! 1о Ье япп1аг 1о А, А - В. Опе еая1у ьЬочгь йа1 япн1агау оГ гпагпсеь В ап ег(п!ча!епсе ге!а6оп, !.е., А А, А-В =а В А, А В, В С ~ А С.
В!пп!аг и!агпсеь Ьаче пог оп!у 1Ье ьагпе е!шепча!пеь, Ьпг а1ьо йе ьагпе сЬагасгепьбс ро! упоппа!. 1пг(еед, бег(Т 'АТ вЂ” р!) = Йе1(Т '(А — р!)Т) = г(ег(Т ') дег(А — р!) дег(Т) = де1(А — И!). Могеочег, йе !п1едегь р(Л), о(Л) ге!па!и 1Ье ьагпе: еог о(Л), й|ь ГоПоьчь Ггогп йе гпчапапсе оГ йе сЬагасгепь6с ро1упоппа1; Гог р(Л), Ггогп йе Гас! 1Ьаг, Т Ьегпд попяпдп!аг, 1Ье чесгогь х„..., х, аге!!пеаг1у (пдерепбепг !Г апг( оп1у !Г 1Ье соггеьропг!1пд чесгогь у; = Т 'х;, ! = 1, ..., р, аге 1юпеаг1у пм(ерепдеп1. 335 а2 Т»е Логдап !Чоипа! Еопп о!а Мяггх 1п йе гпоя ипроггапг тегЬогЬ Гог са1си!аг!па е!аепча!иек апг! е!аепчесгогь оГ а гпагпх А, опе йгаг рег(оппь а ьег1иепсе оГ япн!агру ггапаГогтаг!опк А(о):= А А":=Т; 'А' "Т;, 1=1,2, 1и оп1ег го агаг!из!!у ггапьГогт йе тагпх А !иго а гпагпх оГ ятр1ег Гопп, вЬозе шепча!пег апгГ е1аепчесгогь сап йеп Ье г!егегт1пег! тоге еая!у.
6.2 П!Е ЗОГдаП ХОГГПа1 ГаПП О!' а МаГГ1Х %е гетаг(сего а!геаг!у ш йе ргечюиа зесг!оп гЬаг Гог ап е1аепча!ие Л оГ ап л х и гпагпх А, гЬе ти!г!р!!с!гу с(Л) оГ Л аь а гего оГ йе сЬагасгепьбс ро!упопиа! пеег! пог со1псЫе в!гЬ р(Л), йе тахппщп пшпЬег оГ Ипеаг!у 1пг!ерепг!епг е!аепчесгогк Ье!опа!па го Л. !г га роаяЫе, Ьовечег, го ргоче йе Го!!ив!па !пег!иа!!гу: (6.2.1) 1 < р(Л) < гг(Л) < и. Ркоог. 'чче ргоче оп!у йе попгпгАа! рагг р(Л) < гг(Л). 1.ег р:= р(Л), апг! 1ег х„..., х„Ье Ипеаг!у шг!ерепг!епг еГуепчесгогъ аззос1згег! в1гЬ Л.; Ах,=Лх,, 1=1,...,р.
%е зе!есг и — р аг!6!гюпа! 1!пеаг1у 1пг!ерепгГепг чесгогз х, и С", ! = р + 1, ..., и, аисЬ йаг йе х;, Г = 1, ..., и, Гопп а Ьаяа 1п С". ТЬеп йе я!иаге тагпх Т:= [хп ..., х„] впЬ со1итпь х,. га попяпаи!аг. хог ! = 1,..., р, ш ч1ев оГ Те,.
= х„е, = Т ~х,, ве пов Ьзче Т 'АТе;= Т 'Ах;=ЛТ 'х;=Ле;. Т 'АТ, йегеГоге, Ьза йе Гопп [и/в] Т 'АТ— апг! Гог йе сЬзгасгег1я!с ро1упоппа! оГ А, ог оГ Т 'АТ, ве оЬга!и гр(!г) = г!еГ(А — !г I ) = г!еГ(Т ' А Т вЂ” иГ) = (Л вЂ” !г)» г!еГ(С вЂ” ГгГ). ег 1ь г!!ч!яЫе Ъу (Л вЂ”,и)»; Ьепсе Л 1а а лего оГ сг оГ пш16р!гсЬу аг!еая р. и 336 6 Е!аепче!ие РгоЫепь !п йе ехагпр1е оГ гЬе ргегдопа вес!гоп ве а!геаду 1п!пх(псед йе ч х ч гпагпсеь [атее (6.1.5)! Л 1 (6.2.2) Бег!!пд Гоппа!!у е„:= О Гог Ь < О, йеп Гог а11 1, ! > 1, (С,.(л) — Л!)'еч — — е; „ апд гЬпь (6.23) (С,.(Л) — Л!)' = О, (С,.(Л) — Л!)' ' ф О. ТЬе ядп!Осапсе оГ йе гпагпсеа С,,(Л) 1!еь !п йе Гас! 1Ьаг йеу аге оьее1 го Ъп!!г( гЬе загса!!ег( .!отИаи иотта1 Гопи .! оГ а гпагпх. 1пг(еее(, йе Го(!ов1па Гппе(агпепга! ГЬеогет Ьо1сЬ, вЬ1сЬ ве ага!с в!1Ьопг ргооГ: (6.2.4) ТЬеогегп.
Г.ег А Ье аи атЬГгтату и х и тиагтт и аие( Л,, ..., Л„!гз йяг!пег е1деиеа1иеа, в1гЬ деотегпс аие1 а!деЬтаГс ти(гГр(ГсГГГез р(Л;) аиФ о(ли), теяресггое1у, 1 = 1, ..., Ь. ТЬеп Гот еасЬ о(гЬе еГдепюа!иез Л„! = 1,..., Ь, йете ех1юг р(Л;) па!ига! питЬета 1', ! = 1, 2, ..., р(Л;), вггЬ о(Л,) = ч7'+ 4'+ "+1'„",ее, апеХйете ехГагг а попа!иди(ат и х и тагтГх Т, зисЬ йаг У:= Т 'АТ Ьаз йе !о11ов!пд !опи: (6.2.5) Сеу (Л,) с,п'„и,(л, ) с, ~ в(л„) вЬете, Гот гуродтарЬГса! соиоеиГепсе, Л(!]:= Л<. ТЬе иитЬетя чгп, ! = 1, ..., р(лт) (апе( взгЬ йет, гЬе тагтГх у) ате итдие1у Йегетпипег( ир го отг(ет. ! Гг саПег! йе уот4аи поттпа1 )отт оГ А. апе( кЬовег( йаг 1 = р(л) < о(Л) = ч (|Г ч > 1) Гог ГЬе (оп1у) е1депча!пе Л оГ ГЬеае гпагг(сев.
ТЬе пп(цпе е!депчесгог (пр го кса!аг пш11!р!еа) га е„апг1 Гог гЬе соотг(!пате чесгогк е; ве Ьаче депега!(у (С,.(Л) — Л!)е; = е;,, ю' = г, г — 1, ..., 2, (С,.(л) — Л!)е, = О. 337 6.2 7"ие Яотпап !Чонпа! Гоге ог а МаГт!х ТЬе тагпх Т, 1п аепега1, гя пог ип!г!ие!у дегепптед. !Г опе рагйюпя йе гпагпх Тсо!отпив!яе, гп ассоп!апсе гч!1Ь гЬе Уоп!ап поппа! Гогпз,У !п (6.2.5), [71 .. 7р()п .
' 71 ''' 7р(,1и] йеп Гготп Т 'А Т =,У, апд Ьепсе АТ = ТУ, йеге Го!1оп ипшед!аге!у йе ге!абопя (6.2.6) АТ' = Т)пС„,ч(Л;), ! = 1, 2, ..., Уг, У= 1, 2, ..., Р(Лт). Гуепог!пд йе со!шипя оГ йе л х ч," пгагпх Тга чч!ГЬоиг ГиггЬег !пд!сея Ьпейу Ьу г, тл = 1, 2, ..., ч,"', ТЯ [гг гг г ч] !г !пипед!асе1у Го!1опя !гоги (6.2.6) апд йе дейл!г!оп оГ С,, ч~(Л;) йаг О 1 О (А — Л; У)[гг, ..., г,. и] = [г,,..., г,, и] О О ог (А — Л,.У)г = г „лг = ч', ч," — 1, ..., 2, (6.2.7) (А — Л;У)г, = О. 1п рагдси!аг, г,, йе йгяг со!шпп оГ Т,"', !я ап егуепчесгог Гог гЬе е!пепча1ие Л;.
ТЬе геша!п!пп г, тл = 2, 3, ..., ч',", аге сайед рт1лс1ра! чесготя соггекропд!пп го Л;, апд опе яеея йаг плгЬ еасЬ Уогдап Ыос(с С, ч(Л;) йеге !я аяяосгагег1 ап еЬ3епчесгог апг! а яег оГ рппс!ра! чесгогя. А!годегЬег, Гог ап л х л гпаспх А, опе сап йия йпд а Ьагдя оГ С" (патпе!у, йе со!игппя оГ Т) вЬ!сЬ сопя!ягя епбге!у оГ е!пепчесгогя апд рг!пс!ра! чесгогк оГ А. ТЬе сЬагасгепяис ро!употп!а(я (Л; — Уг)' " = дег(С,, ю(Л;) — УгУ) оГ гЬе !ид!ч!диа! Уогдап Ыос(гя С,.
е(Л;) аге са!!ед йе (6.2.8) е!елгелгату Йткотк оГ А. ТЬегеГоге, А Ьая оп!у 11пеаг е!етепгагу д!ч!котя ргес!яе!у !Г ч," = 1 Гог а!1 1 апд У, !.е., !Г йе Уогдап поппа! Гопп гя а д!апопа! тпагг!х, Опе йеп саПя А д1адола(1гаЫе ог а!яо лотлга!ГгаЫе. ТЫя саяе тя д!яГ!ппи!яЬед Ьу ГЬе ех!яГ- епсе оГ а Ьагдя оГ С" сопя!яг!пп яо!е!у оГ е!аепчесгогя оГ А; рппсгра! чесгогя до пог оссиг. ОгЬегчт!яе, опе яауя гЬас А Ьая "ЬщЬег," г.е., поп1!пеаг е!етепгагу д!ч1яогя. 338 б Ескеочасое Ргосзсепзз Егоиз ТЬеогегп (6.2.4) сЬеге ГоПозчк ппизезсзасе1у: (6.2.9) ТЬеогепх Ееегу и х п таспх А зчзсЬ и гссьсспсг есдеиаа1иеь сь е(1адопадгаЫе.
'ззСге зчзП 8ес со 1сиозч ГигсЬег с!аккек оГ сПадопа!зхаЫе зпаспсек зи Бес6ои 6.4. АпосЬег ехсгете саке оссигк зТ пгзсЬ еасЬ оГ йе сПь6псс е!8епча!иек Ло 1 = 1, ..., Гг, оГ А йеге В аккосзасесС оп1у опе Юогзсаи Ыос1с 1и йе Яогзсап попиа! Гопп Л оГ (6.2.5). ТЫк ск йе саке ргесзке1у П р(Л;)=1 Гог!=1,2,...,Гг. ТЬе зпаспх А зк йеп саПе6 (6.2.10) иоигсегодасогу, осЬепчзке, гГегодагогу (ап а х и зпаспх МсЬ и еПк6псс ездеича!иек зк йик Ьой оПадоиайгаЫе апсС поизсегодасогу). ТЬе с1акк оГ иопзсегодасогу зпаспсек зчзП Ье яибПе6 пзоге ГиПу зи йе пехс кес6оп. А Гигйег ипрогсаис сопсерс Гк йас оГ сЬе тзиппа1 ро1уиотза1 оГ а зпасгзх А. Ву СЫк зче зпеап йе ро!упоппа! зсг(Р) = Уо+ Узд+ '''+ У~-зр + И оГ япаПея з!едгее Ьазбпд йе ргорегсу ТЬе ппиппа! ро1уиопба! сап Ье геасс оГГ ас опсе Ггопз йе уоп1ап иоппа1 Гопи: (6.2,11) ТЬеогеиз. Еес А Ье ап и х п тасгсх зчзгЬ йе (гссьсзпсг) есдепеа!иеь Л,, апзГ пгсСЬ йе Гоге!оп иопиа1 Гогт,/ о1 (6.2.5), апзГ Гег гг:=изахз «,,заз чгз, Тсзеи (6.2.12) з((р)г= (зз — Л )и(и — Лз)" " (р — Л )" и гЬе ттзта1 росупатза1 оГ А.
з(г(!з) г(1изг(еь ечегу росупотса1 г(р) тгЬ г(А) = О. Расюг. 'чСге Пгкс кЬозч йас аП гегок оГ йе иззизпза! ро!упозпза! з(г оГ А, зТ П ехскск, аге ездеича!пек оГ А. 1.ес, кау, Л Ье а гего оГ зГг. ТЬеп зчЬеге йе ро1упопиа! д(р) Ьак япаПег зседгее йап з/г, апсс Ьепсе Ьу йе дейшбоп оГ сЬе пппппа! ро1упоппа1, д(А) ~ О. ТЬеге ехзкск, сЬегеГоге, а чессог г + 0 пгзсЬ х:= д(А)г ~ О. Весаике оГ з(г(А) = 0 Ь сЬеи ГоПозчк йас 0 = зГг(А)г = (А — ЛГ)д(А)г = (А — ЛГ)х, 339 62 Тае Гогдвп !Чопва! дола ог а Ма~та Г.е., Л !ь ап е!депча!ие оГ А.
1Г а пппипа1 ро!упоппа! ех1ьгв, Ь чч111 гЬпь Ьаче йе Гоггп ~(г(Гг) = (Гг — Л,)*'(Гг — Лт)** ... (гг — Л,)п !ог сеггаГп т,. Фе гч!ьЬ го ьЬотч потч ГЬаг т;:= гпах ч," мпН г!еГгпе а ро1упоппа1 чч11Ь ф(А) = О. %!ГЬ йе по!а!!оп оГ ТЬеогегп (6.2.4), пкГеегГ, А = ТЛТ ' апгГ йав уг(А) = ТугЯТ '. 1п ч1ечч оГ йе г11адопа! ь!гисгпге оГ.У, .У = гГ!ад(с,, а (Л, ),..., С,,„„,(Л„)); Ьочгечег, чче почт Ьаче д~(/) = гГ!ад(ч1(с,. о (Л,)), ..., д~(с,.„„,а,(лг))). %псе ~(Гт) = (Гт — Х;)пд(лг), йеге Го!!отчв (6.2.13) дг(с,,ч (Л;)) = (С„ч (Л;) — Л;1)пд(с„,ч1(л,)), апд йпь, Ьу гАггпе оГ т; > ч'," апгГ (6.2.3), Ф(с,, (л,)) =о. ТЬпь, уг(Л) = О, апгГ ГЬегеГоге а1ьо ф(А) = О. Ас йе ьагпе йпе опе вееь йаг попе оГ гЬе !пгедегв т, сап Ъе сЬоьеп япа1!ег йап гпах ч,": 1Г йеге тчеге, вау, т, < ч,", ГЬеп, Ьу (6.2.3), (С„,~о(л;) — Л; 1)ч + О.
Ртов д(л;) + 0 Ь тчоп1<Г Го11отч аг опсе ГЬаг В:= д(С„ч (Л,)) Гв попв!прз!аг. Непсе, Ьу (6.2.13), а1во ф(с„ч (Л;)) ~ О, апгГ пеГйег 4г(Л) пот ю/к(А) гчои14 чашьЬ. ТЬ!ь ьЬоччь гЬаг гЬе ьрес1йетГ ро!упоппа1 гв йе пишта! ро!упоппа! оГ А. 1Г, йпа!1у, у(Гт) !в а ро!упоппа1 тч!ГЬ у(А) = О, йеп у, абй ГЬе а1гГ оГйе пппипа! ро!упоппа!, сап Ье тчг!ггеп ш гЬе Гопп К(И) = д(И)Ф(И) + г(И) тчЬеге гГед г ~ гГед !д. Его г(А) = уг(А) = 0 чче йпь дет аЬо г(А) = О. %псе ф !в гЬе пппппа1 ро!упоппа1 оГ А, тче ппвг Ьаче Ыепг1са11у г(Гг) = — О: Чг !в а йч1ьог оГ Х, П Ву (6.2.4), опе Ьав Р(х) с(Л;) =,'> ч)п > т; = шах ч)с, г=г г Ье., йе сЬагасгег1ьг!с ро1упоппа1 вг(гг) = де!(А — пГ) оГ А Гь а пш111р!е оГ йе пппппа1 ро1упопиа1. Еопа!Ггу о(Л,.) = т„Г = 1, ..., /г, ргеча!Гь ргес1ве!у тчЬеп А !ь попгГегодагогу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
