Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Н, р = (О, ..., О, гг)г. А в!гегсЬ Гог т = 4 гв 49 Мо41ааааоп Тесипщиев Гог Мяпх Весопьрояаиив 229 пррег гг!аппп!аг шагпх (еи), вг!1Ь йе ехсерПоп оГ пв !авг гою, шго ап иррег 11!апаи!аг шагпх Яге1сЬ!па йгв Гог ги = 4, л = 3, гие Ьаче х х х х х х О О О х О О О О О О О х О О О х х н., х х О х Ргош (4.9.9), (4.9.! !) П ГоПоюв йаг Ц апгГ йегеГоге РЛ ("~ Гог йе (е — !)-оп!ег ипПагу шагпх Р апд йе иррег гг!аппп!аг гпагпх Й оГ огдег и. ТЬ!и Ьав ргог$исед а г!есошроябоп Гог А оГйе Гопп (4.9.2а). Г1 сап Ье вЬоюп йаг йе гесЬп!г!иев оГ йгв весПоп аге пшпег!саПу вгаЫе ш 1Ье ГоПовгша вепве. Ьег Р апг! К Ье и!реп шагпсев «чй йе ГоПоччпа ргореггу: ТЬеге ехгв1в ап ехас1 ип!1агу гпагпх Р' апд а ша1пх А' васЬ 1Ьаг !в а десошрояг!оп оГ А' !и йе вепве оГ (4.9.2а) апг! йе гППегепсев !!Р— Р'!!, '!А — А'!! аге "япаП." ТЬеп йе шейогГв оГ йЫ весПоп, аррПед го Р, К !и Поаг!па-ро!пг апйшебс аПй ге!агпе шасЬ!пе ргесГяоп ерв, ргоПпсе ша1гПсев Р, П 1о гиЬ!сЬ аге аввосГагег! ап ехас1 игП1агу шагпх Р' апгГ а ша1пх А' ваг!вГу!пП: (а) !Р— Р'!', '!А — А'1! аге "япаП," апд (Ь) Р'А' = ф !в а десошров!1!оп оГ А' ш йе вепве оГ(4.9.2а).
Ву "вшаП" «е шеап йаг йе ЙТегепсев аЪоче ваПвГу '!ЛР! = 0(т" ерв) ог ГгвА! = 0(ге* ерв !А!), вгЬеге и гв вшаП (Гог ехашр!е а = г~). 230 4 Буяепь ос С.~пеаг ЕгСоаг!опт 4.10 'Псе ЯспсР1ех Мейод Еспеаг а!аеЬгасс сесЬпщпев сап Ъе аррПед адчапсаПеопв!у, гп йе сопсехс оГ йе яигр!ех гпесЬод, со восче!Ыеаг ргадгатттд ргаЫетв. ТЬеве ргоЫетв аггее Ггеср1епс!у сп ргасдсе, рагдсп!аг!у сп йе агеав оГ есопоипс рсаииспа апд тапааетепс вссепсе. Ешеаг ргоагаттша ь а!во йе теапв Ьу ччЫсЬ а пптЬег оГ ппрогсапс оПвсгесе арргохппадоп ргоЫегпв (е.а.
дата 6!Вид 1и сЬе Е.г апд Е„попив) сап Ье во!чед. Ас йгв 1псгодпссогу!ече! о! сгеастепс лче сап сочег оп!у сЬе товс Ьаяс аврессв оГ Ппеаг ргоагапппша; Гог а тоге сЬогопаЬ сгеастепс, сЬе геадег 1в геГеггед со сЬе вресса!!пегасиге оп сЬсв виЬ1есс (е.а. Рапсхса (1963), Савв (1969), НагПеу (1962), ог Мопу (1976)!. А аепега! !шеаг ргоагапппспа ргоЫет (ог Ппеаг ргодгат) Ьав йе Го!- !олчсиа Гопп: (4. 10.
1) иппппсхе с,.х, + с,л, + " + с„л„= сгх ассЬ гевресс со аП.л е й" лчЬ1сЬ ваивГу Виде!у тапу сопвсгаспсв оГйе Гопп а„л., + аплс + ". + а,„.л.„< Ьо 1= 1, 2, ..., т,, (4.!0.2) аи л, + ад хс + " + а;„.х„= Ь;, ! = т, + 1, т, + 2, ..., т. ТЬе пшпЬегв е„, а,„, Ь, аге фчеп геа! пшпЬегв. ТЬе Гипс!!оп сгх Со Ье пппппсхед св саПед йе аЫесгсче /аиедои, ЕасЬ .х е !1" ччЬссЬ вадвйев аП оГ йе сопеПсюпв (4.10.2) ь вак1 со Ье а ГеаяЫе рогпс Гог йе ргоЫет. Ву !и!садиста адеППопа! чаг|аЫев апд ес!иассопв, сЬе !спеаг ргоагаппп1па ргоЫегп (4.10.1), (4.10.2) сап Ъе рпс си а Гопп гп ччЫсЬ сЬе оп!у сопвсга1псв чгЫсЬ арреаг аге есспаПС1ев ог есетеигагу ЬгедааПгсев (1песспаПссев, Гог ехагпр1е, оГ сЬе Гопп.х; > 0).
!с гв ивеГи1, Гог чапопв геавопв, со гес!шге йас йе оЬ3ессгче Гипссюп с".л Ьаче йе Гопп сгх = — —.л„. 1п огссег со Ъппа а Ппеаг ргоагаттспа ргоЫегп со савв Гопп, сче гер!асе еасЬ попе!егпепсагу 1песспаГПу (4.10.2) а„.л', +" + а,„.л„< Ь; Ъу ап ес!паПсу апд ап е!етепсагу 1иегсиаПсу тяпа а всассг оагсаЪ|е х„„, !Г йе оЬ)есссче Гппсдоп с, х, + + с„х„св пос е!егпепсагу, лче шсгодпсе ап адеППопа! чапаЫе х„,, „апд 1пс!пде ап аддпюпа! ессиассоп сгхг + ''' + с„л„+ х„е,гг = 0 атопа йе сопвсгаспсв (4. 10.2). ТЬе пипстсхасюп оГ сгх В ег!шча!епс со йе тахсппгадои оГ х„,, „ипдег йгв ехсепдед вуяет оГ сопвсгаспся Непсе чче сап аввшпе, счссЬопс!овв оГ аепегаПсу, йас йе Гшеаг ргоагаттспа ргоЫет ь а1геаду асчеп гп йе ГоПосчспа яат!агд Гагт: 1.Р(1, р): тахппсхе х, очегаП хе й" адй Ах=6, (4.10.3) х; > 0 Гог 1' и 1.
23! 4.10 ТЬе Виар!ех Мегвое 1п гЫв Гогпш1айоп, Г ~ Х:=(1, 2, ..., и) гв а (ровяЫу ешргу) !пгГех вег, р !в а йхегГ !пгГех вайвГУшд Р и !лг'!1, А = (ао аз „..., а„) !в а геа! пз х и гпа!гзх Ьач!пд со!пшпв аз, апг! Ь е й гв а а!чеп чес!ог. ТЬе чаг!аЫев х; Гог зчЫсЬ ! е Г аге !Ье гевггГсгегГ чапаЫев, зчЫ!е !Вове Гог зчЫсЬ ! ф 1 аге !Ье (гее чапаЫев. Ву Р:= (х е й" ! Ах = Ь сс х; > 0 Гог а11 ! и 1) лче гГепоге 1Ье ве! о! аП ГеаяЫе ро!пгв оГ ЬР(1, р), х* е Р !в ап оргйиипз ро!пг оГ ЕР(Г, р) зГ х~~ = шах(хр!х е Р). Ав ап 01иягаяоп: ппшппге — х, — 2хз виЬ!ее!го -х, + хз < 2, х, + хз < 4, х,>0, хз>0. АГгег гпе !пггог!исг!оп оГ хз, х4 ав в!асЕ чапаЫев ась х, ав ап оЬ!есяче Гипс6оп чапаЫе, гЬе Го!!озч!па вгапг$агз! Гопп !в оЬга!пе<$, 1 = (1, 2, 3, 4), р = Гп тахнпае хз виЬ)есг го — х, + хз+ хз хз 4- хз — х — 2хз +л,=О, х,>0 Гог!<4.
ТЫв сап Ье вЬозчп агарЫса!!у зп йз. ТЬе вез Р (вЬадзх! !п р!апге 4) !в а ро!уаоп. !1п Ь!аЬег зГ!шепв!опв Р зчоп!г! Ье а ро!уЬезГгоп.) Р!удэге 4 ЕеаюЫе ге!реп апй оЬ)есг!че Гппсг!оп. %е Ьеа!и Ъу сопв!гГег!па 1Ье 1шеаг егГпаг!оп вувгеш Ах = Ь оГ ЬР(Г, р). Рог апу !пгГех чесгог 1 = (Г„..., Г„),Гз и ЬГ, зче 1е! АР= (азу, „аг) г(епо!е !Ье впЬшагг!х оГ А Ьач!па со1пшпв аз;; хзгГепогев !Ье чес!ог (х,,, ..., х, )г.
232 4 Зувсеии ог 13иеаг Ецоаг!оив Рог зппрйсПу чче еПП депо!с йе зес (у;(! = 1, 2, ..., г) оГ йе согиропепсв оГ У Ъу l а!во, апд чче тчПГ тчпсе р и У сГ йеге ех)зсз ап с' ччПЬ р = с;. (4.10.4) 1уейп)с)асх Ап спс)ех чессог,У = (У,,..., 1 ) оГ ис д!зс(пс! (пеПсев Ус и ЬУ гв саПед а Ьаяв оГ Ах = Ь (апд оГ 1.Р(1, р)) П А, сз попяп8и(аг. А )в аЬо ге(ессеи со аз а Ьаяз; йе чапаЫев х, Гог ! и У аге геГеггес1 со ав Ьаяс иаг!аЫев, исЫ!е йе гешашш8 чапаЫез х„(с ф У, аге йе иоиЬаяс чапаЫев.
1Г К = (Гс„..., Гс„) Гв ап (пс1ех чессог сопсаш!п8 йе попЪав(с Гпб(сез, яе яП1 иве йе поса6оп У Я К = ЬУ. Ги спе вЬоче ехагир1е У„:= (3, 4, 5) аи4,Ув:= (4, 5, 2) аге Ьввез. Аввос)аге6 ебй апу Ьаяв У, У%К = ЬУ, йеге гв а ип61ие во!и6оп х = х(У) оГ Ах = Ь, саПед сЬе Ьазсс во!и!сап, ебй хх — — О. 8(псе Ах = Асхс + Аххх —— Авхч = Ь, х (з 81чеп Ьу (4.10.5) хг:=6, х„:=0 ичсЬ Ь:=А~ 'Ь. Могеочег, 8(чеп а Ьаяв У, еасЬ воЬпюп х оГ Ах = Ь (в ипп)ие!у десепп)пей ЬУ (Сз попЬаЯс ве8шепг хх апд йе Ъазгс зо!и6оп х. ТЫв ГоПохчв Ггосп йе пш16рПса6оп оГ Ах = Ах хх + Ах х„= Ь Ьу АТ' ап6 Ггош (4.10.5): (4.10.б) хч = Ь вЂ” А~ 'Аххх = хг — А~ 'А„х„.
11 хх и й" " !з сЬовеп агЬПгап1у, апд П хч (апд йегеЬу х) гв дейпе6 Ьу (4.10.б), йеп х Гз а во!и6оп оГ Ах = Ь. ТЬеге(оге, (4.10.б) ргоч(без а рагашеспга6оп оГ йе во(ис)оп ве! (х(Ах = Ь) йгоиПЬ йе согиропепсв оГ х„ е Й" " !Г йе Ьаяс зо!Ыюп х оГ Ах = Ь аззос(а!ей ебй йе Ъаз!з У )з а Геаз(Ые роси! оГ 1.Р(1, р), х и Р, йас Гз, П (4.10.7) х;>О ГогаПспУ оо х;)О ГогаП!аУгхУ, йеп У (з а ГеазсЫе Ьазсв оГ ЬР(1, р) ап6 х (з а ЬазсеУеаяЫе во!исюл.
ГшаПу, а ГеаяЫе Ьаяв (з вак$ со Ье каис(едеиегасе сГ (4.10.8) х; > 0 Гог аП ! а У гх,У. ТЬе Ипеаг рго8гашш(п8 ргоЫеш аз а ччЬо1е гз попде8епегасе (Г аП оГ (св ГеаяЫе Ьавез аге попде8епегаге. Сеошеспса!!у, сЬе Ьаяс ГеаяЫе во!и6оив учев Ьу сЬе чзпоиз Ьазез оГ 1.Р(У, р) соггеврои6 со сЬе чег6сев оГ сЬе ро!уЬе4гои Р оГ Геаз!Ые роси!в, вяиш!из сЬас Р 4оев Ьаче чег6сев. 1и йе апоче ехашр!е (вес Е!8иге 3) сЬе чегсех А и Р Ье!опав со 233 4.!О Тие Яяр!ех МеГ$чкГ йе ГеаяЫе ЬавЬ У~ = (3, 4, 5), япсе А Ь г$егепшпег$ Ьу х, = хь = О апг$ (1, 2) Ь !и гЬе сотр!ешепгагу ве! соггевропгПпд го Ух !и $Ч = (1, 2, 3, 4, 5); В Ь азвос!агег$ адй Ув = (4, 5, 2), С Ь аввос!агег$ аПгЬ,Ус = (1, 2, 5), егс.
ТЬе ЬазЬ Зв — — (1, 4, 5) Ь по! ГеаяЫе, япсе гЬе атос!аик$ Ьаяс во!06оп Е м по! а ГеаяЫе ро!и! (Е 4 Р). ТЬе випр!ех ше!Ьог( Гог во1ч(па Ппеаг рго$$гапип(пд ргоЫешз, г(ие !о Сг. В. $3апгх(д„!в а ргосеы ччЬ(сЬ Ьеа(пв чч$!Ь а ГеаяЫе Ьы(з .Ур оГ 1.Р(У, р) за!ГвГу!пд р в,уе апг$ гесигв(че1у пепегагев а вег$иепсе (У;) оГГеы!Ые Ьыев,У; оГ 1.Р(У, р) гч$!Ь р и,У; Гог еасЬ ! Ьу пгеапв о1'з!тр!ех згерз ,У; —,Увч!. ТЬеве в!ерв аге г(ев(дпей !о епвиге йа! йе оЬУесПче Гипсбоп ча(иез х(Я,)г соггезропг$$па !о йе Ъыев Я; аге поп!(есгеаяпп: х(У;)г ( х(У;„) Гог аП г > О.
1п Гас!, $Г аП оГ йе Ьыев епсоип!еге!$ аге попг(едепегаге, йгв вег$иепсе Ь япс!1у Гпсгеаяпп, апг$ $Г ЬР(У, р) г(сев Ьаче ап оргппшп, йеп йе вег$иепсе (У,) !епп(па!ев айег ПпПе1у шапу в!ерз ип а Ьаз(з .У„, гчЬове Ъаяс во(иПоп х(У,„) Гв ап орйпшп рош! Гог ЬР(У, р) апг$ Гз зисЬ йа! х(,У;) < х(Ут,) Гог аП О < ! < М вЂ” 1. РиггЬеггпоге, еасЬ !гчо зиссезяче Ьыев У = (У„..., У„) апг$ .У = (70..., У ) аге пе!дЬЬог!пд, !Ьа! $в, .У апс$ У Ьаче ехас!1у т — 1 сошропеп!з гп сопипоп. ТЬ(з гпеапв !Ьа! У пгау Ье оЬгашег$ Ггош У !ЬгоиПЬ ап шг(ех ехсЬапае: йеге аге ргесгве(у !гчо шеПсев д, ь в У!У ва!$вГу(пп д а,У, ь Ф У апг$ д ф У, з а У: йы У = (д и (з))!(д). Рог лопг$едепегаге ргоЫешв, пе!ВЬЬог!пд Гезз!Ые Ьавев соггевропг$ деошегпсаПу го пеЬВЬЬоппд чеавеев оГ Р.
1п йе ехагпр1е аЬоче (Е!диге 3),.гх = (3, 4, 5) апд ./в = (4, 5, 2) аге пе!вЬЬоппд Ьавев, апг$ А апд В аге пе1дЬЬог!пд чегг1сев. ТЬе вппр!ех ше!Ьог$, ог тоге ргес(ве!у, "рЬаве гччо" оГ йе вппр1ех шейгк$, ывшпев йа! а ГеаяЫе Ьаяз.У оГ ЬР(У, р) ваг(зГу(пд р и .У гв а!геаг(у ачаПаЫе. Сг(чеп йа! ЬР(У, р) г(сев Ьаче ГеазгЫе Ьазез, опе зисЬ Ъаз)в сап Ье Гоипг( из(пп а чаг(ап! $гпогчп ав "рЬаве опе" оГ !Ье япгр1ех шейгк$.%е гч(П Ъеп(п Ьу г(езсг(Ь$пд а сурка! яер оГ рЬые !ччо оГ йе вппр(ех шегЬог$, ччЬ~сЬ 1еаг(з Ггош а Геаз(Ые Ъаз(з,У !о а пе(ПЬЬог(пП Ьаз(в У оГ $.Р(У, р): (4.10.9) Япвр)ех Я!ер. $$едиГгететьг,У = (у„..., у„) !з аззитеН го Ье а Уеаз!Ые Ьаь!з оУ ЬР(У, р) Угас!ад р = 1, 0,У, .У О+ К = Х.
(1) Сотриге йе изссог Б:=А~ 'Ь гчУг!сУг дУгез йе ЬазГс УеаяЫе за!и!Гол х соггезропгУГпд го У, гчЬеге х,:=Ь, 234 4 ауяепзя о( $.!пеаг Еппа6опв (2) Сотри(е Йе гон оес(ог п:= етА тт((еге е, = (О, ..., 1, ..., 0) е И (я Йе (Й соогйта(е пес(ог ГЬг Й . У7е(егт(пе Йе оа!иея с, =па„(( е К. ия(иа и. (3) У(е(егт(пе ге((ейег (4.10.10) с,>0 УогаИГ(ЕКтУ апй с„= 0 Уог аИ Г( е КГУ. (а) УУ' яо, йеп я(ор. ТГ(е Ьая(с Уеая(Ые яо!и((оп х Гя орйта1 Гог ЬР(У, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
