Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ТЬ$в Гпе$$сагев гЬаг Суапвв$ап еЯпнпа6оп абй согпр!еге р$чог ве!есгюп гв папа!!у а вгаЫе ргосевв. 3Эевр$ге й!в, рагба! рвов ве1есбоп Гв ргеГеггед 1п ргасг$се, $ог йе пювг рагЬ Ьесаиве: (1) Соп1р(еге рп ог ве!есгюп !в п1оге сов!!у йап раг6а! ргчос ве!есгюп. (То согпрп!е А", йе пгахппщп !голу апюпЯ (л — и + 1)' е!егпепь пупвг Ье г$еГегпппег$ $пвГеае$ оГ и — Г + 1 е!егпепЬ ав $п раг6а! р1чоГ ве!ессюп.) (2) Ярес$а! вггисгпгев !и а пгагпх, Ье. йе Ьапг$ вггисгпге оГ а гпг$1аЯопа1 гпагпх, аге г)евггоуег$1п согпр!еге рГчог ве!есбоп. !Г йе ччеа$сег ев6гпагев (1.4.11) аге пвед Гпвгеае$ оГ(1.4.7), йеп йе Го!!очч!пц Ьоипг(в гер1асе йове оГ (4.5.5) Гог 1Ье Га: ! !Ла! < рв ХЛц 1!г'! — И Гг > $, Ге>!+1„ ог !г! < -1!Г.(ГУ)$1! — !Ге(], (4.5.9) 1 2 вЬеге ГУ:= 4.6 Коопс1ой' ЕггОгЯ 1$$ Зо1ч1пд Тпапд$$1аг ЗУЯ1Еп$з Ав а гевпЬ оГ арр!у$пЯ Суаивв$ап е1ппГпа6оп Гп Яоа1$пд-ро1пг апгЬгпег$с го йе гпаспх А, а 1оучег гпапдп$аг пуагпх Е апг$ ап иррег гпапЯи!аг гпасг!х ге аге оЬваГпег1 учЬове ргое$псг Ы арргох$пуаге1у ее!па(в А.
Бо(ч$пд йе вугегп Ах Ь !в йегеЬу гег$псех$ го во!чАпд гЬе спапЯп1аг вувгегпв Йу=Ь, Их=у. 197 Гп сЫв вессюп»ге !псгевс!пасе йе !пЯиепсе оГ гоипссоГГеггогв оп йе во!ис!оп оГ виеЬ есрсаПоп вувсепсв. 1Г» е иве у со ссепосе йе во1иПоп оЬса!пес! ив!па с-41!а!с Поас!па-ро!пс аг!сЬгпес!с, йеп йе гСейп!с!оп оГ у Псчев (46.1) У, = П(( — Г„У, — !аУг —" !...У„, + Ьг'ГГгг). е в — .') Г;у, < — ',— — ~~.~(1;)!у;( - )у.! 1 — л ерв ~с ог (463) (Е+ ~сЕ)у = ь, /ГсЕ! < — (!Е)0 — 1). 1 — л ерв ТЬив, йе сопсрисегС во!иПоп сап Ье !псегргесегС ав йе ехаес во1иПоп оГ а вПаЬс1у.сЬапаег! ргоЫепс, вЬо»4пВ йас йе ргосевв оГ во!ипа а сг!алаи!аг вувсепс !в всаЫе. В!псПаг!у, йе сопсрисегс во!иПоп х оГ Кх = у гв ГоипгС со ваПвГу йе Ьоипсс л О (4.6.4) (К + ЛК)х = у, !гхй! <- — (!К~!Е. Ву согпЬсп!пП йе евсипасев (4.5.9), (4.6.3), апгС (4.6.4), » е оЬсасп сЬе ГоПо»- !пВ геви!с (ссие со Яаиссег (1971)) Гог сЬе арргохипасе во!исюп х ргогсиеегс Ьу ПоаПпд-ро!пс агП!ипеПс со йе Ипеаг вувсесп Ах = Ь: (4.6.5) !Ь вЂ” Ах! < — — — !Г./ /К! /х/ Пл ерв <5.
2(л + 1) ерв 1 — л ерв Ркоое. СЗв!пВ сЬе аЬЬгегг!ас!оп г:= ервгг(! — л . ерв), П ГоПо»гв !гого (4.5.9), (4.6.3) апсС (4.6.4) йас !Ь вЂ” Ах! = ~Ь вЂ” (ЙК+ Е)х! = ( — Ех хЕ Ь вЂ” Е(у — ЬК х)! = !( — Е+ ЛГ.(К + ЬК!+ Е ЛК)х( < 4[2( ! Г ! 0 — ! ) ! К ! + ! 1. ( ) К ! Е + 4( ! Г. ! 0 — ! ) ) К ! Е) ( х (. 46 аоппдой' Еггогг гп Бо!чгпа Тггапао!аг Вуиегпа Ргопс (1.4.10), (1.4.11) сс ГоПо»в пппсегПасе!у йас (462) (Ь вЂ” Еу! < -- — — — ()Е(0 — Г)!у(, 0:= 1 — л ерв 1п ойег»огсСв, йеге ех!вгв а пгаСпх г5Е ваг!вГу!пП !у — Кх! <- — )К~Е!х(, Е:= О 1 О 2 О л 198 4 ага!сей ог Г.!пояс ЕсСнас!оаь ТЬе (Ь !с) согпроиеп! оГ йе пга1пх [...1 арреапп8 гп йе!ая! !спе аЬоче Ьая йе Голи аа !.а! ',! ! !и! (2! — 2до -с- и + 1 — Гс + с(7 — д„+ и + 1 — Гс)) ! !уса (, с=! до = (1 Гог !=с, (О Гог !' ф с'. 1! ь еаяс!у чег!Гсес( Гог а!!7' < ппп(с, Гс), 1 < с, Й < л, йа! 2! — 2до + и + 1 — Гс + с(! — д„+ и + 1 — !с) (2и — ! + си с(7' <! < Гс, !2и + с(и + 1) сТ7' < Гс < Ь <2и+ 2, едпсе и еря < —,' ипр!сея!и < 2и еря < 1.
ТЬгя согир!егея йе ргоо1ог(46 5). П А согираггяоп о1(4.6.5) иЬЬ йе геяп1! (4.4.19) с(ие го Оеп11 апа Рга8ег (!964) яЬоюя, Гспа11у, йа! йе сопсригес( яо!игюп х сап Ье сигегргегес( ая йе ехасг яо! и!юп о1а я!с8Ь!!у сЬаищес! ес(па!!оп яуягепу, ргочсс(ес( йа! ГЬе гпагих и !Е! (К ( Ьая йе яагие оп1ег оГгиа8исгис(е ая !,4).1и йа! саяе, сопурибп8 йе яо1иаоп уаа Оаияядаи е!ппспабоп ся а пшпепса!1у я!аЫе а!8оп!Ьги. 4.7 Ог()7одопа!иа(1оп Тес)!п1цие8 о(' Ноп8е)!о1дег апс1 Сугагп-Яс!1гпЫ1 ТЬе гпегЬос(я с(сясияяес( ир !о йгя роси! Гог яо!чсп8 а яуягесп оГ ес!иааопя (4.7.1) Ах = И сопясягес( о1 гии!гср!усп8 (4.7.!) оп йе !еа Ъу арргорпаге гиагпсея Р;, ) = 1, ..., и, яо йа! йе яуягегп оЬгаспес( ая йе Гспа1 ои!согпе, А'"'.х = Ь'"', соиЫ Ье яо1чес( с(!гесс!у.
ТЬе яеиясгсчсгу оГ йе гехи!! х го сЬап8ея гп йе аггауя .46', Ьо' оГ йе спгеппес(саге яуягегия Ао'х = Ь!", (А"', Ь!") = Р (А" ", Ьо и) ! гя 8гчеп Ьу сои!((Асс!) =!иЬ(Ао') 1иЬ((А"') '). 1Г уче с(епосе йе гоми!(оГГ еггог Гпсиггес( !и йе !сипя!!!оп Ггоп! (А" ", Ь" ") го (А"', Ьси) Ьу осу!, йеп йеяе гоипс1о!Т еггогя аге апгр1сйес( 199 аг Опаозопаигаиоп тесзпкрюев ог ноивепо1дег азу Оипг-яспппй Ьу ГЬе Гасвогз сопг!(Аш) ш ГЬегг еГГес! оп ГЬе Йпа1 геы11 х, апг! чче Ьаче '!ах~( -- — < ~ еш сопг!(Аи') 1хТ! 1п ГЬе г!аЬЬЬапг! ехргезяоп аЬоче, вап зГапг!з Гог ГЬе еггог 1и 1Ье 1ш6а1 г!ага А, Ь. !Г1Ьеге гз ап Асз ипгЬ сопг!(Аи')» сопд(Аип), ГЬеп 1Ье зегГиепсе оГ согприга6опв 1з по! пшпепса11у вваЫе: ТЬе гоипгГоГГ еггог вш Ьав а взгопаег гпйиепсе оп ГЬе Йпа! гези11 ГЬап ГЬе 1г66а1 еггог Р'.
Рог ГЬ!в геазоп, й 1з !шрогзапГ Го сЬоове ГЬе Р, во ГЬаГ ГЬе сопйГ!оп пшпЬегв сопй(Аи') гГо пос агоъч. Рог сопг16юп пшпЬегв г!ег!чег$1гогп ап агЬ!!гагу попп 1х1, ГЬаГ !з ййси11 Го до. Рог ГЬе Еис!1йап попп '1х1 = ахах апгГ Ьз зиЬогйпаге шагпх попа хААх 1иЬ(А) = шах х х Ьоюечег, ГЬе сЬо!се оГ !гапзГоппаг!опз !в шоге еая1у шаг!е. Рог 116в геавоп, оп!у ГЬе аЬоче поппв а6!! Ье изей !и ГЬе ргевепг вес6оп. !Г ГГ !в а ипЬагу шагг!х, ГГггГГ = Г, ГЬеп ГЬе аЬоче шагпх попп ваг!зйев 1иЬ(А) = 1иЬ(ГГ" ГГА) < 1иЬ(ГГ") 1иЬ(ГГА) = !иЬ(ГГА) < 1иЬ(ГГ) 1иЪ(А) = 1иЬ(А); Ьепсе 1иЬ(ГГА) = 1иЬ(А), апг! япн!аг1у 1иЬ(А ГГ) = 1иЬ(А).
!п раг6си!аг, Ь Го11оччз ГЬаГ сопг!(А) = 1иЬ(А) 1иЬ(А ') = сопг!(ГГА) Гог ип!Гагу ГГ. 1Г ГЬе ГгапзГоггпаГ!оп шагпсев Р аге сЬозеп Го Ье ип!Гагу, ГЬеп ГЬе сопй6оп пшпЬегз аввос1авег$ илГЬ ГЬе зуззешз А"'х = Ьш г1о по! сЬапце (во ГЬеу сегга!п!у йопЬ аеГ гчогве). ГиггЬеппоге, гЬе шагпсез Рг вЬои16 Ье сЬозеп во ГЬаГ гЬе шагпсев Аса Ъесоше ыпр1ег.
Ав вав виааезвед Ьу НоизеЬо!г!ег, 6нз сап Ье ассошр1гзЬед гп ГЬе Го11очч!па шаппег: ТЬе ипЬагу гпазпх Р !в сЬовеп Го Ье Р = / — 2гчгч", ччЬеге гчгги = 1, гч и С". Т16з шавпх !в Непп!г!ап: Р" = Г" — (2илчи)" = à — 2гчгчи = Р 4 Бтзсес«т от Г.спеаг Е«нас|о«с пш1 агу: Р"Р = РР = Р' = (7 — г ")(1 — г ") = 1 — 2в⫠— 2вв" + 4вв"вв« апс1 йегеуоге 1пчо!аготу: Н 1во чесгогз х, у за11Ыу у = Рх = х — 2(в"х)в, йеп т1 ГоПовз йаг « «Р«Р х"у = х"Рх = (х«Рх)« (4.7.2) (4.7.3) апс1 х"у 1з геаЬ 'чче в1зЬ 1о с1егепп1пе а чесгог в, апс1 1ЬегеЬу Р, зо йа1 а а1чеп х = (х„ ..., х„) гз ггапзтоппес1 тпго а пш!Пр!е оГ 1Ье йгз1 соогеПпаге чесгог е,: тсес = Рх. антош (4.7.2) тг ГоПоъчз тпппееПаге!у 1Ьа1 Ус заПзйез !Ус~~ = )!х1 = х"х апс1, япсе йх«ес пшз1 Ье геа1 ассоггПпц 1о (4.7.3), тс = +ес"ст, «:= т'хттх, Ы х, = е" )х, !.
Непсе, 11 ГоПовз антош Рх = х — 2(в«х)в = ангес апс1 йе гес1шгешеп1 в«в = 1 1Ьа1 х — lсет в= — — — -. '1х — тсет )! Хов, япсе х, = ес")хс ~, тс = — сте", '1х — тсе, !) = '1х+ «ес*ес)! =,,т' х, + еес"! + )хД + "+1х 1 =,/Цхс)+ е)'+ )х,!'+" + ~х„!'. 1п огдег 1Ьа1 по сапсеПа11оп гпау оссиг ш йе сошригаПоп оу )х, ~ + е, ве сЬоозе 1Ье з1ап ш 1Ье с1ейш11оп оГ 1с го Ье гог 4 вуяепа ос С.)ееег Е))еа))епе ссяпр Р, йе гСеяге6 л х и ппПагу шагпх сз сопвСгпсгегС ав =[ Г, О О Р ) е-/») Айег Гоппспа А"' = Р„Аи ", йе е!ешепсз а)») Гог )' ) 7' аге апшЬПасегс, апгС СЬе гоп)в )п (4.7.6) аЬоче сЬе Ьопхопса1 6авЬед 1ше гешаш ппсЬапае)С.
1п й)з «)ау ап пррег спапап1аг шаСпх гв оЪсаспед айег и — 1 зсерв. 1С вЬоп16 Ье поскег(, )иЬеп арр1успа НопвеЬо1дег сгапвГоппаСюпв ш ргас6се, сЬас сЬе 1оса6опв ч ЬкЬ аге веС Со хего ЬепеасЬ сЬе 61ааопа1 оГ АШ сап Ье пеев Со всоге и, «)Ь!сЬ солса)пз сЬе ппрогсапС шГоппаСюп аЬопс сЬе СгапвГоппа6оп Р.
Ноа)ечег, япсе СЬе чесСог и вгЬссЬ Ье1опССв Со Р сопгашв л — 7'+ 1 сошропепсв, вгЬ)1е оп!у и — 7' 1осаСюпв аге вес Ггее ш А"', П св пзпа1 Со зСоге йе 411ааопаС е(еп)епгв оГ А"' сп а верагаСе аггау )Г ш огас Со оЬса)п епопаЬ врасе Гог и. ТЬе СгапвГоппа6оп оГ а шаСпх Ъу Р = à — Давид 3 333 гв сагпегС опс ав ГоПосив: РсА" " = А" " — и у," ъчСЬ у» = 1!си, А" "; )» йас св, йе вессог у) Гв сопсрШег1 Пгвс, апгС йеп Л' ' св ш)хссйед ав шсПсасед.
ТЬе ГоПоъчпа Ассоли ргоагаш сопСашв сЬе еввеп6аЬ оГ сЬе ге6пс6оп оГа геа! шаспх, всогегС ш сЬе аггау а, со СпапапСаг Гопп пяпа НопзеЬоЬГег сгапвГоппасюпв: Гог 7':= 1 ввер 1 пп61 и с!о Ьеасп яуиа '= О; Гог ):= у вгер 1 ппСП и )!о ядл)а:= в)дл)а + а()', Я) г; )Т в)дл)а = О СЬеп аозо в)идисаг; в:=)Щ]:= И а(у', Я ( О йеп вгсгг (яди)а) есле — вцгг (ядл)а); ьега:= Цв х аЦ 7] — в)дл)а); ас),7]:= а(у', Я вЂ” в; Гог Гг:=7'+ 1 всер 1 пп6! и с!о СЬеп )ие деСепшпе СЬе (и — 7+ 1) х (л — 7'+ 1) пшгагу псаСпх Р, ассоггСспа со (4.7.5) во сЬас 4 Вуе|егоь о| 1.|оеаг Ее|оа||опе йе сапой||риз г/,"Ь„= 0 !еаг! иип|есйа|е!у |о (4.7.9) «,»:= г/, а„, | = 1, ..., /г — 1.
Айег «а, |' < /г — 1, апд йегеЪу Ь„Ьаче Ьееп оегегпниео, йе |1иап1111ев (4.7.10) «ц,:= //Ь„!!, г/е:= Ь,/«,„, аге согиригео, во йа| (4.7.8) 1з ег!шча(еп1 1о а, = ',| «гег/г, |=| апд |погеочег (! Гог г =/, (О ойепчье Гог а!! 1 < |, / < /г. Аз 81чеп аЪоче, йе а18оп1Ьт Ьаз а зепоов г(1ваг(чапга8е: и |в по1 пшпег|са!!у з|аЫе |Гйе со1шппз оГйе п|а|пх А аге пеаг1у 1|пеаг1у |1ереп|1еп|.!п й|в сазе |Ье чес|ог Ь„, тчЬ!сЬ гв оЬ1а|пе|1 Гго|п 1Ье Гогпш!ав (4.7.8), (4.7.9) 1пвгеао оГ йе чес|ог Ь„(1!се |о йе |пйиепсе оГ гоипдой еггогз), 1з по!опйег огйо8опа! 1о |Ле чес|огз д,, ..., г/„,. ТЬе в!щЬ|ев1 гоипг!о!Геггог |псигге|1 1и |Ье оегегпипаг(оп оГ йе «ц, |п (4.7.9) г!аз!гоуз ог|Ьойопа!|гуго а 8«еагег ог!езвег ех|еп|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
