Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ак гк ччей !гпогчп дег(А). а„= де! а22 . а2л а2 ". алл~ =[ А= [ а;„и ... а;„;1 алл, ... аоа~ 182 4 $узззтз ог $.'визг Ее»алоиз Ву зЬе зпдвсзюп авяипрззоп, Ьочзечег -([ ) 0, азз ". аз. а„з ... а апг1 Ьепсе з1ез(А) > О Го!1озчь Ггопз лз з > О (Ь!озе зЬаз!» = 1 ь лог гег!шгегЕ) Ркоог. ТЬе зЬеогезп зз еззаЫззЬез1 Ьу 1пг1псВоп оп и.
Рог и = 1 йе йеогепз ь згзчза!: А рояВчег1ейппе 1 х 1гпазпх А = (м) ь а рояВче пшпЬег х > О„ аЬзсЬ сап Ъе зчгзггеп ппп1ие!у зп йе 1опп х=! ! . 1)=+~а Азаппзе йаз йе зЬеогепз 'зз згие Гог роябче дейл!ге пзазгзсев оГогдег и — 1. Ап и х и рояВче гГеузп11е гпазг1х А сап Ье рагззззопед зпзо зчЬеге Ь е С" ' апг1 А„, ы а рояле з!ейпззе гпазпх оГ огз!ег л — 1 Ьу (4.3.2). Ву йе зпдисззоп Ьуройеяя йеге ь а ипп1пе зпазг1х Е„, оГогдег и — 1 ха!езГузп8 А„, = Е„,Е»,, !и = О Гог Гг > Е !» > О.
'зззе сопядег а гпазпх Е оГ зЬе Гопп о) апг1 згу зо з1езегзпзпе с е С" ', м > О ьо зЬаз »33.» (";, ' %! ТЬзь зпеапз йаг зче пшаг Ьаче Е„,с = Ь, с'зс+ а~ = а„„, х > О. ТЬе Йгзз егрзаВоп пшя Ьаче а пппупе во1пВоп с = Е„, Ь, япсе 1.„,, аз а згзап8п!аг пзазпх зчззЬ рояле сВа8опа! ел!пей, Ьав дез(Е„з) > О. Аь Гог йе весела егрзазюп, зТ с" с > а„„(зЬаз 1я аз < О), зЬеп Ггопз (4.3.1) зче зчоп16 Ьаче а сои!газ(зс1зоп зчзй аз > О, з»ЬзсЬ Го!!озчх Ггозп Йез(А) = !з1е1(Е„з)!зиз, (4.3.3) ТЬеогепз. Рог еасЬ и х и роя!!»е гГфзз!ге тагз Гх А г!зез'е !х а изз!дие и х и !ои ег гпазздзз!аг лзагз Гг 1.
(!и = О Гог lг > з) зч!г!з !» > О, з' = 1, 2,..., и, за!!»ГуГззд А = ЕЕ". (/ А !а ге»1, зо гх Е. 1З3 44 Еггог ВогггггСь с)ес(А) > О (4.3.2), апг) гсес(Е„г) > О. ТЬегеГоге, Ггоги (4.3.4), йеге ехгвсв ехасс!у опе м > О р«Апд ГЕ" = А, иагие)у м=+ Га„„вЂ” с с. П ТЬе с)есотров!С)ои А = ЕЕгг сап Ье ссегегпппес) ги а гиаппег сАпи!аг Со йе гпесЬог)в рчеп )и Бесс!оп 4.1. 1Г и гв аввшпед сЬас аП !а аге Гсио«и Гог ! < )г — 1, йеи ав ссейп(па ессиассопв 1ог Г„„апг) !и, г' > Гг + 1, «е Ьаче ага = 1 !г г ~ + 1 Ггг ! + ' ' ' + ! !и ) !и > О, (4.3.5) ав = !г!гг+!г!гг+'' +1 !и.
Ггот А = ЕЕгг. Гог а геа) А, йе ГоПо«чиа а!аог!СЬги геви!ии Гог г':= 1 всер 1 ипсП и с)о Гог у':= г' всер 1 ипсН гг По Ьерп х г= а[г, Я; Гог Гг:= г' — 1 всер — 1 ипсП 1 с)о х:=л — а[~', Гг] х а[г, Гг]; !Г г' = /' йеп Ьерп сТ х < О йеп Поги Гаг); ри:= 1)вг)гг (х) еис) е)ве а[)г]:=х х рИ епг) Е /; Ь)осе сЬас оп!у йе иррег спапаи1аг рогПоп оГ А )в ивесс. ТЬе 1о~чег спапрПаг гпаспх Ь )в всогес) ш сЬе 1оччег спапрг!аг рогПоп оГ А, «гссЬ сЬе ехсерПоп ог сЬе с))ааопа! е1егпепсв оГ Ь, «гЬове гес)ргоса!в аге всогес) Ги р. ТЬ)в гпесЬог) гв с)ие со СЬо1евсгу. Оиппа йе соигве оГ йе согприсаПоп, и вгсиаге гоосв пшвс Ье са)сеп. ТЬеогегп (4.3.3) аввигев ив сЬаг сЬе агрипепсв оГ йеве вс)иаге гоосв «ПП Ье ровсссче.
АЬоис и'/б орегаПопв (пш!с(рПсассопв апг( асЫ)с)опв) аге пеег)ес) Ьеуопсс сЬе и вссиаге гоога гигсЬег виЬвсапПа1 вач)прв аге роввГЬ(е Гог врагве шаспсев, все БесПоп 4.А. гспаПу, поте ав ап ииропапс ипр!ссаПоп оГ(4.3.5) йас (4.3.6) !1,,( < 'адд, Г= 1, ..., /г, /г = 1, ..., и. ТЬас Гв, сЬе е!егпепсв оГ Г. сапиос агосч соо 1агае. 4.4 Еггог ВоссгкЬ 11 апу опе оГ йе гиесЬогсв гсевспЪесс Ги йе ргеч)оив весПопв ь ивесс со гсесегги)пе йе во1«Поп оГ а Ппеаг ег)пас!оп вувсеги Ал = Ь, сЬеп ги аеиега) оп(у ап арргохииаПоп х со йе сгие во)«Поп х Ь оЬса!пес), апг) йеге агЬев 184 4 $увгеага оГ Е|аоаг Ег!наг!оаа !Ье г1иея)оп оГ Ьотч гЬе ассигасу оГх га)иг!Вег!.
!п огг!ег!о гпеавиге !Ье еггог — т гче Ьаче го Ьаче гЬе гиеапь оГ гиеавиг(п8 йе "яке" оГ а чесгог. То г!о гЬ!к, а (4.4.1) попа: '!'х)! га гп1гое(исед оп С"; йа! (я а Гипс!(оп 1~ !1: ~"-(2 гчЬ!сЬ аая8пв го еасЬ чесгог х е С" а геа! ча1ие ))х! вегч1п8 ав а гпеавиге Гог йе "ыге" оГ.т. ТЬе Гипс!гоп гпия Ьаче гЬе ГоПогчзпц ргорегпея (4.4.2) (а) !.т/! > О Гог аП .т е С", .т + О (роякгиггу), (Ь) !/мт!! = ! м ! !1т!! Гог аП м е С, .т е С" (Ьогподепепу), (с) /1т + у/! < !!х!! + !у! Гог аП х, у е С" (гггаггд(е шециа!ггу).
!и гЬе ГоПоги!п8 гие иае оп!у гЬе попив н !)т!г:= ггхпх = / 2' !.тг)~ (Еис!ггГгагг ггогт), (4.4.3) = г !1т!! „:= гпах1.т, ! (лгахГлгилг ггоглг). ТЬе попп ргорег!!еа (а), (Ь), (с) аге еая1у чег(Пег!. Рог еасЬ попп )! )! йе (пег!иаПгу (4.4.4) !х — у) > )))х!) — ((у) ) Гог аП.т, у е С" Ьо!сЬ. Ргопг (4.4.2с) и ГоПогчв гЬа! 1~ ! = )( — у)+у~~ < !х — у)!+ )(у), апд сопкециеп!1у !х — у)! > !х!) — '!у)!.
Ву !п!егсЬап81п8 йе го!еь оГ.т апд у апг! иагп8 (4.4.2Ь), П ГоПогиа гЬа! )1т — у(! = '!у — .т)! > !у)! — '!х), апд Ьепсе (4.4,4). !г еа еаву го еяаЫ!вЬ 1Ье ГоПотч(п8: (4.4.5) ТЬеогегп. ЕасЬ пегги )!. )! оп 12" (ог С") га а игггТогт!у сопглгиоих Гиггсгюп ипй геересг го йе те!где р(х, у) = гпах; 1х; — у; ) ол Й" (С"). Ркоое. Египет (4.4.4) Ь ГоПогча гЬа! !!1х+ М вЂ” !1!!! < ~!Ч. 186 4 ауяопе оз 1Зоеаг Ециаоооз Егез)пепз!у паез! зпазпх поппе аге !)А)1 = тах ',з )аа! з=з и~ = ( к ~;.г) ' '1А)! = тах )аза). (гов-япп попп), (4.4.7а) (4.4.7Ь) (ЯсЬпг попп), (4.4.7с) (а) апВ (Ь) аге хпЪзпп!1)р!зсаззче; (с) зх поз; (Ь) )а сопхопепз впЬ зЬе Епс!1- Йап чесзог попп. Сзчеп а чесзог попп !1т!/, а соггехропг)зп8 пзазпх погпз Гог ьг)саге гпазг4сея йе хиЬогз)иаге тагггт погт, сап Ье дейпег) Ьу (4.4.8) 1пЬ(А):= тах— !)А.т)! о Тй БпсЬ а гпагпх поггп за сопх)хзепз в)зЬ йе чесзог попп 1' )! саед зо тейпе Ь: (4.4.9) !)Ах)1 < 1пЬ(А) !)х)1.
ОЬчзопх!у 1пЪ(А) за йе япаПехз оГ а11 оГ зЬе гпазпх погта !!А!! вЬзсЬ аге сопяхзепз в)зЬ йе чесзог попп !/.т!!: '!Ах)! < !!А!) !/х!! Гог а!! х ~ 1пЬ(А) < !)А!!. ЕасЬ хпЬогз)зпа)е попп!пЬ( ) )х язЪпш111р!зсаз)че: !!АВт!! !/А(ВтИ !!Вт!! 1пЬ(АВ) = зпах -- —, — = тах— ).'), „., )~В.'1 < тах — - тах — -' — = 1пЬ(А) 1пЬ(В) '! Ау! )) В.т!) Ы .*. 11т1Г Ехамгса (а) Еог йе пзахппшп погт !)х))„= зпах,, )х,.) зЬе аиЬогдзпазе тазпх погт за зЬе гов-ашп погт 1иЬ„(А) = тах - "= тах - .
' - = тах ~ )азз~. '!Ах)„)тах,)~з,=з апх„)( * о )х) . о) таха)хз) (Ь) Аыосзазез) вЬЬ зЬе Еис1Ызап погт '!х!з = Гхах вс Ьаче йе апЬогз)гаазе тазпх попо !ххаАИАх 1пЬз(А) = тах ( — „= чй,„(А" А), „ао З)( х"х апг) Гпгйегтоге 1пЬ(!) = зпах„о '!!хД.т)! = 1. (4.4.9) зЬовь йаг!пЬ(А) за йе 8геагеаг гпа8п!Гзсаг)оп вЬзсЬ а чесгог зпау апа!и ппг)ег йе пзаррзп8 з!езегпипез) Ьу А:!з хЬова Ьов пзпсЬ ! Ах!/, йе попп оГ ап ппа8е розог, сап ехсеед )1т!!, йе попо оГ а хопгсе розпз. 187 44 Еггог Всосав вьгсЬ Ь ехргеввед ги гепив о)' гье!агаевг е)аеича!ие 1,„(А" А) оГ гье изагг1х А"А.
%)гЬ геаагд ю гЬЬ игагг!х оопп, ве иове гьа! )иь(Ц = 1 (4.4.10) Гог иийагу гиагпссв Гг', йаг Ь, Гог ига~с!сев дейиед Ьу С/" ГУ = Ь Гп йе Гойовгпй ве аввшие йаг ||х|| !в ап агЬг!гагу чесгог попп апд ||А || Ь а сопявгепг виЬпш11!рйсайче гпагпх попи. прес!йсайу, ве сап а1ваув Га1се йе виЬоггйпаве попп!иЬ(А) ав ||А|| П ве вапГ го оЬГа1п раг1!сваг!у Поод евгппагев !и йе геви!вв Ье1ов. 1че вЬай вЬов Ьов попив сап Ье ивед го Ьоипд йе !пйиепсе дие 1о сьапйев гп А апд Ь оп йе во!ийоп х го а Ппеаг ег)иаг!оп вуяет !Г йе во!ийоп х + Лх соггевропдв го 1Ье пйьг-Ьапд яде Ь + Ль, А(х + Лл') = Ь + ЛЬ, йеп йе ге!а1юп Лх=А 'ЛЬ Гойовв Ггот А Лл = ЛЬ, ав доев гье Ьоипд (4.4.12) 1иЬ(Г) = 1 <!иЬ(А) 1иЬ(А ') < ||А|| ||А '|| = сопд(А). ТЬе ге1агюп (4.4,11) сап Ъе шгегргегед ав Гойовв: 1Г х !в ап арргохппаге во!игюп го Ах = Ь лчЬЬ гевЫиа! г(х) = Ь вЂ” Ах = А(х — х), йеп .х !в гЬе ехасг во1ийоп оГ Ах = Ь вЂ” г(х), апд йе еяииаге (4.4.13) ||Лх|| < ||А '|| ||г(х)|| шивг ЬоЫ Гог йе еггог Лх = х — х.
(4.4.1 1) ||Лх|| < ||А '|| ||ЛЬ||. гог гЬе ге!айче сйапйе ||Лх||Г||х||, гйе Ьоипг) ||Лх||, ||ЛЬ|| ||ЛЬ!| ||Ь!| ||Ь!| . — — < ||А|| ||А '||- — = сопд(А) —— Гойовв Ггогп ||Ь!| = ||Ах|| < ||А|| ||х||. 1п йгв еввипаге, сопг!(А):= ||А|| ||А '||. гог йе вресга1 саве!Ьав сопд(А):=!иЬ(А) 1иЪ(А '), йгв восайед соадгггоп оГ А !в а гпеавиге оГ йе вепяйигу оГ йе ге)аггче еггог гп йе во!ийоп го сьапйев !и йе п8Ьг-Ьапд вЫе Ь. Пйпсе АА ' = 1, сопд(А) ваггвйев 188 4 йуггетг пГ Ьгпеаг Еггпаг!ппг !т!ехЬ гп огйег го гпуеаг!8аге гЬе гпйиепсе оГсЬап8ех гп гЬе гпагпх А проп гЬе хо!о!гоп .т оГ Ах = Ь, ве ехгаЫгхЬ гЬе Го!!ов!п8 (4.4.14) Г егпгпгв.
Ц' Е га ан и х и тагг1 т вггЬ !) Е/! < 1, ГЬегг (1 + Е) ' ехгагх аггг( юаггфез 1 !Н1+ Е) '1~ -, ))Е(). Рвюя Егогп (4.4.4) гЬе гпег!иа(ггу ) (1 + Е)х)! = ) х + Ех)! > )(х)! — ) Ех(! > (1 — )Е)!)((х)! Го!!овк Гог а11 .т. Егогп 1 — ) Е)! > О гг Го!!овь ГЬа! !)(1 + Е)х(! > О !Г х в О; гьаг гя (1+ е)т = О ьаь оп!у гье !пега! хо!пг!оп х = О, апг( 1+ е !к попяп8и!аг. Бяп8 ГЬе аЬЬгечгаВоп С:= (1 + Е) ', й Го!1овк гЬаг 1 = ~)1)! = )~(1 + Е)С)! = ) С+ ЕС(! > ) С!) — ()С!) )(Е! = '1С'1(1 — !)Е'1) > О, Ггогп вЬгсЬ ве Ьате 1Ье деягей гехп!Г 1 ~!(1+ Е) '~! < — — —.
1 — М' тйге сап пов ьЬов: (4.4.15) Пгеогепг. Г.ег А Ье а ггоггхгггагг1аг л х л тагг'.к, В= А(1+ Е), '1 Е) < 1, аггг( т аггг( Лт Ье г! фггей Ьу А т = Ь, В(т + Лх) = Ь, 1г Го1!овь гЬаг Р'~! Ю~ - < —— !1т!1 1 — ~1П ' ах пей ах '1г!гх!) сопд(А) ~) — А)! Ы 1 — сопд(А ) '1 — А!) ()А)! '1 А)! г1'сонг((А) ) — А!И!А(! < 1. Ркооя В ' ехгяа Ггогп (4.4.14), апг( Лх= В 'Ь вЂ” А 'Ь= В '(А — В)А 'Ь, х= А 'Ь, — '- < )В-г(А — ВИ = ))-(1+ Е)-гА-гАЕ)! 1~И 1~- !Г < ))(1+ Е) г )) Я < И! 189 4.4 Еггог Воцпая %псе Г = А '( — А) апгГ !!р!! < /!А '!! !!А!! !! — АДА!!, йе геаГ оГйе йеогеги ГоПоея П Ассогг11п8 го ТЬеогеги (4.4.15), сопгГ(А) а1ьо шеаапгеь йе ьепя6гАгу оГ йе ао!п11оп х оГ Ах = Ь Го сЬап8еа ш йе шаГпх А.
1Г йе ге!абсид С=(!+Е) '=В 'А, Г=А ' — Г аге гаГгеп шго ассоппЬ и ГоПоаа Ггогп (4.4.14) ГЬаг 1 1 — !!à — А 'В!! Ву шгегсЬап81п8 А апгГ В, 11 ГоПоаь 1иппесПаге!у Ггоги А ' = А 'ВВ ' ГЬаг !!А-'!! !!А-'В!! !!В-'!! < 1 — !!à — В 'А!! ' 1п рагбсп1аг, йе геягГиа1 еь11шаге (4.4.13) 1еаба го ГЬе ЬоипгГ (4,4.17) !!х — х!! < - — -,— !!г(л)!!, г(х) = Ь вЂ” А.лл !!в-'!! 1 — !!à — В-'А!! вЬеге В ' га ап арргохипа1е шаегье го А сбй !!à — В 'А!! < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
