Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1п оп1ег со бег!че ап ехггаро!абоп шегЬогГ Гог а а!чеп гГ!зсгег!га6оп гпегЬод, ч~е зе1есг а зегГнепсе оГ Яер 1епаГЬз Т = [Ьо Ьг Ьт 4 "о > "г > Ьг » ''" О 146 3 торчи !и гигеягаг!ои апг( са!сп!аге йе соггеяропг(!па арргохппате яо!пгюпя Т(Ъ;),! = О, 1, 2, Рог ! > Гг, |че 1пггог(псе йе "ро!упоппа!я" Та(Ъ)=Ъ +Ъ Ъ" +..
+Ъ„Ъ", Гог ччЬ(сЬ Та(Ъг) = Т(Ъг), 1 =! — Гг, ! — Гг + 1, ..., Ь апг( тче сопя(г(ег гЬе ча1пев Т,„:= Та(О) ая арргохппаг(опв го йе т(ея!гег( ча1ие ти. Каг!опа! 6|псВопя Та(Ъ) аге Ггег(пепг!у ргеГегге|1 очег ро!упоппа!я. А!во йе ехропепгя у, пеев пот Ье паеаег 1яее Вп!ГгясЬ апг( В!пег (1964)]. Рог йе Го!1огч(па г(!яспяя(оп оГ |Ье гВясгеВхаВоп еггогя, |че |ч(!1 авяшпе ГЬаг йе Тг(Ъ) аге ро!упоппа1я |чЬЬ ехропепвя оГ йе Гопп у, = lгу.
КошЬега зпгеагагюп (яее арест!оп 3.4) !я а ярес|а! саяе чч!1Ь у = 2. Юе ъч1!! пяе тЬе аЬЬгеч1агюпя г:=К т,:=Ъ!, Г=О, 1, ...,ги. Арр!у!па 1.аагапае'я |пгегро!аВоп Гогпш!а (2.1.1.3) го гЬе ро1упоппа! Та(Ъ) = Ра(г) = Ъи+ Ъ|т+ Ътт~+" + Ъ„т" у!е1<Ь Гог г = 0 Та = Ра(0) = ',Г фРа(тг) = ',г фТ(Ъг) |и!й с'„",:= г — гв ТЬеп |Г т = 0 (3.5.2) ,'| с)игг =, 0 1Г т = 1, 2, ..., Гг, |=~ — | (!( — 1)"г; „г; „|г ... г; 1(т = lт+ 1. Ркоог. ТЬе Г.аагапае соеГГ|с!епгя сф дерепд оп!у оп йе япррогт аЬяс!яяая тг ап|1 пог оп йе Гппсгюпя го Ье !пгегро!агет(, Бе!есВпд 1Ье ро!упоппа!я К ! = О, 1, ..., Гг, Г.аагапае'я !птегро!аВоп Гогпш1а а(чея йегеГоге ! П вЂ ' — =', ! = О, ..., Й.
тг — т„ Рог г = О, а!1 Ьш йе!аяг опе оГ йе ге!абопя (3.5.2) Го!!о|ч. 149 3.5 АЬо|п Ехггаро!аг!оп Мегпсдв ехрап|Поп оГ йе !гарево!г(а! яши (3.4.1) ог йе сеп|га1 г(!ГЕегепсе сЕио!!еп! г(ьсияяег! !и й|я яесПоп. ТЬе !огиш!а (3.5.6) яЬохчя Еигйегшоге йа| |Ье я!8п оЕ йе еггог геп|а!пя сопя|ап! Гог Пхе|$ Гт < |и ап|! яиЕПс!еп!!у !аг8е |' ргочЫег( т„, ге О.
Аг(чап!аКе сап Ье га$|еп оЕ |Ьья Гас| !и йе п|апу саяея !и гчЬ!сЬ (3.5.7) О<!' с = <Ь" < — т ! Гг» 1 )Та — тс! Ггг „2 !Е хче ри1 Ца:=2Т;,, — Т|, йеп ЕУа — 'гс = 2(Т; | е — тс) — (Та — то). гог я:= я!83|(Т; 㠄— тс) = я!8п(Тс, — тс), хче Ьаче я(ГУа — тс) = 2!Тек+| — то! — !Та — то~ = — !Т| — то! < О. ТЬия ГГа сопчег8ея пюпо|ошсаПу |о тс Гог | — со а| гои8ЬЕу |Ье яаше гаге ая Та Ъи| 1гот йе орро|П|е г!!тес!!оп, яо йа! ечеп|иаПу Та апг( ГГа гчП! !пс)иг(е |Ье 1ши| тс Ъе|чеееп йеш.
ТЬ|я оЬяегча|юп у!е!г(я а сопчешеп| я!орр!и8 сг!1егюп. Ехлмчся. ТЬс схас| ча1пс оГ йс |п|с8га! 5(е" — 2) 'ет" соя х Их о ь 1. !3я!п8 |Ьс ро!упопиа1 сх|гаро!аиоп |пс|Ьсд оГКо|пЬсг8, апд саггу!п8 12 д!8!гя, ис о!па|и Гог Т;„, Гlа,О < | < 6, 0 < 8 < 3, йс ча!пся 8!чсп |п йе Го!!огч1п8 |аЫе. Т; т„ г и 0 !.263 699 60! 26 ! 1.126 402 735 23 1.080 637 113 22 2 !.036 478 224 98 1.006 503 388 23 3 1.009 442 404 7! 1.000 430 464 62 4 !.002 38! 058 56 1.000 027 276 51 5 !.000 596 547 58 1.000 001 7!О 58 6 !.000 149 217 14 1.000 000 107 00 1.001 561 139 90 !.000 025 603 04 1.000 000 397 30 1.000 000 006!9 1.000 000 000 09 1,000 001 229 44 0.999 999 997 211 0.999 999 999 978 ! .000 000 000 00 0 0.185 755 068 924 1 0.724 727 335 089 2 0.925 565 035 158 3 0.98! 021 630 069 4 0.995 232 017 388 5 0.998 806 537 974 6 0.999 701 542 775 0.904 384 757 145 0.992 510 935 182 0.998 386 013 717 0999 507 !6! 706 0.999 973 576 808 0.999 998 776 222 0.999 968 8!3 161 0.999 999 589 925 1.000 000 002 83 0.999 998 044 836 0.999 999 993 614 1.000 000 000 02 0.999 999 877 709 0.999 999 999 90! !.000 000 000 00 151 Хб баоьч!ап )птвгааоп Меолх3ь гЬе 1гпеаг зрасе оГ аП ро!упоппа!з ччЬозе г)ецгее г)оез по! ехсеег) /.
1п аг)61- Поп, чче г)ейпе йе вса1аг ргог)пс! .ь (Г; д):= ~ оь(х)/'(х)д(х)!Гх 'а оп йе Ипеаг зрасе Г~[а, Ь) оГ аП Гипс!)опз Гог ччЬ!сЬ йе !игедга! ь (/;/') = ~ аь(х)(/'(х)) !Гх гз ччеП г)ейпед апг) Пп)ге. ТЬе Гппсбопв /; д е Гз[а, Ь1 аге саПег) оггЬоаопа! П' (/; д) = О. ТЬе ГоПочч!пП гЬеогегп езгаЫ!вЬез гЬе ех!в!елее оГ а зег)пепсе оГ ппапаПу оггЬодопа! ро1упоппа1в, йе зувгеп! оГ огйодола1 ро!улолиаЬ аззос!а!ей чпгЬ йе чче!ПЬг Гипс!!оп иь(х). (3.6.3) ТЪеогеггх ТЬеге ех)зг ро!улот)а!в р; я П;, ! = О, 1, 2, ..., висЬ йаг (3.6.4) (р;, р„) = О /ог !' ф Гс.
ТЬеве ро!упот!аЬ аге ипгдие!у !ГеЯпеьГ Ьу йе гесигв!опв (3.6.5а) ро(х) = 1, (3.6.5Ъ) Р!„(х) т (х — д;,)Р;(х) — Уьч, Р;,(х) /ог ! ) О, ьчЬеге р,(х) ге О ат!' (З.б.ба) д;ч,:= (хр;, р;)/(р;, р;) /ог ! ) О, (3 66Ь) т )(ро р;)/(р, „р;,) /ог !> 1. Ркоог. ТЬе ро1упоппа!з сап Ье сопвггпсгег) геспгв!че)у Ьу а гесЬпщпе )гпоччп аз бгагп — БсЬт!г(г аггЬодопаПгаг!оп. С!еаг!у ро(х) ге 1.
Япррове йеп, зз ап пм)побои Ьуройеяв, йа! аП огГЬоаопа1 ро1упоппа!в 3ч!)Ь йе аЬоче ргорегбез Ьаче Ъееп сопзггпсгег) Гог /< ! апб Ьаче Ьееп вЬоччп го Ье иищпе. )Ь!е ргосеег( го вЬочч йа! йеге ех!згв а ипщпе ро1упоппа1 р„, е П,„~й (3.6.7) (р;ч „рг) = О Гог ! < ь, ап!Г йа! йьв ро1упоппа! вабвйев (3.6.5Ь). Апу ро1упоппа1 р, „, е П, „сап Ье тппеп ппщпе!у )и йе Гоггп р;ч,(х) т (х — д;ч,)р;(х) + с;,р;.,(х)+ е; зр! ь(х) + ". + соре(х), ' чр, аеооьеь те ро!упоппа! е!й ча!оьь хр,.(х) Гог а)! х. 152 3 Тор!я Гп 1тевгаиое Ьесапве !Гв 1еадИп8 соеГИс!епг апд !Иове оГ йе ро!упоппа!в р;, 1 < 1, Ьаче ча1пе 1. 8!псе (рд, рд) = О Еог аИ 1', lг < 1 адй у + Ь, (367) Ьо1дв 1Г апд оп! у !Г (368а) (р,е„р) = (хр„р,) — О; д(р;, р) = О, (368Ь) (р,,„р,,)=(хр, „р,)+с;,(р; „рд,)=0 Гог1< Ь ТЬе сопгИИоп (3.6.1с) — адй рд апд рд „гезресИче1у, !и йе го1е оЕ йе поппе8аИче РоЕУпоппа! в — гп1ев оп! (Р„Р;) = О апд (Р, „Рд,) = О !ог 1 < 1 < Ь ТЬегеЕоге, йе ецпаг!опв (3.6.8) сап Ье во!чед пиИЕпе!у.
(3.6.8а) 8!чез (З.б.ба). Ву йе !пг1псбоп Ьуройеяз, рд(х) = (х — Ь;)р,,(х) — удр; д(х) Гог1 < д. Ргош й!в, Ьуво!гдп8 Гог хр;,(х), юе Ьаче (хр, „р,.) = (р;, р,) Гог 1 < д, во ЕЬаг (Р., р,.) ! — уд Еог( = 1, (Рд-д Рд-д) ! О Гог 1'< 1, !п ч!ечч оЕ (3.6.8). ТЬпв (3.6.5Ь) Ьаз Ьееп езгаЫ!зЬед Гог 1+ 1. П Ечегу ро1упоппа1 р е П„!з с!еаг!у гергевепдаЫе аз а Ипеаг согпЪ!папоп оГ ГЬе огГЬо8опа1 ро1упоппа!в р,, 1 < Ь. %е ЕЬпз Ьаче: (3.6.9) Согойагу. (р, р„) = О Гог аИ р е П„ (3610) ТЬеогпгд. ТЬе гоогв х;,1 = 1, ..., и, о(р„аге геа1 апдв!тр!е. ТЬеу аИ Ие 1л гбе ореп тгегиа! (а, Ь). Ркоог.
Сопядег йозе гоо1в оГ р„ччЬ!сЬ Ие ш (а, Ь) апд ччЫсЬ аге оЕ одд пш11!рИс!Еу, йаГ !з, ад вЫсЬ р„сЬап8ез я8п: а<х,« х,<Ь. ТЬе ро!упоппа! 9(х):= П (х — х;) е П, д=д !з вись йаг йе ро1упоппа! Р„(х)де(х) доев по! сьап8е я8п !и [а, ь) во йаг (р„, д1) = ! со(х)р„(х)д(х) д)х ~ О 'О Ьу (3.6.1с). Т1шв де8гее(ц) = ! = и пшзг Ьо!д, ав огЬепч!ве (р„, д1) = О Ъу СогоИагу (3.6.9). П 153 3.6 Оаняиап !пГеятааоп Ме1Ьойя !ч!ехг ве Ьаче йе (3.6.11) ТЬеогет. ТЬе и х п таггтх Ре(гт) " Ре(г.) Ь попе!пди!аг Гог тигиа!!у гГГягГпсг агдитепгя г„! = 1, ..., п.
Раоог. Аяяшпе А гя гбпцп1аг. ТЬеп йеге !я а гов чесгог с' = (се, ..., с„,) ~ 0 абй с А = О. ТЬе ро!упоппа1 л — 1 ц(х):т ,'Г с;р;(х), г=о в!ГЬ гГецгее(р) < и, Ьая йе п йяг!пег гоогя г„..., г„апгГ пшяг чашяЬ н)еп6саПу. 1.ег ! Ье гЬе !агаеяг !пгГех вгй с, яЯ О. ТЬеп 1 ! — г р,(х) = — — 2 с;р,(х). С! ~еп ТЬеогет (3.6.11) яЬовя гЬаг йе !пгегро!а!гоп ргоЫегп оГ йпгГ!пд а Гыпсгюп оГйе Гопп р(х) га ~> с;р;(х) г=о в!1Ь р(г ) = Я,! = 1, ..., п гя а!вауя ппщпе1у яо!чаЫе. ТЬе сопг1!г!оп оГйе йеогет тя !сповп ая гЬе Нааг сот!!г!оп.
Апу яег!пепсе оГ Гппсбопя ре, р„... вЫсЬ яаг!яГу йе Нааг сопб!г!оп 1я яа1гГ го Гопп а СЬеЬуябес яуягет. ТЬеогет (3.6.11) я!атея йаг яег!пепсея оГ оггЬодопа! ро1упоппа1я аге СЬеЬуяЬеч яуягегпя. Ь!ов ве аттгче аг йе тпагп геяп11 оГ гЬгя яес6оп.
(3.6.12) ТЬеогегп. (а) 1.ег х,, ..., х„Ье гЬе гоогя о(!бе пй оггбодопа! Ро1упот!а! Р„(х), атГ !ег и „..., в„Ье йе яо!иг!ол оГ йе (попе!пди1аг) яуягет оГ ециагГопя !(Ро ° Ро) (О !Г Гт = 1, 2, ..., и — 1. ТЬеп и, > ОГог ! = 1, 2, ..., и, ат( (3.6.14) ( то(х)р(х) г(х = ',>" в;р(х;) (3.6.13) ТЬгя !я а сопггаг1!сг!оп, гбпсе гЬе ро1упоппа! го йе г!дЬг Ьая а !овег гГедгее йап рт е По П 154 ! Тор!ел!и !тех!аппп Ьо!!Гз /ог аП ро1упот!а1з р е Пз„!. ТЬе роыггое питЬегз в; аге саПег! "ве1дЬгз." (Ь) Сопсегзе!у, !/йе питЬегз и !, х;,! = 1, ..., п, аге зисЬ йаг (3.6.14) ЬоЫз /ог аП р а Пз„„гЬеп йе х! аге йе гоогз о/р„ат1 йе ве1дЫз и, загиГу (3.6.13). (с) 11 гз пог розз1Ые ьо фт! питЬегз х;, в!,! = 1, ..., п, зисЬ йаг (3.6.14) ЬоЫз /ог аП ро(упот1а!з р е Пз„.
Ркоог. Ву ТЬеогегп (3.6.10), йе гоогз х„1= 1, ..., п, оГ р„аге геа! апй пипиаНу сПзбпсг пипйегз гп йе ореп !пгегча! (а, Ь). ТЬе пгагпх ре(х!) ... ре(х„) (3.6.15) р„ ,(х,) ... р„ ,(х„) гз попыпаи!аг Ьу ТЬеогегп (3.6.11), зо йаг гЬе зузгегп оГ ег)иабопз (3.6.13) Ьаз а ипщне зо!ибоп. Сопя!(ег ап агЪлггагу ро1упопиа! р е Пз, ! !г сап Ье вглггеп ьп йе Гопп (3.6.16) р(х) ьа р„(х)а(х) + г(х), вЬеге д, г аге ро1упопиа!з !и П„„вЬ!сЬ лче сап ехргезз аз Ппеаг сотЬ|па- г!опз оГ оггЬоцопа) ро1упопиаЬ л — ! а(х) ее ,'! млрл(х), г(х) т ,'! Плрл(х). %псе ре(х) = 1, П ГоПовз Ггоп! (3.6.16) апг( СогоПагу (3.6.9) йаг ,ь (х)р(х) ь(х = (р.
9) + (г ре) = Рь(ре, ре). 'л Оп йе ойег Ьапл), Ьу (3.6.16) (япсе р„(х;) = О] апг( Ьу (3.6.13), л Н л — 1 / л ,! в!р(х;) = л! в!г(х!) = л! Дл( / в,рл(х,) = ре(ре, ре). — Лга ТЬиз (3.6.14) гз заг!зйед. %е оЬзегче гЬаг (3.6.17). 11' в!, х;,! = 1, ..., п, аге зисЬ йаг (3.6.14) ЬоБ!з /ог аП ро!упот1аЬ р е Пзл „гЬеп в; > 0 Гог 1 = 1, ..., п. ТЬ|з )з геаеП!у чег!Пег) Ьу арр!улиц (3.6.14) го йе ро1упопиа!з рз(х):ли 11 (х — х„) еПгл-з, 1= 1,...,п, л=! ле! 155 В.б Сачвыаи Лпеьгапоп Ме1пеиь апгЕ побп8 !Лиг ,ь В в О < ) ао(х)рг(х) !Ех = ',!" !ч! р2(х!) = и; П (хв — х„)2 '4 1=1 1=1 1Ч! Ьу (3.6.1с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
