Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 27
Текст из файла (страница 27)
175 4.! Сапах!ап Е!!пг!паг!оп. ТЪа Тпапап!аг Оаоопгргп1г!оп о!а Магг!х Апд гп аепега!, 1ог ! = 1, 2, ..., и, ! — г гх' цп,! Гггггх г=г !с=г,г+1,...,п, (4.1.12) аа, — х! ', Г„,г,. 1.:= — ' хг' гц lг = ! + 1, ! + 2, ..., и.
1п а!! оГ йе хгерх аЪоче !ц — — 1 Гог ! = 1, 2, ..., л. 1п йе ВапасЬ!епггсг гиегЬод, йе рагг!г!оп!па В паед; гЬа! гя Г. апд Я аге согири!ед Ьу гохчя ТЬе Гогпш!аь аЬоче аге ча11д оп!у 1Г по р!чо! ье!есВоп ь сагпед ош. Тпапаи1аг десогироядоп Ьу йе гиейодь оГ Сгиб! ог ВапасЬгепг!сг хч!1Ь р!чо! ве!ес!!оп!еада го пгоге сопгрВса!ед а!аогггЬпь; ьее%1!!ггиьоп (19б5). Сгаихх!ап е!ипгпаВоп апд д!гес! !ггапаи!аг десогпроядоп д!ГГег оп!у гп йе оп1еппд оГ орегагюпя Вой а!аогггЬгпь аге, йеогеВса1!у апд пшпеггса!!у, епбге!у ег!и!ча!еп!.
1пдеед, Йе /гЬ рагда! хшпв ! (4.1,13) з=! оГ (4.1.12) ргодисе ргесье!у йе е!егпеп!х оГ йе гпагггх Аса ги (4.1.б), аь сап еая!у Ье чеггГгед. 1п Сапзяап е!итипагюп, йегеГоге, йе пса!аг ргодис!ь (4.1.12) аге Гогпгед оп!у !и р!есея хчггЬ гепгрогагу х!ог1па оГ йе шгеппегВасе гехи!ь; д!гес! гггапаи!аг десопгроыИоп, оп йе ойег Ьапд, Гоги!ь еасЬ вса!аг ргодпс! аь а хчЬо!е. Рог гЬехе огаап!хаг!опа1 героие, д!гес! гггапаи!аг 41есогпрояВоп гпих! Ье ргеГеггед гГ опе сЬоохех го ассипш!аге йе ьса!аг рггк1исга !и 41опйе-ргес!яоп аг!!Ьгпе!!с !и ои1ег !о гедисе гоипдо!Т еггогв (чдйош агог!па доыЬ!е-ргес!яоп 1пгеппедгасе гехи!!х), РыггЬег, гЬеье тейода оГ гг!апаи!аг десогпроядоп гег1шге аЬои! ц~/3 орегаВопв (1 орегадоп = 1 пш!Вр!!салоп + 1 аддгг1оп). ТЬпя йеу а!во оГГег а ягир1е хчау оГ еча1иаг!па йе 41егегпппап! оГ а гпагпх А: ггоги (4.1.9) В Го1!охов, япсе дег(Р) = + 1, дег(Е.) = 1, йа! дег(РА) = +де!(А) = дег(Я) = гг!гх, ...
г„„. !ар го !га а!ап, 41ег(А) и ехасг!у йе ргодис! оГ йе р!чо! е!егиеппс (1! вЬои!д Ье иогег1 гЬа! гЬе дггес! еча!иаВоп оГ йе Гогпш!а л дег('4) = Х хгйп(!г! ' ' ' !г") и!и~игах ' .. пни„ ип -, а«=! а,дщгог гаа ге!!пггеь л! >) и'ГЗ орегагюпя) 176 4 яуагапь оГ Е!пааг Еооаиопь 1п йе саяе йаГ Р = 1, йе р(чол е!егиеигя л и аге гергеяеп1аЫе ак с!иобепяя оГ йе 6егегпипапгя оГ йе риис!ра! пппогя оГ А.
1Г, 1и йе гергеяепГабоп Г.лх = .4, йе гиагпсек аге раг66опел$ ак Го!!олчк: Г-лл Г-лл О лхлл Алг Алл Ь !Я Гоипл( ГЬаг Глл ГГл л = А„; Ьепсе бег(лхл л) = де!(Алл), ог г,, ... гп = г(ег(А „), члЬеге А л л ля ап л' х ! плагг!х. 1п аепега1, 11 А, г!епогея йе !1Ь рппс(ра! пппог оГ А, йеп гп = л(ег(А;)ул(е!(Ал л), л ) 2, г„= л(е1(Ал). Л ГигГЬег ргас6са! апг( ппроггапл ргорегГу оГ ГЬе плегЬог! оГ !г1апап1аг г(есоплроябоп гя йаг, Гог Ъапг! гиагпсек лч!ГЬ Ьапл(чч!61Ь лп, а„= О Гог )л — 7'! >т, пл * йе ила!песк Г. аист лх оГ йе г(есоплроя!г!оп л.лх = РА оГ А аге по! Ги!1: лх гя а Ъапд гиагпх лч1й Ъапблч!4(гЬ 2пл — 1, ! ~ 2пл — 1 аист !и еасЬ со!иплп оГ Г.
1Ьеге аге аг илия! пл е!еплепгя г(1ГГегеп! Ггопл лего. Ги сопггаяЬ 1Ье !пчегяея А' ' оГ Ъапг( пласпсея аге ияиа!1у 6!!ел! лч!лЬ поившего епгпек. ТЬия, !Г пл << и, ия!па йе гг(аппп!аг л!есоплрок!6оп оГ А го ко!че Ах = Ь геяиЬк !и а сопя!г(егаЫе яач!па !и соплригасгоп апг( кгогаае очес ик!па А Адб!6опа! каипу аге рояяЫе Ьу пла)г!па ике оГ йе яуплпле!гу оГ А 1Г А гя а роя6че г(еГлп!ге плагпх (яее Бес!!опя 4.3 апгГ 4.А).
177 4.2 ТПЕ Сгапаа-УОГаао А!ХОГ!ГПГП 4.2 Т)1Е СгаМЗ-ЗОГГ1аГ1 А1ЦОПГ)1П! 1п ргасбсе, ГЬе !пчеле А ' оГа попа!паи(аг л х л шаГпх А ь иоГ Ггег!пел!!у пеедед. Яюи1д а раг6си!аг а!гиаг!оп саП Гог ап шчегье, Ьовечег, П шау Ье геадду са!сп!агед ияпа йе гпаиаи1аг десопгроя6оп дезспЬед ш Кесарии 4.1 ог их!па гЬе Сгаиха-Уогдап а1аопгЬш, вЫсЬ вП! Ье деасг!Ьед Ье!ов. Вой шегЬода гег1п!ге йе хаше аиюипг оГ вогГг.
1Г йе Гпапаи1аг десошроя6оп РА = Г.гг оГ (4.1.9) В ачаПаЫе, 1Ьеп ГЬе ПЬ со!игпи а, оГ А ' В оЬга1пед аь йе зо!иг!оп оГ йе ауяеш (4.2.1) УЯаг = Ре;, вЬеге е, ь йе гй сооггПпаге чесгог. !Гйе ьппр1е а!гас!иге о!йе пцЬг-Ьапд х!де оГ (4.2.1), Рег, ь ГаГгеп и до ассоли!, ГЬеп ГЬе л ег!иаГ!оп ьуаГешх (4.2.1) (г = 1, ..., л) сап Ье ъо!чед гп аЬоиг фл' орега6опя Адд1па йе сох! оГ ргодис!па йе десошроя6оп а1чех а !оса! оГ л' орегаг!опь го дегегиипе А '.
ТЬе Саарах-уогдап шегЬод гег!и!гех гЫх апгоипс оГ вог3г, соо, апд оГГегь адчапгацех оп1у оГ ап огаап1гагюпа1 па!иге. ТЬе Сапах-Уогдап шегЬод ь оЬга!пед 1Г опе аггешргх го шчеп йе шарр1иа х- Ах = у, х и 1е", у е й" дегепп1пед Ьу А !и а хуагеша6с шаппег. Сола!дег йе хуяегп Ах = у: а„х, +".+а,„х„=у„ (4.2.2) а„, х, + " + а„„х„= у„. !п йе Пгя яер оГ йе Сгаиах-Яогдап шейод, !Ье чапайе х, В ехсЬапцед Гог опе оГ йе чапайеь у„.
То до йь, ап а„+ О ь Гоипд, Гог ехашр1е (рагда! р!лог хе!есг!ол) )а„! = шах )аи ), аид егГпаг!опь г апд 1 оГ (4.2.2) аге !исегсЬапаед. 1п 1ЬВ вау, а зузгеш а„х, +" +а,„х„=у„ (4.2.3 ) а„, х, + " + а„„х„= у„ ь оЬга!пед ш вЫсЬ йе чапаЫех у„..., у„аге а регшига6оп оГу„..., у„ апд а„= агп у, = у, Ьо1дя Нов, аг г ~ О, Гог ойегвье ве вои!д Ьаче ал —— О Гог аП 1, ша1г!па А х!паи!аг, сои!гагу со ааыппрг!оп. Ву ьо!ч1па йе 179 4.2 Тае Сгаом-!паап А!Вопгот (Ь) !пгегсЬапде готя г ат! у о(' А" ", апг! саН ЕЬе геяиЬ А = (ав).
(с) Сотриге Агп = (аа) ассогарпу го ЕЬе (огти!ая [сотраге т11Ь (4.2.5)] а,',:= 1/а,;., а,'„= — —, а;',== (ог 1,!4~/, а!а, Йо ап ' ап аоав а,',= ав —— ар (4.2.6) ппрНев !Ьа! (4.2.8) 1(ег" ( )г вЬеге у„..., у„1я а сег!а1п регпппагЬ7П О!1Ье ог181па! чапаЫев у„..., у„, у = Ру вЫсЬ, япсе Н соггевропдя !о !Ье ш!егсЬап8е Егер (4.2.7Ъ), сап еая1у Ье 4(е!егш1пе41. Ггош (4.2.8) Н ГоНовв 1Ьаг (Аиор)у = х, ап41 1Ьеге!оге, япсе Ах = у, А ! = Аоор. ЕхамРее.
Ао> 2 — 1 1 1 — 1 — 1 о 1 2 5 1 1 2 3 3 о А А~оп 3 — 3 1 — 3 5 — 2 1 — 2 1 ТЬе рпо! е!етепгя аге таг!сег!. ТЬЕ !ОНОВ(П8 М.С43Е рГОНГаГП Гя а !ОГПШ1аНОП О! 1ЬЕ Сгаияя-ЮОГ4$аП шегЬо41 вЬЬ рагНа1 ргчо!ш8. ТЬе шчегяе о! ЬЬе п х п шагпх А гв в!огес( ьась шго А. тье аггау р[Я зегчев го йоге гье ш!аппп!!оп въоп! Ьье гов реппи!аНопв вЬгсЬ гв!ге р1асе. 1ог 3:= 1 евер 1 впГН п 4)о р[Я:= /; Йн /:= 1 веер 1 ив6! и йо Ьев1п р!оогяеагсЬ г тах:=аЬя (а[3,Я); г:=3'; Йю 1:= г'+ 1 Егер 1 ив!11 п 4!о 1! аЬя (а[г, Я) Нгевгег тах ГЬев ЬЕН1п тах'=аЬя (а[и, Я); г '=г евй; 180 4 Вуппт ог Ыпеаг ееоапепь 1Т тах = 0 йеп йово вулдиГаг; голчлгегсйалде: ГГ г > / йеп Ьей1п Гог lс:= 1 афер 1 пп6! л ао Ьей!п Ьг:= а[~, lс]; а[!, lс]:= а[г, Ц; а[г, Ц:=Ьг М:= р[Г]; р[л:= р[г]; р[г]:= Ы епй; Г алв)огтаГ1ол: Йг:= 1/а[/, !]; Гог 1:= 1 вгер ! ппй! л йо а[1, Г]:= Йг х а[О)]; а[1, !]:=Ьг; Гог Гг:= 1 вгер 1 пи!И Г вЂ” 1, ) + 1 вгер 1 пп61 л йо Ьей!п Гог 1:= 1 егер 1 ппвй ! — 1, Г + 1 вгер 1 пп61 л йо а[О Ц:= а[О х] — а[О /] х а[/, Ц; а[! Ц:= — Йг х а[! Ц епй Ь соГитл1лгегсйалде: Гог 1:= 1 вгер 1 пп61 л ао Ьей1п Гег Гг:= 1 Ыер 1 ппи1 л Йо Ьо[р[Гг]]:= а[О lс]; Гог Й:= 1 вгер 1 пп61 л до а[О /с]:= Ьо[й] 4.3 'П1Е С[!О[ЕЯ[ГУ ВЕСОГПРО81Г1ОП ТЬе тейогГв гйвспыег1 во Гаг Гог во1гйпй егГпа6опв саи Га!1 !Г ио р!чог ве!ес6оп !в сагг ед ош, Ье.
й юе гев1псг опгве!чев го са!Нпй 1Ье ейайопа! е1етепгв т огг!ег ав р!чот. Ечеп К по Га!!пге оссигв, ав чче ч611 вйою !и йе иехг вес!!опв, р!чог ве1ес6оп й аоч!ваЫе !и йе тгегевг оГ ишпепса! вгаЬ1- 1йу. Ноюечег, гйеге Гв ап ппроггапг с1аы оГ гпагпсев Гог юЬ!сЬ по риог ве1есйоп ь песеыагу !и сотрпг!ий гпапйп!аг Гасгогв: йе сЬо!се оГ еасЬ гйайопа1 е!етепг !и оггГег а!раув у!е!йв а иопгего ргчог е1етеии Епгйегтоге, й 1в пшпепсайу вгаЬ!е 1о пве йеве р1човв. %е геГег го йе с!вы оГ рояйче дейпйе тагпсев. (4.3.1) хгейп11!егх А (сотр!ех) и х л тагпх А 1в ва!6 го ье ров1г1че дейл!ге !Г й ва6вйев: 43 Т!2е Спо!еялу Е2ееоп2роя6оп (а) А = А", Г.е., А !к а Непп1йап шагйх.
(Ь) х" Ах > 0 Гог ай х а С", х ~ О. А = А" 14 сайед рогдгве яетГдеЯлГге 2Т х"Ах > 0 Ьо!дк Гог аП х а С". (4З.2) ТЬеогеш. с"ог алу роягве деЯлГге та224х А ГЬе леаггГх А ' ехГягя алд Ь аЬо рояйве дефа!ге. АП ргГлсГра! яиЬтаггГсея оГа рояйве дейл!ге тагпх аге аЬо рая!2!ее деЯлГге, алд ай ргдлсГра! т!лося а(а роя!2!ге деЯлГге таггГх аге роягве. Рпоок ТЬе 2пчегке оГ а рояйче дейпйе пгагпх А ех!кгк: 1Г гЬ!к чгеге пог гЬе саке, ап х + 0 ячои1д ех!кг яч!2Ь Ах = 0 апд х"Ах = О, 2п сопггасйсггоп го гЬе г1ейш!епекк оГ А. А ' 14 рояйче дейл!ге: чч'е Ьаче (А ')" = (А") ' = А ", апд П у ~ 0 й Гойоччк гЬаг х = А 'у ~ О. Непсе у" А 'у = х"А"А 'Ах = х"Ах > О.
Ечегу рппс2ра! киЬшакпх оГ а рояйче дейл!!е пяакпх А !к а!ко рояйче дейл!Ге: ОЪч!пик!у А" = А. Могеочег, ечегу ~С~, хфО, сап Ъе екрапдед го ) х, Гог р = Гя, ! = 1, ..., /е, )О огЬегмлке, о С" апд Ь Гойоячк йаГ х" Ах = х" Ах > О. 1п огдег го сошр1еге гЬе ргооГ оГ (4.3.2), !Ьеп, и киГйсек го кйоъч йа! де!(А) > 0 Гог рояйче дейпйе А. ТЬ2к гк кЬоячп Ьу ик!пй 2пдисйоп оп л. г ос л = 1 гЬ!к !к ггие Ггош (4.3.1Ь). !л!очг акяипе йаг гЬе йеогеш !к ггие Гог рояйче дейпйе гпагпсек оГ огдег л — 1, апд 1ег А Ье а рояйче дейппе зпагпх оГ огдег л. Ассоггйпй го йе ргесеесйпй раггк оГ йе ргооГ, Ь рояйче дейл!Ге, апд сопкее!иепг!у а„> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
