Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 31
Текст из файла (страница 31)
'чче ччй1 д(зсивз й|з ейесг 1и йе врес(а! саве соггезропг(1п8 |о /г = 1 ш (4.7.8). 1.е| 1|чо геа! чес1огв а апд г/ Ье 81чеп, гчЬ(сЬ тче гейаг|1, Гог з(гир1ю1у, аз по«|па!1хед: !а! = ((|71 = 1. ТЬ|з п|еапз йа1 йс|г зса!аг рго|1ис| ро:=д'а за1|вйев !Ро! < 1.%с аввшиейа1 (ро! < 1 Ьо1|(з, йа|!в,аапг(е/ аге 1|пеаг(у 1пе!ерепдеп1. ТЬе чес|ог Ь = Ь(р):= а — рц |в огйо8опа! 1о г/ Гог р = ро .
1п 8епега!, 1Ье ап8!е м(р) Ъегтчееп Ь(р) ап|1 д вайвйез д«Ь(р) цта — р /(р):=сов я(р) = — — =— !)Ь(р)/| !!а — ре/!! а(ро) = и/2 / (Ро) = О. Р(йегепг!а11п8 ю1Л гезрес| |о р, тче йпг! в|псе ~~а рог//~ ага 2роатг/+ рот«/тд 1 рот 205 4.8 Г7ага г!гипЗ ТЬегеГоге, го а Пгзг арргохипа6оп, чче Ьаче и Ьрз *(Ро + ггРо) =' + 2 ~гà — р Гог ЛР0 япаП, ТЬе с1озег ( р, ) Пез 1о 1, 1.е., йе тоге Ппеаг1у с$ерепг(епг а апд ц аге, йе гпоге йе огйопопаПГу Ье1ччееп ц апд Ь(Р) гз г(езггоуед Ьу ечеп 6пу еггогз Лр„ш раг6си!аг Ьу йе гоипгГоП еггогз ччЫсЬ оссиг ш сотРи6па Рз = Цга.
%псе Ь и ргес1зе1у йе оггЬопопаПгу оГ йе чесгогз д, йаг гз еззеп6а! го йе ргосезз, йе ГоПоюшп гг1сЬ гз изег1 ш ргас6се. ТЬе чесгогз Ь, ччЫсЬ аге оЬГа(пег! тзГеад оГ 1Ье ехасГ Ь„Ггопг ГЬе еча(иаГюп оГ (4.7.3), (4.7.9) аге зиЬ)есгег1 Го а "геоггЬопопа1ыаг1оп". ТЬаг 1з, зса1агз Лгп апд а чесгог Ь, аге сотригед 1гот Ь, = Ь, — Лг„дг —" — ггг.. „4„„ ччЬеге пгп'=ВАРЬ„, ! = 1, ..., Гг — 1, зо йаг 1п ехасг апбипе6с Ь~ц, = О, ! = 1, ..., /г — 1.%псе Ь„ччаз аг 1еазг арргохппаге!у ог1Ьоаопа! Го йе ц,, йе Лгп аге зтаП, апг! ассогсПгщ гоГЬе йеогу)изг п1чеп, йе гоипдоГГеггогз ччЫсЬ аге таг!е 1п гЬе сотригабоп оГ йе Лгп Ьаче оп!у а пппог 1пйиепсе оп йе оггЬоцопа!Пу о! Ь„апд ц;.
ТЬгз теапз йаг йе чесгог ц„:= Б„Гг„,, г„„:= ~1Ь„(! юП! Ье оггЬопопа! е11Ып тасЫпе ргес!зюп 1о йе а!геагГу $спопп чесгогз д„..., ц„г. ТЬе ча1иез га ччЫсЬ Ьаче Ъееп Гоипг( Ьу еча!иагищ (4.7.9) аге соггесгегГ арргорпаге!у: га:= гп + Лгп. С!еаг!у, геоггЬопопаПха6оп гег1шгез гчбсе аз пшсЬ сотри6пп ейогг аз йе згга1пЬгГогпаггГ Сггагп — ЯсЬт1г11 ргосезз. 4.8 ВаГа ГГГГ1ПД 1и гпапу зс1еп6Пс оЬзегча6опз, опе 1з сопсегпегГ чч11Ь дегегт1пищ йе ча!иез оГ сеггагп сопзгап!з хг, х2, ОГгеп, Ьопечег, и !з ехсеег1!пц!у гГГГПси!г ог ппроззПЫе го гпеазиге гЬе гГиап66ез х, г)1гесг!у.
1п зисЬ смех, йе ГоПоплпп шгПгесг тегЬос$ гз мег1: 1пзгеад оГ оЬзегч1пп йе л;, апойег, пюге еаг61у темигаЫе гГиап61у у гз затр!егГ, 206 4 Ьуагап!а ог Г.!аааг Ецааг!опа !чЬ!сЬ !Герои!!в ш а !Гпогчп ччау оп йе.х; апг1 оп Гигйег сои!го!!аЫе "ехрег- ппепга! сопй6опь", !чЬГсЬ |че ьушЬо!Гге Ьу гп у = Г(х' хг, " " .). 1и огдег го ГГегегпипе йе .х„ехрегипепгв аге сагпегГ оиг ипдег т Ййегепг сопгГ!Гюпь =,, ..., -, апгГ ГЬе соггеьропйп8 геьп!гь (4.8.0.1) у„= Г(га; .х,, ..., л„), !Г = 1, 2, ..., т, аге шеаьигег1. Ча!иев Гог .л,, ..., х„аге вои8ЬГ зо ГЬаг йе ее!па!!оив (4.8.0.1) аге ьа6ьйей Ги 8епега!, оГ соигве, аг !еав! т ехрегГшеп!в, Гп > и, шпв! Ье сагпеГ! оиГ гп огдег ГЬаГ йе .л! шау Ье пик!се!у г)еьегпипег(.
1Г т > и, Ьо!чечег, йе ег!па6Гопь (4.8.0.1) Гопп ап очеггГеГегпипег1 вугпеп! !ог !Ье ип!!по!чп рагашегегз .л, ..., .л„, ччЬГсЬ г(ось по! папа!!у Ьаче а ьо!и6оп Ьесапье йе оЬьегчег1 г!иапг!Оеь у! аге реггигЬег) Ьу шеаьпгегпеп! еггогь. Сопвег!иепГ!у, !изьеаб оГ ГГпйп8 ап ехасГ во!и6оп Го (4.8.0.1), ГЛе ргоЫеш Ъесошеь опе оГ йпгГ!п8 а "Ьев! роььГЫе ьо!игюп".
БисЬ а во!п6оп го (4.8.0.1) гь га$геп го шеап а ьег оГ ча!иеь Гог ГЬе пп!Гпо!чп рагаше!егз Гог ьчЬГсЬ ГЬе ехргеььюп (4.8.0.2) ог йе ехргеььюп (4.8.0.3) ып1и!ш1гей Неге !че Ьаче ГГепоьег1 Г'(га; .л,, ..., .л.) Ьуу!(хи ", ха) 1п йе Гггзь саве, ГЬе Еис(!Йап попп оГ йе геь!ГГиа!в 1ь ш!ппп1гег1, апг1 чче аге ргеьепьег1 !чгГЬ а ГГГГ!п8 ргоЫеш оГ ГЬе ьрес1а! Гуре ььийег$ Ьу Саивь (1и Ь!в "шегЬод оГ !еавг згргагеь").
Ги пгагЬепга6са! вгаг!вг!сь (е.8. ьее Сгпеьг (1961), БеЬег (1977), ог Сговвшапп (1969)1 Ь !в ьЬоччп ГЬаГ ГЛе "!еаьп вг1иагев ьо!и6ои" Ьаь раг6сп!аг!у зппр!е зГабз6са! ргорег6еь. 1Г Гь ГЬе шов! геазопаЫе ро1пг го дегегпипе1Гйе еггогв 1п ГЛе гпеаьпгешепгв аге !пгГерепбепг апб погша!!у 6!в!пЬигег).
Моге гесеп6у, Ьоччечег, ро!игв л ччЬ!сЬ пбшпиге йе попп (4.8.0.3) оГ йе гев16иа!ь Ьаче Ъееп сопвк$егег) ш сазез чГЬеге !Ье гпеавигепгеп! еггогв аге ьпЪ1есГ Го оссавгопа! апоша!1ев, 8!псе йе сошрйагюп оГ ГЬе Ьезь ьо!и6оп х Гь пюге ЖГбси!Г !и йгв саве йап !и йе шеГЬог$ оГ !еавГ зг!иагев, чае !ч1!1 поГ ригвпе ГЛГь шаГГег. 1Г йе Гипс6опз Га(хг, ..., х„) Ьаче соп6пиоиз раг6а! Г1епча6чеь !п а!1 оГ !Ье чапаЫев х!, ГЬеп !че сап геай(у 8!че а песеввагу сопй6оп Гог х = (х,, ..., х„) !о пипппГге (4.8.0.2): д (4.8.0.4) — ,'! (у„— Ях„..., х„))г = О, !' = 1, ..., т дх, „ ТЬезе аге йе погта! ег!иаггдиь Гог х.
207 48 ГГа!а х Кипя Ап ппроггапг врес!а1 саве, йе Пнеаг !еавг-в9иагея ргоЫет, 1я оЬга!пед К йе Гипс!!опя Г„'(х„..., .1:„) аге Ипеаг !п йе х;. 1п гЬ!я саяе гЬеге !я аи т х н шагьдх А кдй !п йЬ саве йе поппа! ецпаГ!оив гедисе Го а Ппеаг вуягеш 8гад„((у — Ах)'(у — Ах)) = 2АгАх — 2А у = 0 ог (4.8.0.5) А Ах=А у. %е «пП сопсеги оигве1чев !и ГЬе ГоПохчш8 весдоия (4.8.1-4.8.3), илГЬ шейодя Гог во1ч1п8 йе Ппеаг ргоЫеш, апг1 (и рагПси1аг, хче кдП яЬо~ч йаг тоге пшпеьдсаПу в1аЫе гиейогЬ ех!вГ Гог ПигПп8 йе яо!иПоп йап Ьу шеапя оГ йе поппа1 ег!иаг!опя.
Г.еаяг-воиагея ргоЫешя аге ягигПед ш тоге дегаП ш В)огс1г (1990) апд йе Ьоо1с Ьу Ьаювоп апд Напвоп (1974), хчЬ!сЬ а(яо сопгашв коптила рго8гашя; вьсоь рго8гагпв аге Гоипд ш %0!дпвоп апд Ке!пвсЬ (1971). 4.8.1 1.)пеаг Ьеая1 Бг!иагев. ТЬе )х)оггпа1 Ег(иа6опя 1п йе ГоПохч(и8 весПопв )! х )! «пП аЬчаув депоге йе Еис!гддаи попп /хгх. 1.ег ап т х и шагьдх А аид а чесгог у е !х Ье 8!чеп, аид 1ег (4.8.1.1) Ах~~в (у Ах)г(у А ) Ье ппшпигед ав а ГиисПоп оГх. %е чгапс го яЬохч гЬаг х е й" гв а во1иггоп оГ ГЬе поппа1 еоиаг!опв (4.8.1.2) АгАх = Агу П апд оп! у П' х гв а!во а ппшпппи рошг !ог (4.8.1.1). %е Ьаче гЬе ГоПокнп8: (4.8.1.3) ТЬеогепь ТЬе Ппеаг !еаяг-вг!иагев ргоЫет пип ((у — Ах(! Ьав аг !еаяг опе питтит роГнг хп.
(Г х, гв апайег ттппит рот!, Йен Аха = Ах,. ТЬе тевГдиа! г:=у — Ахп гв ин!цие!у дегегттед апдяагГфев йе едиагюп А г = О. Еиегу ттГтит рот! хч гв аЬо а яо1идоп оГ йе погта! едиабопв (4.8.1.2) апд сончегяе!у. Ркоюк 1.ег 2. а й Ье йе 1шеаг виЬврасе Г.= (Ах~х е Й") 208 4 В»Ыета ог гааеаг Ецоааооа ччЫсЬ В враппео Ьу 1Ье со!ишпв оГ А, апг( 1е1 Г. Ье 1Ье огйюйопа! сошр!ешеп1 Гс:=(г)ганг= 0 Гог ай го Г.) = (г/ ггА = 0). Весапве й = Г.®Г.,1Ье чесгогу а й сап Ье «г111еп ппщпе1ушгЬеГопп (4.8.1.4) » = 3 + г, в е Е., у е Г., апй 1Ьеге В а1 1еав1 опе хо «41Л Ахо = з. Весаиве А г = О, хо ва1ьйев Агу Атв = АтАхо 1Ьа1 !в, хо В а во1и6оп оГ 1Ье поппа1 егГ«а1юпв.
Сопчегве! у, еасЛ во1и1юп х, оГ 1Ье поппа1 ег1па1юпв сопевропгГв 1о а гергезеп1айоп (4.8.1.4): у=з+г, з:=Ах,, г=у — Ахо зеГ., геГ.. Весапве 1Л!в гергевепга6оп В ппщпе, й Гойо«в 1Ьа1 Ах = Ах, Гог ай во1«6опз хо, х, оГ 1Ье поппа1 егГпа1юпв. г иггЬег, еасЬ Во(и6оп х, оГ 1Ье поппа1 еопайопв ы а пшшпшп рош1 Гог Гйе ргоЫеш ш!и!)у — Ах!). ФЕЯ То вес 1Ь!в, 1е1 х Ье агЬ!!гагу, апй ве1 г:= Ах — Ахо, г:=у — Ахо. ТЬеп, гйпсе г' г = О, ~~» — Щ = ))г — г))а = ))г))а + !)г))т ) !)г)(т = )!» Ах ()г 1Ьа1 !в, хо В а ппшпппп рош1. ТЫз евгаЫ1вЬев ТЬеогеш (4.8.1.3). П 1Г 1Ье со!шппв оГ А аге 1шеаг!у !пйерепдепг, 1Ла1 ЬХ !Г х + 0 ппрйев Ах ~ О, 1Ьеп 1Ье ша1г!х АтА ь попв!пйп(аг (апй рогй1!че йейпйе).
!Г 1Ь|з ччеге по1 Гйе сазе, 1Ьеге «оп!о ехв1 ап х ~ 0 ва6вГушй АгАх = О, Ггош ъчЬ!СЬ О = хтАтАх = (Ах)а ччоп!о у!е1о а сопггао!сйоп, гйпсе Ах + О. ТЬегеГоге 1Ье поппа1 егГиайопв Ат,4х = Ат» Ьаче а ипщпе воЫюп х = (АтА) 'Агу, «Ь!сЬ сап Ъе сошрпгей игйпй 1Ье шегйойв оГ Бес6оп 4.3 (1Ьа1 В, пвшй Гйе СЬо!свесу Гас!от!хайоп оГ АтА). Ночгечег, чге хчй1 зее !п Гйе Гойоччшй вес1юпз 1Ьа1 !Лете аге пюге пшпег!сайу вгаЫе «аув оГ во1«йп8 1Ье Ипеаг 1еав1 вгГиагев ргоЫеш. %е сййгевв Ьеге 1о йо Ьпейу ш1о Гйе вга6в6са1 шеап!п8 оГ 1Ье шагг1х (АтА) '.
То г(о 1Ыв, чче аввшпе Гйаг 1Ье сошропеп14 у,, ! = 1, ..., га, аге ав Ряа Глава 1пдерепдепЬ поппа11у йвгг1Ьпгег( гапдош чапаЫев Ьачш8 л, ав шеапв алсос а11 Ьачш8 гЬе ваше чапапсе от: Е1у;1 = л;, Е((у'— 11 юе вег л:= (лп ..., Р )т, гЬеп гЬе аЬоче сап Ье ехргеввег$ ав (4.8.1,5) Е(у) = л, Е((у — л)(у — ф)~) = лтЕ ТЬе сочапапсе шагг1х о1 гЬе гапйош чесгог у 1в л~Е ТЬе орг1ппип х = (АтА) 'Агу о1 ГЬе 1еавГ-вг1пагев ргоЫеш гв а1во а гапдош чесГог, Ьачпщ шеап Ц~) = Е((АтА) гАту) = (АтА)- 'АтЦЯ = (АтА) 'А~1г, апг1 сочагьапсе шап8х ЕИх — Е(х))(х — Е(х))т) = ЕИАтА)- гАт(у л)(у Р)тА(АтА)- г) = (АтА)-~АтЕ1(у —,и)(у — Р)т)А(А А) — г = л~(АтА) 4.8.2 ТЬе 1)ве о(Ог1Ьо8опа1иа11оп 1п Бо1ч)п8 1.|пеаг Ьеавз-Бг)иагев РгоЫетв ТЬе ргоЫеш о1 дезегш1п1п8 ап х е й" и ЫсЬ пиппп1еев /!у — Ах/! (А е М(гл, л), гл > л) 0 т„„~ (4.8.2.1) Аал = япсе тл ) л.
Ьег йе чесгог Ь:= у'"' Ье рагг111опег$ соггевропйп81у: Ь е ггп Ь е 1вп~ — и Ъ,! ~2 (4.8.2.2) сап Ье во1чед ияп8 гЬе оггЬо8опа1иаг1оп гесЬпщиев йвспввег1 ш Бес6оп 4.7. 1.еГ 1Ье шазг1х А ее Аал апд ГЬе чесГог у га упл Ье ГгапвГоггпед Ьу а вес1иепсе оГ НоивеЬо1дег Ггапв1оппа11опв Р,, Агп = Р, А' ", угп = Р,. уп ТЬе йпа1 шагг1х Аал Ьаз гЬе Гогш 21О 4 Вуззегпз ог Гапеаг Ецпайопз ТЬе шагпх Р = Р„... Р„Ье1п8 гЬе ргойпсг оГ пшгагу гпа16сев, гв пп1гагу Ьве!К Рнр Рн Рнр Р апг1 загвйез А'"'= РА, й= Ру. 13п1гагу ггапзГоппагюпз 1еаче ГЬе попп 1и'1 оГа чесгог и шчапапг (1Ри'1 = /ииР"Ри = чгигги = 1и))), во '1у — Ах1 = '1Р(у — Ах)1 = 'Гуг"' — Аг"'х1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
