Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Са!с01аипв йе зпгеага! з ~гзй о Ьу ехзгаро!азюп очег зЛе вгер!епвзЬв Гзо — — 1, 6, = 2, Гзз = 3, зче агпче аг йе Г01!озч- зпв заЫеап 02408 (3.4.3) апзг 6-гГзвзг апзЛпзеНс (йе Ггасззопв ш рагепзЬевев шзгзсазе зЬе згпе ча10ев) Гзо= 1 т„= 0.500000 (= В) Т,, =0.187 500 (= го) Ь2,=3 Т„= 0.265 625 (= Ы Тзз = 0.166 667 ( = 8) Тз, = 0,167 969 ( = 24ззв) Ьз 3 Т,о = 0.192 383 (= ЬЬ) Тш = зз(Ь вЂ” а) ~вГ(а) + à — + гз)(Ь) .
Ву (3.4.3), ЗО 00 Т„= Т, + — — = ~4Т о — )Тоо 3 апг( йегеГоге Т =у(Ь вЂ” и) Ы(п)+'зХ вЂ” +У(Ь) . 2 еась епггУ та оГ гье Ро1Упопиа! ехвгаРо!аг!оп гаыеаи (3.4.4) геРгевепвв ш Гас1 а Ипеаг зпвеВгайоп ги!е Гог в1ер !епаГЬ Ь, = (Ь вЂ” а)/пз: То, — — озо Г (а) + а, Да + Ь;) + " + а„, Г (Ь вЂ” Ьз) + ска ! (Ь). Боте оГ 1Ье пз!ев, Ъи1 по1 а!1, аззГЬ з = Уг 1игп оиг го Ье оГ йе !ч(еазГоп-Согев гуре (вес Бес!(оп 3.1). рог шввапсе, !Г Ь, = Ь /2 = (Ь вЂ” а)/2, йеп Тз2 !в Б!трвоп'в ги1е.1пг!еег(, Тоо = (Ь вЂ” а)(27(а)+в)(Ь)), 142 3 Терке |и |п|евгааоп 1Г псе ао опе в1ер !шИ|ег апд рн| Ь, = Ь, /2, йеи Т„Ьесошев МГ!пе'в гн!е. Нозгечег, й|з раяегп Ъгеа1св до|го 1ог Ь, = Ьз/2, яисе Тзз !в по!пирес а Неве|оп-Сосез Гогпш!а (зее Ехегс1зе 10).
Гп йе аЪоче сазез, Т„апд Т„аге сошроя1е Бппрзоп гн!ев: Тя = 4 (зГ(а)+ зХ(а+ Ьз) + зХ(а+ 2Ь|)+ хГ(а+ ЗЬ|) + Ц(Ь)) Т„= — - ®'(а) + 3.Г (а + Ь,) + з.Г'(а + 2Ь,) + " + хГ (Ь)). Чегу гонф!у зреа$сша, ргосеейпа досопсгагд ш 1аЫеан (3.4.4) соггезропсЬ 1о ехгепйпа 1п1еВга||оп гн1ез, сгЬегеаз ргосеейпа |о йе г)аЬ| шсгеавез йеЬ оп$ег. ТЬе Го1!ого(па зес$непсев оГ в|ер 1епайв аге нвнаПу сЬовеп Гог ех1гаро!аИоп п|е1Ьодз: (3.45). (а) Ьо = Ь вЂ” а, Ь, = — , ..., Ь; = †' -, с = 2, 3, .
1'о 2' ' ' 2 (Ь) Ьо — -Ь вЂ” а, Ь,= —, Ьз= —,..., Ьс= — ': —, |'=3,4,. Ьо Ьо Ь| — 2 2' 3'' ' ' 2 ТЬе Гсгзс вес!пенсе Ьв сЬагас|епя!с оГ КошЬега*в шейод [$$ошЬега (1955)]. ТЬе зесопд Ьав Ьееп ргоровес1 Ьу Вн!1гвсЬ (!964). !1 Ьаз |Ье ас1чапсаае йа| 1ье еГГогс Гог сошрнсша т(ь,) с1оев по| |псгеазе с|шсе аз гар|д!у ав Гог йе КошЬегВ вес!пенсе.
гог йе вес$непсе (3.4.5а), Ьа!Г оГ йе ГнпсИоп ча!нов пеедед Гог са!сн!аИпа И|е 1гарехо$да! вшп Т(Ьс,) Ьаче Ьееп рге|донв!у епсонп|егегед Ги 1Ье са!сн!адоп оГ Т(Ь;), аид 1Ье1г геса$сн!аИоп сап Ье ачо1дес$. С!еаг!у Т(Ьоез) = фТ(Ь)+ Ьоес(Г(а+ Ье,)+ Г(а+ ЗЬое|)+" +Г(Ь вЂ” Ьзс)). ВЬп11аг загшаз сап Ье геа1!ход Гог |Ье вес|пенсе (3.4.5Ь). Ап м.осзю. ргоседнге звЬ|сЬ са1сн!а|ев йе |аЫеан (3.4.4) Гог В!оеп т апс$ йе !и!егьа! [а, Ь] няпа 1Ье КошЬега вес!пенсе (3.4.5а) Ь а1меп Ье!огг. То ваге п|ешогу врасе, йе |аЫеан Ь Ьш!1 нр Ьу ас$йпа нрмсагд йааопа$з 1о йе Ьояо|п оГ йе |аЫеан. Оп!у |Ье 1осгез1 е1е|пеп|в ш еасЬ со1шпп пеес1 |о Ье з1огед Гог Инз рнгрове ш!Ье!Гпеаг аггау г[0: т].
ргоседпге готЬегд (а, Ь, Г, т); та!пса, Ь, т; Гпгеаег т; геа1 а, Ь; геа! ргоседпге Г;. Ьеп1п геа! Ь, в; 143 34 спгезгаипв Ьу Еаггаро!аноп !игеа«г г, й, и, д; аггау с[0: иг]; Ь:=Ь вЂ” а; и:=1; С[0]:=0.5 х Ь х ( С'(а) + С(Ь)); Пгг Ь г= 1 всер 1 нпсП иг до ЬеП!и з:=0; Ь:=0.5 х Ь; л:=2 х и; г1:=1; !ог1:=1 всер 2 нп61 и — 1 до з'=в+7(а+ г х Ь); С[Се]:= 0.5 х С[Се — 1] + з х Ь; ргшс (с[Ц); аког 1:= Сг — 1 «сер — 1 ни61 0 до ЬеП!п д:= д х 4; с[1] '= с[1 + 1] + (с[1 + 1] — с[!])/(г1 — 1); ргигс (с[г]) ! г'(с)! дс.
БнсЬ ап арргохипабоп з сап Ье оЬсашед сопснггепс!у «дй са!сн!ас!игг опе о1 йе !гарево!да1 яипв Т(Ьг). А тоге Пепега! вгорр1п8 гн1е «ПП Ье девспЬег1, СоПейег «дй а пшпепса! ехатр!е, 1и Яес6ои 3.5. гнгйепиоге, йе вес!пенсе (3.4.5Ь) о! ьгер 1еп81Ьь !ь со Ье рге!еггег1 очег (3.4.5а). Г!паПу, га6опа! шгегро!а6оп Ьав Ьееп аспид Со уге!д сп снов! арр!сса6опв сонь!дегаЫу Ьепег гевнПв йзп ро!упосша! гпсегро!а6оп.
А ргоПгат «дй аП йеве ипргочеспепсз сап Ье !онпд !и ВнПгвсЬ аид Пгоег (1967). %Ьеп «ге арр!у га6оиа! ги1егро1а6ои (вее Бес6оп 2.2), 1Ьеп сЬе геснгяоп (2.23.8) гер1асез (2.1.2.7): (3.4.6) 1 < Сг < с < а. — г — — 1 т -г Та=т;,+ ТЬе вате гпап8«1аг СаЫеан аггап8етепг !ь мед м !ог ро!упопиа! ехсгаро1а6оп: Сг 1ь йе со!шип шдех, апд 1Ье геснгяоп (3.4.6) ге!асеь еасЬ саЫеан %е егирЬаязе йас сЬе аЬоче а!дог!йт ьегчев тат!у м ап !Пмггабоп о! !псе8га6ои Ьу ехсгаро!а6оп тейодз. Аь П в!аида, П !ь пос «геП ьшгед !ог ргас6са! са!сн!а6опь. гог опе СЫп8, опе доев пог нвнаПу 1спочч аЬеад о! 6пге Ьо«г ЫП йе рагаспесег пг ьЬон1д Ье сЬовеп иг оп1ег Со оЬСаш 1Ье деягед асс«гасу. !п ргасбсе, опе са!сн1а1ев оп!у а !егч (вау ьечеп) со1шипь о! (3.4.4), аиг1 асора йе са!сн!а6оп ав вооп м (Т; а — Т;, а ( < вз, «гЬеге в Ь а ьрес!Пед Со1егаисе апд з !ь а гонаЬ арргохипа6ои со 1Ье !и!енса! 144 3 Тотьь гп гяеагяюп е!егпепг го ив 1еа-Ьапг1 пе!аЬЬогв.
ТЬе гпеап(па оГ Т„, Ьочгечег, В погч ав Го!!оьчв: ТЬе Гипсаопв Ть(Ь) аге гагюпа! Гипсгюпв 1п п~, Т (Ь):= — ~ Яь + Я, й' + " + Я,.Ь' ' р + ч = Ег, «Вй йе !пгегро!агюп ргореггу та(Ь,) = т(Ь,), Юе йеп г(ейпе !ь= ь ог !ь= ч — 1, Е = Š— Ег, Š— Ег + 1, ..., 6 т,„:= та(О), апг$1шааГе йе гесигяоп (3.4.6) Ьу риа!па тьь:= Т(Еь,) Еог ! = О, 1, ..., т, апг( Т,,:= О Гог Е = О, 1, ..., т — 1. ТЬе оЬвегчег1 вирепопгу оГ гааопа! ехГгаро!ааоп шегЬог(в гейесгв йе июге йех!Ые арргохипааоп ргорегаев оГ галопа! Гипс!!опв (вес Бесаоп 2.2.4). 1п Бесгюп 3.5, «е ъч11 111ивГгаГе Ьо«ь еггог евГппагев Гог ехГгаро!ааоп гпейог(в сап Ье оЬгаЕпег1 !гоги авугпргоас ехрапяопв Иге (3.4.1).
13пгЕег пи!гЕ гевгг!с!юпв оп йе вегГиепсе оГ яер !епагЬв, и ьч!11 Го!1о«ЕЬаЬ Гог ро1упоииа! ехггаро!ааоп шегЬоь1в Ьавег( оп ечеп авугпргоас ехрапяопв, ЕЬе еггогв оЕ Т„ЬеЬаче 11(ге Ег~, йове оГ Тп 1!!ге й~, Ь,', апг(, ш аепега!,!Ьове оГ тьь 11!ге Ь,', ЕгГ „, ... Ь,' ав 1 — со. г ог йхег( Ег, сопвегГиеп11У, йе вегГиепсе Та, Е = Ег, Ег + 1, ..., аРРгохипаГев йе за!сага! Иге а гпе!Ьог( оГ огг(ег 2Ег + 2. сог ЕЬе вегЕиепсе (3.4.5а) а вггопаег гехи!1 Ьав Ьееп Гоипг(; ,ь ( — 1)'В Гог а виааЫе с а (а„Ь) апг( Ге С'ь "(а, Ь) Гвее Ваиег, Киг!вЬаивег, апгГ В!(еГе! (1963), Ви!!гвсЬ (!964)]. 3.5 АЪоиГ ЕхГгаро1абоп МеГЪосЬ ногае оГ йе пшпег1са! !пгеага!!оп гпейогЬ гЕ!всиввеьГ !п йгв сЬаргег (ав, Гог !пяапсе, ЕЬе ше!Ьог(в Ьавег( оп ЕЬе Еоггпи!ав оГ Хеьчгоп апгГ Согев) Ьаг( а соиипоп Геагиге: йеу игйгег1 Гипсаоп ьпГопиааоп оп!у оп а гавсгеге вег оЕ ро1пгв «Ьове гавгапсе апгГ сопвегГиепг!у йе соагвепевв оГйевагпр!е — гчав аочегпег( Ьу а "в1ер !епа!Ь." то еасЛ висЬ вгер 1епа!Ь Ь ф О соггевропг(ег( ап арргохппаге ге««11 Т(Ег), ччЬ|сЬ Гигйеппоге ас(иииег1 ап авугир!оас ехрапяоп ш рогчегв оГ Ег.
Апа!оаоив гавсгеагайоп тегЬоьГв аге ача(1аЫе Еог гпапу ойег ргоЫегпв, оГ ьчЬЕсЬ йе пшпепса! !пгеагаг!оп оЕ Гипсаопв В Ьи! 145 35 АЬоог Ех1гаро!а11оо Мейоот опе шззапсе. 1п а!! йезе смех, йе мушрго6с ехрапяоп о( ГЬе техн!1 Т(Ь) !з оГ 1Ье Гопп (3 5 1) Т(Ь) = то + т, Ьп + та Ьп + " + т„Ьт + Й'""а ~,(Ь), 0<Уг <Ут«'' Уо+г 3ЧЬеге 1Ье ехропеп1 з у, пеед пог Ье !пзеаегз.
ТЬе соеГбс!епгз т; аге !пт(ереп11епс оГ Ь, ГЬе Гнпс6оп а„„(Ь) Гз ЬонпгГет( Гог Ь -+ О, аптГ то = Иш„о Т(Ь) !з йе ехасг зо!нбоп оГ 1Ье ргоЬ!еш аг Ьапд. Сопз!6ег, !ог ехашр1е, пшпепса1 йГГегеп6абоп. гог Ь ~ О, ГЬе селгга1 Ифегелсе диог1елг Г(х + Ь) — 1"(х — Ь) 2Ь гз ап арргохппа6оп го Г'(х). гог Гнпсбопз Ге Ст +'[х — а, х+ Ь] аль /Ь! < !а/, Тау!ог'з 1Ьеогегп а!чез Ь2 ! ге+3 Т(Ь) = — ] Г(х) -1- /1Г'(х) + — Г "(х) + " + —.
— — — [ Г1т'"+ я(х) + о(1)] 2Й ~ 2! (2гл + 3)! Ьт Ьтв+ 3 — Г(х) -1- ЬГ'(х) — — Г" (х) -1- " + — — [ Г1т'"+ Я(х) 1- о(1)] [ 2! (2гл + 3)! = то+ т, Ь'+ ". + т Ь'"+ Ь'""а„.„(Ь), 3чЬеге то — — Г'(х), т„= Г""+ п(х)1'(2/т + 1)! 1ог Гг = 1, 2, ..., гл + 1, апгГ а„е,(Ь) = т ~, + о(1). 17з!па йе опе-з!нес т(!ГГегепсе 1!но!!епг Т(Ь):= — ---- Г(х + Й) — Г(х) Ь !еабз го йе азушрГо6с ехрапяоп ТЯ = т, + т, Ь + та Ь~ + " + т Б + Ь + '(тщ ~ г + о(1)) .Г1"' "(х) т„= — — —, Гг = О, 1, 2, ..., гл + 1.
(Гг + 1)! %е а61! зее 1азег йаГ ГЬе сел!та! гГ!ГГегепсе тГноГ!епГ !з а Ье!гег арргохгшагюп го Ьме ап ехггаро!азюп шегЬод оп, м Гаг аз сопчегаепсе !з сопсегпей, Ьесанзе !гз азушргобс ехрапяоп сон!а!пз оп!у ечеп рочгегз о! гЬе згер 1епаГЬ Ь. ОГЬег ипроггапг ехаптр1ез оГ тГ!зсгег!га6оп шеГЬгхГз тчЬ!сЬ !еат( го знсЬ азугпрсобс ехрапяопз аге ГЬозе 1ог ГЬе зо1нбоп оГ огг(!пату гГ!йегепг!а! ег!наГ!опз (зее Бес!!опз 7.2.3 апг( 7.2.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
