Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 18
Текст из файла (страница 18)
б. УлгегроГагюл ол ргогГис! зрасез: Биррове ечегу 1!пеаг гп!егро!акоп ргоЫеш в!а!с!! !п гегшз оГ Гипс1юпв 4!с, ягг, ..., Вг„Ьав а ип!гГие во1и!!оп Ф(х) = ~,"и;4гг(х) чч!1Ь Ф(х!) =Ую Уг = О, ..., л, Гог ргевспЬегГ зиррогз агаишеп!з хв, ... х„илй х, ~ ху, ! Р У? ВЬочг йе Го!1огч!ПЦ: ГГ !(ге, ..., !Гг !в аЬо а зег оГ Гипс!!опв Гог гчЫсЬ ечегу 1гпеаг !пгегро1аВоп ргойеп! Ьаз а ипкрге во1и!!оп, 1Ьеп Гог ечегу сЬо!се оГ аЬвс!в!аз хе, х,, ..., х„, хг ~ ху, г ~ У) Уо Уи". У У!'РУу !ФУ* 116 2 1лсегро1вбол ап»Г виррог! ог»1!па!ее »=О,...,л, /с=О,...,т, ГЬеге ехгвгв а ип1»Гие ГипсОоп оГ йе Гопп Ф(х, у) = 2, 2 а„„е»„(х)с)с„(у) =о »=о алГЬ Ф(х;, у,) = Г;», с = О, 1, ..., и, Гс = О, ..., ш. 7.
Брас!а!!хе йе 8епега! геви11 оГ Ехегсгве б го Гпгегро!абоп Ьу ро!упопиа1в. С»1че ГЬе ехр!1с1! Гогш оГ ГЬе ГипсЕоп Ф(х, у)!п йГв саве. 8. С»1чеп йе аЬвспввв Уо.уи"'У У ФУ» »ФЬ апсГ, Гог еасЬ Гс = О, ..., т, гЬе ча1иев х~»', х(»', ..., х'„",', х(»с ~ х)»', 1 ~ 1, апсГ виррогс огсГ!пагш »=О,...,и», Го=О,...,т, виррове ис!»Ьоиг !овв оГ 8епега10у 1Ьаг гЬе у„аге пшпЬегесГ ш висЬ а ГавЬГоп йаг ло > л» » " и . Ргоче Ьу Гп»Гис»1оп очег ги гЬаг ехасИу опе ро!упопиа1 Р(к, у) ге 2' 2' а„„х"у" »=о .=о ех1вгв юГЬ Р(кг»с, у») =У,», ! = О, ..., л», Гс = О, ..., лх 9. !в 11 роввГЫе го во!че »Ье»пгегро!аОоп ргойе»п оГ Ехегс!ве 8 Ьу ойег ро1упопиа!в и и Р(х, у) = 2 2' а,„х"у", »-о .-о гесГшпп8 оп1у йаг гЬе пшпЬег оГ рагапгегегв а„„а8гее ис11Ь гЬе пшпЬег оГ виррогс ро»псв, йаг Гв, ~, (л„ + 1) = ~ (Ьг» + 1)? НГлгс 8гисГу а Геис в1гпр!е ехашр1ев. 10.
Са!си!аге ГЬе сичесве апсГ гессргоса! »ГГГГегепсев Гог гЬе виррогг рошгв Д 1 3 в 3 Ехегааы Гог СЬвргег 2 ап/$ пве йет го /$егегпипе йе гаг$опа! ехргеввюп Фз з(х) мгьове пшиегагог ап/$ депош$пагог аге г$иа/$га1$с ро1упопиа1в апг1 Гог вЫсЬ Фв в(х,) = Г/, йгвг $п сепг!иле/$-!гас!!оп Гоги/ апг$ гЬеп ав $Ье гаг$о о! ро1упопиа1в. 11. Г.еГ Ф '" ЬеГЬе гаГ!опа! Гппсвюп иЫсЬ во!зев йевувгегп Я "Гога/вел виррогв ро!пгв (х,, Я /г = О, 1, ..., лг + л: (ао + а/ х„+ " + а х» ) — Гв(Ье + Ьгх» + " + Ь„х») = О, /г = О, 1, ..., гл + л.
БЬои гЬаг Ф" "(х) сап Ье гергевепгег$ ав Го!!она Ьу /$егегш$папгв: / ~», х, — х, ..., (хв — х), (х» — х)Г», ..., (х, — х"Г/в'!»='в» ! 1, хв — х, ..., (х» — х), (х» — х)Гю ..., (хв х)Г»!»Тео Неге 1Ье Го$!си!па аЬЬгев!а!!оп Ьав Ьееп иве/$: ао " во $а», ..., В»(„'в:=г$ег 12. в/епега!$хе ТЬеогепг (2.3.1.11): (а) рог 2л + 1 виррогГ аЬвсиввв х» ъчГЬ л < х„< х, « " хв„< л + 2а апг$ впррогв ог/$$пагев уе, ..., Уз„, !Ьеге ехгввв а ипиуие Гг$аопошегПс ро!упопиа1 Т(х) = зле -)- 2, (о/ сов Гх + Ь/ в!п Гх) «чгЬ Т(х,) = у» Гог Гг = О, 1, ..., 2л.
(Ь) 1Г уе, ..., уз„аге геа! пшпЬегв, йеп во аге гЛе сов!Ос!ел!в а/, Ь/. Н/лг: $$е/$исе йе !пгегро!аг!оп Ьу гПцопошегпс ро!упош$аЬ гп (а) го (сопгр1ех) шгегро!аг!оп Ьу ро!упопиаЬ ив!па йе ггапвГогшаг!оп Т(х) = „'~ ".= „с/е" . ТЬеп зЬогв с „. = с/ со евгаЫ!вЬ (Ь). 13. (а) оЬогв йаг, Гог геа! х,, ..., хз„, 1Ье Гипсгюп 2» г(х) = П в!п- 2 гв а Гг$аопошегг!с ро!упопиа! Вас+ 2 (а/соз)х+ Ь/ вгп/х) /=1 «чгЬ геа! соеГОс$еп!в а/, Ь/. Н/лг: БиЬвг!гиге в$п Ф = (1/2!)(е/» — е '»). 118 2 1паегро!вооп (Ь) Ргоче, пяп8 (а) гЬас гЬе !псегро!айп8!п8опошеслс ро!упопна! ач!1Ь впррогг аЬвс!ввав х„ а < хо < х, " < х,„с а + 2л, апгГ виррог! огаГ!паГев уо,..., уа„!в !2!ел!!Са! ачГгЬ т(х) = ~у,гг(х), г=о ахЬеге 2 Г 2~ Г;(х):= П в!п -- Г П в!и — ' х — ха Г , х; — х„ а=о 2 !а=о 2 14.
8Ьоач ГЬа! Гог л + 1 впррогг аЬвс!ввав х„члгЬ О < хо < ха < ' ' ' с х„< л апгГ впррог! огаГ!па!ев уо, ..., у„, а ппп1пе "сояпе ро!упоппа!" С(х) = 2,' л; сов )х а=о ехпя юйЬ С(ха) = у„, Гг = О, 1, ..., л. Н!е: Бее Ехегсгве 12. 15. (а) 8Ьоач ГЬа! Гог апу ш!е8ег] 2 2; сов ]х, = (2е + 1)й(]), а=о ,2 в!п]ха = О, а=о «лГЬ 2ХГг ха'= — —, Гг=О, 1,...,2е, 2е+ 1' апгГ ) 1 !ог ] = О ппх1 2е + 1 )О огЬегчг!ве. (Ь) ГГве (а) го бег!ге Гог !и!е8егв ! Гг гЬе Го!!оч2!пд оггЬ08опа!!гу ге!абопв: 2е+ 1 2, Яп]ха вш Ггх; = —. — (Й(] — Гг) — й(]+ Га)], ,=о ' 2 сов /х; сов Гаха = — —..— !л(à — Гг) + й(] + Гг)], 2е+ 1 2=О 2 2 сов Гх; вап Ггха = О. =о 119 Ехегс!зев Гог СЬвргег 2 г г Ч'(х) = ]Ае + ]; (Аг сов !х + Вг з!п]х) 7=1 Ье гпбопошегпс ро1упоппаЬ в!1Ь 2Ы хе —, =2т 1' Ч'(хв) = Г(хв), Гог lг = О, 1, ..., 2е.
Яюзг йаг Аз=ив+ ~ (ад„,~.г +в+а в„,еп г], 0<в<а, В, = Ь, + „'Г (Ьп, „„, — Ьпв, и в], 1 < Гг < р г 17. Гогши!аге а Соо!еу-Ти!геу шегЬод гп гзЫсЬ йе аггау ])( ] гв !и!г!а!!вег( г!!гесг!у (ДЯ:=Д) гайег гЬап го Ыг-гегегвед !азЫоп. Нии: Рейпе апг$ дегегпппе ехр1!с!г!у а шар а = е(ев г, Г) ю!1Ь йе ваше гер1асегпепв ргорегв!ез ав (2.3.2.6) Ьив е(0, г, 0):= г. 18. 1ег К:=2". Сопвабег гЬе К-зесгогз 1''=(Ге " Хх-г]', ГГ'=Ро. "., )Гм-г] (2.3.2.1) ехргеввш а Ипеаг ггапвГоппабоп Ьеггзееп Огеве ггзо гесгогв, р = (1)К)ТЯ чЬеге Т=(гп] вг!1Ь г„= е ™.
(а) ЯЬогз гЬаг Т сап Ье Гасгогег! аз ГоПоггв: гзЬеге Я Ь гЬе К х К шагпх 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 ТЬе гоавпсев О, = г!!а8(1, дф, 1, дф, ..., 1, д(г г), ! = 1, ..., л — 1, аге гГ!а- 8опа! шагпсез ийгЬ г= —,, гогЫ. д',е = ехр(-2а!г/2" ' '), Д гв гЬе шагпх о!ГЬе Ыг-гемегза! реппигагюп (2.3.2.8), апб Р гв ГЬе пгагпх оГ йе Го!!ои!п8 ЬГГ-сус!ГаГГ Регшивавюп В: ((ио + аг2 + " .
+ а„ ,2" '):= «„ , + ае2 + " + а„ г2" '. 1б. Яиррове йе 2л-репоЖс Гипс!!оп 7'. й — й Лав ап аЬзо1иве!у сопгегбепв Гоипег вепев Г'(х) = ]ив + 2.' (аг сов )х + Ьг в!и !х). 120 2 1исегро!ааоп (Ь) 5Ьозч сЬас сЬе 5апссе-Ти(сеу шесЬоз$ $ог Гавс Еоипег сгаив(огшв соггевропзсв со пзи16р1уш8 йе чессог Лгопз |Ье !еГ| Ьу сЬе (врагве) шаспсев ш |Ье аЬоче Гас|ос(ха|сои. (с) зч'ЬссЬ Гасзопхайоп оГ Т соггевропзсв Со йе Соо!еу — Ти$|еу шеСЬо|$? Н!ис: Т" с$1йегв Ггош Т Ьу а реппшаЬоп. !9. 1пчевс|8асе сЬе пшпепса! всаЬ~!Ьу оГ сЬе шеИюссв Гог Гавс Еоипег сгапвГопив з(евспЬесс |п 5есОоп 2.3.2.
Н1и|: ТЬе ша|псев |п |Ье ГассопхаНоп оГ Ехегссве 18 аге а1пюза ог|Ьо8опа1. 20. Сз(чеп а ве| о11|посв |5 = (хь < х, «" х„) апзс ча!иев У:=(ув, ..., у„), ргоче !и|сервис(епссу оГ ТЬеогезп (2.4.1.5) сЬас сЬе вр!зпе ГипсНоп 5ь(У; ) зчссЬ 5ь(У; хь) = 5ь(У; х„) = 0 1в ипзз(ие. Нзисз Ехапппе сЬе пшпЬег оГ хегов оГСЬе с$1$Гегепсе 5ь — 52 о! пчо восЬ вР!зпе ГипсЕопа Мосе сЬас сЬсв пшпЬег (в 1исошрас1Ь(е зчссЬ 5ь — 5ь Ф О.
21. Т$зе ехппепсе оГа вр!зпе Гипссюп 5ь(У; .) !исавев(а), (Ь), ап|1 (с) оГ(2412) сап Ье евсаЫсвЬез$ зч(сЬоис ехр1!сЬ!у са!си!асзп8 |с, ав |чав зсопе си 5ессюп 2,4.2. (а) ТЬе гергевепсайоп оГ 5ь(У; ) гессшгев 4и рагапзесегв а„($|, у,, д|, Яюзч сЬас 1и еасЬ оГ |Ье савев (а), (Ь), (с) а 11пеаг вувсеш оГ 4и ез(иассопв гево!са (и+ 1 = пшпЬег оГ 1|иова) (Ь) 13ве йе ипнрзепеы оГ 5ь(У; . ) (Ехегссве 20) со вЬозч сЬас |Ье вувсеш оГ !шеаг езсиасзоив зв пос всп8и1аг, зчЬ(сЬ епвигев сЬе ехпаепсе оГ а во!ис(ои, 22. 5Ьои йас |Ье с(иапссссев з(з оГ (2.4.2.6) апсс (2.4.2.8) вас(в(у з(з= зпх,) 40(!!Л(!), )=О, 1,, и, апз$ ечеп $, = ЗГ"(х>) + О(!!Л!!з), ) = 1, ..., и — 1, ш |Ье саве оГ и 4 1 ессшз$1всапс $|посв х| е Л.
23. 5Ьозч |Ьас ТЬеогезп (2.4.1.5) ипр1зев; 1Г |Ье вес оГ 1|посв $$' с (а, Ь) сопсашв йе вес оГ !|посв Л, з5' и сс, |Ьеп зп еасЬ оГ сЬе савва (а), (Ь), ап|$ (с), !!Т(! - !(5'(У'с )!! > !!5.(У; )!!- 24. 5иррове 5ь(х) (в а вр!зпе Гипссюп аз(сЬ |Ье вес оГ 1|посв Л = (а = хо < хз « " х„= Ь) зпсегро1аЕп8 Ге .зс'~(а, Ь), 5Ьозч |Ьас ь !! à — 5ь !$| = ~ ( Г(х) — 5ь(х)) Гз~з(х) з(х зТ апу опе оГ сЬе Го1!озчип8 асс|$1$1опа! сопз$1$1опв зв пьес: (а) Г'(х) = 5ь(зс) Гог х = а, Ь.
(Ь) Г"(х) = 5ь(х) Гог х = а, Ь. (с) 5ь зв репос(зс апсс Ге,зс "(а, Ь). 25. Ргоче |Ьас рд > ! Ьо1|$в Гог |Ье с(паис(сзев р,, Гз = 1, ..., и, епсоипсегесс зп во1исюп шесЬоз$ (242! 5) оГ |Ье вувсе|п оГ!зпеаг ессиасзопв (2429). А11 сЬе сс(чсвсопв гес!шге|$ Ьу сЬ|в пзесЬогс сап йегеГоге Ье саггзе|$ оис. 121 ЕхегсЬез Гог СЬаргег 2 26. Гуейпе гЬе вр1дпе Гппсйопв 5; Гог ед1шгйвгапс 1гпогв хд = а + !Ь, Ь > О, ! = О, и, Ьу 57(хд) = ддд, /, /г = О, ..., л, апгГ 5.(хз) = 5)(х„) = О. 'дгепГу гЬаг гЬе гпошепгв М,, ..., М„, оГ 5; аге ав Го!!очгв; 1 М,= — — М;„, !=1,...,/ — 2, Р 1 М,= — — М, „!=/42,...,л — 1, Р,— д — б 2 + 1/рд д + !/р„ д м = Ьз 4 — !/Рз, — 1/Р„ (б!-д М) 1 Рд- д Гог / ~ О, 1, и — 1, и, Мддд = — — (66 — Мд) -в Р -7-д дчЬеге гЬе пшпЬегв рд аге геслгяче1у дГейпедГ Ьу Р,:= 4 апгГ р;:=4 — 1/р; д, ! = 2, 3,.
Гг !в геадГ!!у вееп гйаг ГЬеу ваг!вГу гйе !пеопайг!ев 4 = р, > рд » " р; > р„, > 2+,/3 > 3.7, 0.25 < !/Рд < 0.3. 28. Ьес 5д, .г дГепоге гЬе вр!дпе Гипспоп дчЬ!сЬ шгегро! агев гЬе Гппсйоп Гаг ргевсг!Ьед) 1спогв х а Л апд Гог дчЫсЬ 5д;г(хз) = 5д;г(х.) = 0 ТЬе шар/- 5з,г !в 1шеаг, гйаг ы, 5д;гдз = 5д г + 5д в, 5д г = л5д г. ТЬе ейесг оп 5д, г оГ сЬапй!пй а яп81е Глпсйоп ча!ле Г'(х;) ю гйегеГоге ГЬаг оГ ад!дГ!пй а согплропгйп8 шл!Ор!е о!ГЬе Гппсйоп 5; вЫсЬ иав д!ейпедГ т ЕхегсЬе 26. 5Ьодл, Гог егГшд!!агап! !гпогв апгГ ляп8 гЬе гевлйв оГ Ехегсйе 27, гйа! а регпдгЬайоп оГ а Гапсйоп ча1пе впЬвЫез гГп!с!г!у ав опе шочев адчау Ггопд гЬе 1осайоп оГ вйе регвпгЬайоп. СопвкГег гйе апа1ойопв1у дГейпег( Ьайгапйе ро1упо- ппаЬ (2.1.1.2) дп оп!ег го согпраге !Ье ЬеЬагйог оГ ппегро!айпй ро1упоппа!в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
