Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 20
Текст из файла (страница 20)
о ггош ЕЬев, ие оЪЕа!п Ъу а випр!е чапаЫе ЕгапяГоппа6оп ГЬе ГоПоабпд !пгеигаг!оп ги1е Гог аепега1 а < Ь (Ь:= Ь вЂ” а): ь Ьг (3.1.5) ~ Г(х) г(х = М(Ь):= — ( Г(а) + Г(Ь)) + — ( Г'(а) — Г'(Ь)), 1Г Га С4(а, Ь] йеп — ив!па гпейоеЬ го Ье деясг!Ьее( ш Зесеюп 3.2 — йе арргохипа6оп еггог оГ йе аЬоче ги!е сап Ъе ехргеявее1 ая ГоПоив: ь !5 (3.1.6) М(Ь) — ~ Г(х) г(х = — — Г'в'(~), с и (а, Ь), Ь:= (Ь вЂ” а). 720 1 ! 1 2 1 4 1 3 1 3 3 4 7 32 12 32 7 5 19 75 50 50 75 19 6 41 216 27 272 27 216 41 Ьз *Го~(г) 6 Ьв *~'~'(Г) 8 Ьв ф Гво(~) 90 Е г в вГев~(Д 288 Ьв Я .Г'в~(С) Е,ь в рв~(Г) Тгарего(г(а! г»1е Кипряо» в го!е 3/8-го!е М11»е'я ги1е !29 3.! "ьпе спсезгапоп гоппп!пь ог г$епсоп апо' Сосо! ш йе виЪспсегча$ [х!, хьь!] оГ сЬе рагйюп х; = а+ й, ! = О, 1, ..., М, Ь:= (Ь вЂ” а)Г$сГ, гос сЬе еп6ге си!егьа! [а, Ь], и!е оЬсасп сЬе арргохииасюп (3.1.7) Т(Ь):= ,'!" 1! = Ь ~- — + Г(а + Ь) + Г(а + 2Ь) + " - +1 (Ь вЂ” Ь) + (Да) Г(Ь)1 2 2 вЫсЬ сз сЬе сгарегоЫа1 зиис Гог зсер !епПсЬ Ь.
1п еасЬ виЬ$псегча1 [к;, х;„] сЬе еггог Ьз 1! — ~ 1(х) Их = — Г' !(С,), а сз шсиггед, азяишпд Га С~[а, Ь]. БиппшпП сЬеве срамов (х;, х;„.,), спдсчсдиа1 еггог сеппв ь !3 ю-! Ь2 ! и-! Т(Ь) - ]' .Г(х) Их = — 2: 1'опф) = †(Ь - а) — 2.' 7'ип(~;). =о 12 $'Г !=о Пспсе и-! гсг!(ь ) < ~ гсг)(д ~ „ Гсз>( ь ) апд Гсз!(х) св сои!списав, сЬеге ехсзсз ~ а [пип! ~,, шах! ~,] ~ (а, Ь) адй И-! Р"(4) = — Е Р"(4;) !=о ТЬив ь Т(Ь) — ~ 1'(х) дх = -- — Ь~ГЯ~(~), с а (а, Ь). 11роп гедис6оп оГ сЬе всер 1епПсЬ Ь (спсгеазе оГ $сГ) сЬе арргохипа6оп еггог арргоасЬев гаго аз Гав! ав Ьз, во че Ьаче а шесЬод оГ огдег 2.
!Г сЬе зиррогс аЪзссззав хс, ! = О, 1, ..., и, хо = а, х„= Ь аге пос еПиаПу врасед, сЬеп Гисегро!асспП йе ГпсеПгапд Г(х) адП!еад со йПегепс спсеага6оп ги1ев, ашопП сЬеш сЬе опез асчеп Ьу сьаивз. ТЬезе адП Ье девспЬед си Бесс!оп 3.6. ТЬе Хевсоп-Сосез апд ге1асед !опии!аз аге иясаПу пос аррйед со сЬе еп6ге спсеп а1 оГ $псеагассоп [а, Ь], Ьис аге швсеад ивед ш еасЬ опе оГ а соПес6оп о1 виЬспсегчасв Гасо ч ЫсЬ йе спсегга1 [!~ Ь] Ьаз Ьееп дсчсдед. ТЬе ГиП сисеПгас $з йеп арргохипасед Ьу сЬе яип оГ сЬе арргохипасюпв со йе зиЬ$псеПга1з. ТЬе!осаПу ивед спсеагассоп ги!е сз ваЫ со Ьаче Ьееп ехгепдед, асзспП иве со а соггевропдспа соисроз1се ги!е.
сйге ргосеед со ехапипе поше сопсроясе ги!ев оГ сЫз !Пи!с. ТЬе сгарехосдас ги1е (и = 1) ргочсдев сЬе арргохипасе за1ие Ь 1;:= — [1(х!) + Г(х!ь !)] 130 3 Тор|ее 1п Согезгагеоп 1Г Х !в ечеп, СЬеп 5!псрзоп'в ги1е гпау Ье арр1!ед Со еасЬ виЬгпСегча1 [хг ха+ г хг ь г] ! = 0 1, ..., Х!2 — 1, !пд!ч!диа!!у, у!е1д!па йе арргохг- таС!оп (Ь!3)(Г(хг,) + 4Г(хгеь г) +Г(хгььг)).
Бшпгп!пд йезе Х/2 арргохр гпаС!опз гези114 ш йе сопгрогдСе чегяоп оГ 5ипрзоп'з ги1е, 5(Ь) = — [ Г(а) + 4Г(а + Ь) + 2Г(а + 2Ь) + 4Г(а + ЗЬ) + ". 3 + 2~(Ь вЂ” 2Ь) + 4Г (Ь вЂ” Ь) + Г(Ь)], Сог йе епг!ге !пгегча1. ТЬе еггог оГ 5(Ь) гз йе зшп оГ а1! Х/2 !пд!ч!див! еггогз .ь Г,з сн1г~ — г ! ь ! 2 снег~- г 5(Ь) — ~ .Г(х)дх — — Х Р )(с;) — Х Г К,), апг1 ьче сопс!иде, !изг аз ьче дЫ Гог йе СгарегоЫа! вшп, йаг ,ь 5(ь) — ( Г(х) их = — — — ь~Г'~'(с), с в (а, ь), ргочЫед Гв Се[а, Ь].
ТЬе гпеСЬод !в СЬегеГоге оГ огдег 4. Ехгепд!па СЬе ги!е оГ !пгеагаг!оп М(Ь) ш (3.1.5) Ьаз а гегпаг1саЫе еГГесг: аЬеп сЬе арргохапас!опв со йе !пд!ч!диа! зиЪ!псеага!в Г(х)дх Гог1=0,1,...,Х вЂ” 1 аге аддед ир, аН йе "!пгег!ог" депчаССчез Г'(х;), 0 <! < Х, сапсе!. ТЬе Го1!оьч!па арргохипасюп со сЬе епс!ге !псеага! 1в оЬсашед: Гг(Ь):= Ь ~ — — + Г(а + Ь) + +Г(Ь вЂ” Ь) + — -~ + — [ Г'(а) — Г'(Ь)] ( Г(а) Г(Ь)1 Ьг 2 2 ~ 12 = Т(Ь) + — [ Г'(а) — Г'(Ь)]. ТЬгв Гоппи!а сап Ье сопвЫегед ав а соггесг!оп Со йе СгарегоЫа1 вшп Т(Ь). 1С ге1агев с1озе!у Со СЬе Еи1ег-Мас!аппп вишгпаг!оп Гогпси!а, гчйсЬ ад11 Ье д!зсивзед ш Бесг!оп 3.3 [вее а1во БсЬоепЬега (1969)]. ТЬе еггог Гогпш!а (3.1.6) Гог М(Ь) сап Ье ехСепдед Со ап еггог Гогпш!а Гог йе сопгрогдге ги1е Гг(Ь) гп йе васпе ГавЬ!оп ав ЬеГоге.
ТЬив .ь (3.1.8) ГГ(Ь) — ~ Г(х) дх = — — — Ь4)ао(с) с а (а Ь), 720 ргочЫед Г в Се[а, Ь]. Согпраппа йгз еггог ьч!СЬ йаг оГ СЬе !гарево!да! зшп, ьче пасе йас СЬе огдег оГ СЬе пгеСЬод Ьаз Ьееп ппргочед Ьу 2 ьч!СЬ а пишпппп оГ адд!С!опа1 еГГогг, пагпе1у йе согпригагюп оГ Г'(а) апдГ'(Ь). 1ГСЬеве Сьчо Ъоипдагу дег!чаг!чез аге 1споьчп Со аагее, едр Гог рег!од!с Гипсг!опв, СЛеп СЬе !гарево!да! зшп ггве!Г ргочгдев а гпейод оГ огдег аг 1еазг 4. 131 Х2 Реапп'а Еггпг Пергеаепгаопп Кер1ас!пд Г'(а), Г'(Ь) Ьу д!ГГегепсе е!по!!епгв пг!ГЬ ап арргохппа6оп еггог оГ впГас!епг!у Ь!дЬ огдег, зге оЬсаав ягпр1е пюд!ГгсаГ!опв [" епг1 соггес!!опв": вее Непг!с! (1964)] оГ гЬе !гарево!да! янп згЬ!сЬ до по! !пгго1гге дег!ггаг!ггев Ьпг в6!1 1еад го пгегЬодв оГ огдегв ЬГдЬег гьап 2.
ТЬе Го11оиг!пд гапапг оГ йе Ггарего!да1 япп !в а1геаду а гпейод оГ огдег 3: т(Ь) = Ь(,У(о) + Н Г(о + Ь) + Г(о + 2Ь) + " +Г(ь — 2ь) + т(ь — ь) + Ы(ь))). Рог гпапу адй6опа! !пседгагюп гпегЬогЬ апд гЬе!г вувгепгаг!с ехапппа6оп все, Гог !пвгапсе Рагдв апд йаЬ!попг!гх (1975), 3.2 Реапо'к Еггог КергекепГаг1оп А11 !псераг!оп гп1ев сопядегед зо Гаг аге оГ йе Гопп пг гп (3.2.1) Г('):= ,'г аапГ(хап)+ 2 аа, Г'(ха,)+" + 2 аа„гво(ха„). а-и ТЬе !пгедгаг!оп еггог ге(Г):=Г(Г) — ~ Г(х) дх (3.2.2) !в а 1!пеаг орегагог Й(аГ+ ГГд) = иК(Г)+ ГГК(д) Гог Г,да Гг, а, !Га Й оп вогпе вп!гаЫе 1!пеаг Гппс6оп врасе 1'.
Ехагпр!ев аге Гг = С"[а, Ь], йе врасе оГ Гппсгюпв адй соп6ппопв лгЬ депча6чев оп йе !псепга( [а, Ь], ог 1'= П„, йе врасе оГ аа ро1упоппа1в оГ дедгее по дгеасег йап л. ТЬе Го!!огвпщ е!екпс пмедга! гергевепга6оп оГ гье еггог !Г(Г) !в а с1авяса! гевп11 дпе го Реапо: пгЬеге 1 ](х — г)' гТх> г, К(г):= — я.[(х — г)",], (х — г)"+:= л! * +' + (О !Гх<г, алд К„[(х — Г) е] Йелогез гЬе еггог оГ'(х — г)~ гпЬел гЬе 1апег гв полз!дегегГ аз а)илсг!ол !л х.
(3.2.3) ТЬеогепх йиррозе ге(Р) = О ЬоЫз Гог аа ро!улот1а!з Р а П„, йаг !з, епегу ро!улот1а1 геЬозе гГедгее Иоез лог ехсеед л гз !лгедгагег! ехасг!у. 77гзл Гог а1! Гипс!!олз7 в С" г[о, Ь], я(Г) =] Ги"'>(г)К(г) й, а !32 3 Тор1гз 1п ги1екгаоеп ТЬе Гппсооп К(г) В са!!ед йе Реаио Ггегие! оГ гЬе орегаГог Я. ВеГоге ргочгпа йе йеогеш, зче плП 111вспвв Ьв арросаооп ш ГЬе саве оГ 5ппрвоп'в ги!е ,! !1(Г) =,- 'Г( — 1) + -', Г(О) + —,' Г(+1) — ~ Г(. ) Гх. ' — 1 Фе поге Маг апу ро!упоппа! Р и П В ш1едгавед ехасИу, 1пдеегГ, !ег Д е Пз Ъе йе ро!упоппа! ччй Р( — 1) = Д( — 1), Р(0) = Д(0), Р(+1) = Д(+ 1).
РиШпк 5(х):= Р(х) — Я(х), зче Ьаче К(Р) = Рг(5). 5!псе 1Ье деагее оГ 5(х) ь по кгеагег гЬеп 3, апг! япсе 5(х) Ьав йе 1Ьгее гоогв — 1, О, + 1, Ь шпвг Ье оГ 1Ье Гопп 5(х) = а(х — 1)х, апо .1 !1(Р) = Д(5) = — а ) х(х' — 1) г(х = О. ' — 1 ТЬпв ТЬеогеш (3.2.3) сап Ье арр!1ег1 зч~й и = 3. ТЬе Реапо Ггегпе! Ьесошев К( ) р ((„)з) ,1 =- —,'(-1-г)', +-',(О-г)', +-,'(1- )', — ~ (. — )', ~ Ву дейпгтгоп оГ (х — г)", зче йпд гьаг Гог г и [ — 1, 1! (1 — г)' )з,1 ! („)з Г„ 4 )з О (1 г)з (1 )з 3 ) 0 1Г г 3 0 ( ' ! — гз 11!<0. ТЬе Реапо Ггегпе1 Гог 5ппрвоп'в гп!е ш 1Ье гпГегча! 1 — 1, +1! гв ГЬеп )чгг(1 — г)'(1+ Зс) 1Т 0 < г < 1 )К( — г) 1Т вЂ” 1 < г < О.
Ркоок ог Тнкокам (3.2.3). СопвЫег 1Ье Тау!ог ехрапяоп пах) ас х = а: Га1(а) (3.2.5) Дх) =Г(а) + Г'(а)(х — а) + + —;- —. (х — а)" + г„(х) 1!в гешашдег гепп сап Ье ехргеввегГ ш 1Ье !опп ,х ,Ь г„(х) =, / Г1"+ "(г)(х — г)" 1Гг = —, ( Г1"+"(г)(х — г)" 1Гг.
и! и! Арр!уша йе 1шеаг орегавог Рх го (3.2.5) агчев 11261 Я(1)-Я1З- — и!$1"'"1гг.* — ~Г, Ф), 1 япсе й(Р) = 0 Гог Р е П„. 3.2 Реапо'ь Еггог пер||чьи|а«оп 133 1п опсег со сгапвГоггп |Ыв гергевепсас!оп оГ И(7') шсо |Ье |сев!гег! опе, сче Ьаче со !псегсЬапае йе !г„орегасог «и|Ь сЬе !псе«гас!оп.
То ргоче |Ьас сЫв !псегеЬапае |в 1еаа1, ьче вЬо|ч Пгвс |Ьас (3.2.7) — —, ~ / .ГР"' "(с)(х — г)~ г(г = 1 .Г" 'п(г) — 1(х — г)",] ьсг Гог 1 < Г| < л. Рог /г < л й|в ГоПоьчв птипе|1!асе1у Гго|п йе Гас| |Ьас (х — с)" |в и — 1 сипев еоп6ппопв!у г)!ГГегепс!аЫе.
гог !1 = л — 1 «е Ьаче |п раг6еи1аг Г~ — | Г ь .ь Г -~ „—, ~~ Г'"'г|(с)(х — с),' |Гс~ = ( Г'"'г|(г) — „, 1(х — с)",]ьсг 'а ьсх" ап|С йегеГоге , Г~- г .ь ! .ь — ! Г'""|(г)(х — гу, Гг~ =и! ~ Г'"'п(с)(х — с), Гг х" 'а = и! ~ Г'"'п(с)(х — с) |Гг.
'а ТЬе Га||ег !пгеага! !в сППегеп6аЫе ав а Гппе6оп оГ х, япсе йе СпгеагапгС !в !о!п|1у еоп6пиоив ш х апгс г; Ьепее ,—" 1,"; —,1! гв "М( — Г, а!||! = иЦ« "(х)(х — х) + и! ~ Го+о(с) |Гг ь = ~ .Гь'"(с) — 1(х — с)ь] |Гг. ьсх ТЬив (3.2.7) Ьо!6в а1во 1ог Гг = л. Ву (3.2.7), йе г)!ГГегепг!а1 орегаСогв Гь |Гх" Гг = 1, ..., л, сопшппе «Пй !псе«гас!оп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
