Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Весапве 1(Г) = Г„(Г) !в а Ппеаг еошЪ|пабоп оГ сПйегеп6а1 орегасогв, П а1во еоппппсев чч!|Ь !псе«гас!оп. г!паПу сЬе еопсшшсу ргорег6ев оГ |Ье !псеагап6 Г'"'"(г)(х — с)ь аге впсЬ |Ьас |Ье ГоПочч!па с«о !псе«гас!опв сап Ъе !псегеЬапаегс: ь Г.ь Г 1!/""чг — г, 1*-!гв" ыр!| — г, *1 'О 'Я 'а 'О Т!пв йеп вЬосчв сЬас сЬе еп6ге орегасог !г„соппписев «ПсЬ |псе«гас!оп, ап|Г гче оЬ|а|п йе |сев!гег( гевп!С ь ГС(Г) = —, ~ 7<" г|(с)П„((х — г);) Гс. Г:) и| 134 3 Тоо144 '1о гогььгапоп ЬГоге йаг Реапо'з гогеПга1 гергезепгаПоп оГ гЬе еггог гз по! гезгпсгегГ го орегагогз оГ гЬе Гопп (3.2.1).
1с Ьо!сЬ Гог аП орегагогз К Гог зчЬГсЬ ГГ„ сопипигез «игЬ шгеагаг1оп. Рог а зпгрпгПпП1у 1агПе с!азз оГ 1п!еПгаГгоп ги!ез, йе Реапо Ггегпе1 К(г) Ьаз сопзгапг зГПп оп [а, Ь). 1п йгз сазе, йе гпеап-ча!ие гЬеогеш оГ шгеага! са1си!«з а1чез .ь (3.2.8) Г!(Г) =Г1" "(с) ~ К(г) ьГг Гог зопге с я (а, Ь), 'а ТЬе аЬоче гпгедга! оГ К(г) ЬГоез пог гГерепгГ оп Г, апг1 сап гЬегеГоге Ье гГегегпипегГ Ьу арр!уша П, Гог шзгапсе, го гЬе ро1упопиаЩх):= х"' '.
ТЬГз ПГчез Г! (3.2.9) К(Г) = — Гз"'"(с) Гог зоше с а (а, Ь). (и+ 1)! 1п йе сазе оГ ЯГшрзоп'з ги1е, К(г) > 0 Гог — 1 < г < 1 Ъу (3.2.4). 1п аг(Й Поп 1[г.1 4.0 1 1 ~ 41 41 — 24(з ' з ' з ' — [ = 9 зо йаг зче оЬга1п Гог йе еггог оГ РПпзрзоп'з Гогпш!а зХ( — 1) + ~ьУ(0) + У(1) — ~ Г(с) 1Гг = Гь Г1~ф), с и (а, Ь).
' — 1 Я„(х" ' ') (и + 1)! — †.Г'" ~1(с) 1Ти Гз огЫ, Я„(Г) = (и+ 2)! — - Г1"'21(с) гт и гз ечеп. с а(а, Ь), РГпаПу, зче пзе (3.2.9) го ргоче йе гергезеп!аПоп (3.1.6) оГ ГЬе еггог оГ 1пьеагабоп пз!е (3.1.5), зчЬГсЬ зчаз ЪазегГ оп сиЬгс Неппйе гпьегро!аПоп. Неге Ь 12,Ь ЯЯ = — (Г (а) + з' (Ь)) + — (з '(а) — з '(Ь)) — ) з (х) 1)х, Ь:= Ь вЂ” а, 2 12 зчЬГсЬ чашзЬеь Гог аП ро!упопиа!з Р а П, . Рог и = 3, зче оЬгаш йе ГоПозчшК Реапо Ггегпе1: 1п аепега1, гЬе !хГезчгоп — Согез Гогпш!аз о!43еПгее и Гпгеагаге зч11Ьои! еггог ро!упопиа!з Р а П„ЬТ и Гз огГЬГ, апгГ Р ь П„„И' и гз ечеп (зее Ехегсгзе 2). ТЬе Реапо 11егпе!з Гог йе !з!езчгоп-Согез !опии!аз аге оГ сопзгаги зги [зее Гог гпз!апсе ПГеГГепзеп (1950)), апгГ (3.2.9) сопйппз ГЬе еггог еьГипаГез гп Бес!гоп 3.1: 135 ХЗ 77>е Еп!ег-Маесаппп Бппппааоп Гого>п!а ц«) >!с (( )з ) Ьа ь - ! $->> — ~>>~- >ь — >>>>+ — с — >>> — а — >>>> — > > — >> а*] а (Ь «) (Ь «) 4(Ь «) 1Ь 3 Ь 2 1 6 [2 4 ( Ь ) а 8!псе К(«) < О >и сЬе !псегча1 оГ !псе8гасюп [а, Ь], (3.2В) а арр1!саЫе, %е йп«$ Гог а = О, Ь = 1 «Ьас >г(х") 4> З4(Х 1 + ГГ ( — 4) з) = ага.
тыла ь (Ь вЂ” а)з ' Гсь>(~) 24, 72О Гог Га С [а, Ь], « Ь~сЬ >паз со Ье зЬо>зп. 3.3 ТЬе Еи1ег-Мас]аппп Япспспа11оп Гоппп1а ТЬе еггог Гоппп1аз (3.1.6) апгс (3.1.8) аге !осе-огг(ег >пвсапсез оГ сЬе Гап>опз Еп1ег-Мас!аппп вшпп>ааоп Гоппп!а, е«Ь!сЬ >п !«в яп>р!евс Гопп геа«Св (Гог д а С'"' [О, 1]) > О 1 (3З.1) ] д(«)Г«=- — +- — + 2.' — ",(дсп "(О) — д"' "(1)) г г,, (г!)! аа ьа >ге+а>р О < ~ < 1 (2т+ 2)! Неге Вь аге «Ье с!авяса1 Вегпои!В питЬегв (3.3.2) Ва = ~а, Вь = — з>в, Ва = хсг. Ва = — вся " >зЬозе 8епега1 ссейп!с!оп «>!11 Ье 8!реп Ье(о>г. Ехсеп«Г!п8 (3.3.1) со Ьв сопсров>се Гопп ш сае запъе п>ау ав (3.1.6) >газ ехсепгсед со (3.1.8), ъче оЪсаш Гог д е Са'"+ «[О, !>Г] ~ д(«) Г«= — +д(1)+ "+д(Ьà — 1)+ д(О) д(ЬГ) о 2 2 Вг> + Е 2' ( са>-!>(О) >2>-»(ЬГ)) ,, (г!)! д а С~ Ь«д>а„+а>( ) О < ~ < !>Г (2т+ 2)! 13б 3 Тор!па пп Спсозсааоп Кеаггапфпд йе сеппв оГ йе аЬоме Гогпш!а сеадз со сЬе пювс Ггесспепссу ргезепсед Гопп оГ йе Еп(ег — Мас!аппп вппппадоп Гоппи1а; (3.3.3) д +д(!)+" +д(Ьà — !)+ д 2 2 ,Ю ,(г) дг + а; а! (дсас- сь(ЬГ) сас- с!(О)) о ,, (2!)! + 3»+! аг съ ьа!(!) О < а < ЬГ (2а+ 2)! Рог а депега1 ипсГогш рагс!с!оп х, = а + сЬ, !' = О, ..., Х, хч = Ь, оГ йе спсегха! Га, Ь1, (3.3.3) Ъесогпез .ь Вп (3.3.4) Т(Ь) = ~ Г(г) й + ,'!" Ь!'- — ~'-(Гса! "(Ь) — Гса! "(а)) ! ! (2!)! + Ьать! 2асг2 (Ь )Гс! ! а!(ьь) (2пь + 2)! а < с,' < Ь, ьоЬеге Т(Ь) депосез йе сгарегосда1 вшп (3.!.7) Т(Ь) = Ь~ — — + Г( + Ь) + " + Г (Ь вЂ” Ь) + — -~.
/7' (а) Г(Ь)1 2 2 1п сЬсв Гопп, сЬе Еп1ег-Мас!аппп випппасюп Гоппп!а ехрапдв йе сгарегоьч да1 вшп Т(Ь) сп сеппз оГ йе зсер 1епасЬ Ь = (Ь вЂ” а)7ЬГ, апд Ьегеш 1сев Ьв ппрогсапсе Гог опг рпгровев: йе ех!зсепсе оГ впсЬ ап ехрапгдоп рисз ас опе'з д!врова! а адде агвепа1 оГ росоегГп1 аепега! "ехсгаросасюп шесЬодз," срЬссЬ чч11 Ье д!вспззед ш впЬзес!пепс зесдопв. Ркоор ор (3.3.1). %е ичП пве шсеагас!оп Ьу рагсв апд зпссеззЬсе!у десегпппе ро1упопиа!в В,(х), згагС!пц ичСЬ В,(х) = х — тс, впсЬ СЬаС ! „! (3,3.5) ! 1 .! — Вь(г)дсь с!(г) — — ( Вь(г)дсь!(с) дс, о " о В„,(с)да "(г) й = о а Ьеге В,',,(х) = (!с+ 1)В„(х), /с = 1,2,.
(3.3.6) ) д(с)дг= о ,! В,(г)д'(с) й = о В,(г)д(с) — ( Вг(с)д'(г) й, о 'о ! 1,! — Ва(с)д(г) — — / Ва(г)д (г) дг, о 2 о 137 З.З Тае Еп!ег — Мае1аппп Бшпгпаггоп е"оппп1а зчЬ!СЬ гГегегпз!пе 1Ье ро1упоппа!в В,(х) ипщие!у. 1пг(еаза, ЗГ Вг,,(х) = хг' '+ сг, гхг' +" + с,х+ со, 1Ьеп, чч!ГЬ !пге8гаг!оп сопЯапгв с апг$ еГ, з+ г (2! + 1)2! гг Вгф~-г(х) х +" ) сг~ ах '+" +(2!+ 1)сх+ !. Вп„(0) = 0 гег!шгев еГ = О, апг( Вя„(1) = 0 г)егеггп!пев с. ТЬе ро1упопна1в Во(х) я 1, В,(х) ва х — ~г, Вг(х) я х — х + ~а, Ва(х) пах — 2х + х — зя Ва(х) еп х гх + гх аге Ггпозчп ав ВеглоиИ! ро!улолиаГя ТЬегг сопв1ап1 1еппв В, = В„(0) аге ГЬе ВегпоиПЗ пигпЬегв (3.3.2).
А1! Вегпои1!! пипзЬегв оГ огЫ 1пгГех Гг > 1 чап!вЬ Ьесаиве оГ (3.3.7). ТЬе Вегпои!!! ро1упопиа!в ваг!вГу (3.3.8) ( - 1)"В„(1 — х) = В„(х). ТЫв Го!!озчв Ггогп ГЬе ГасГ 1ЬаГ 1Ье ро!упопиа1в ( — 1)аВа(1 — х) ваг!вГу 1Ье валге гесигяоп, папге!у (3.3.6) апг$ (3.3.7), ав ГЬе Вегпои!1! ро1упогпгаЬ В,(х). 8!псе ГЬеу а1во вгагг оиГ 1Ье вагпе, ГЬеу гпивг согпсЫе. ТЬе ГоИоччпщ ге!агюп — ггие Гог огЫ !пгГ!Сев lе > 1 Ьу (3.3.7) — сап почч Ье гпаг(е Вепега1, япсе (3.3.8) евваЫ1вЬев Ь Гог ечеп й: В,(0) = В„(1) = В, Гог Гс > 1. (З.ЗВ) ТЬ!в 8!чев ,г 1 В„(г) еГг = -- — (Вае,(1) — В,а,(0)) = О. о (3.3.10) %е аге позч аые го согпр1еге 1Ье ехрапяоп оГ ~ д(г) еГг.
'о СопзЬ1п!п8 1Ье йгвг 2гл + 1 ге1агюпв (3.3.5), оЬвегч)п8 1, 1  — В„(г)уи- п(г) = — — '(са-'1(0) — ф"-'1(1)) 11 !в с!еаг 1гогп (3.3.6) 1Ьаг еасЬ ро!упоппа1 В„(х) 1в оГ гГе8гее Гг апг$1Ьас Ьв Ь!8Ьевг-огг(ег гепп Ьав соеГЙСГепГ 1. Сг!чеп В„(х), ГЬе ге!агюп (3.3.6) гГегепп(пев В„„(х) ир го ап агЬгггагу агЫ111че сопвгапг. ЪЧе почв ве1есг 1Ьеве сопввапгв во ав го ваГ!вГу ГЬе а<Ы!1!опа! сопг(!1!опв (3.3.7) Вя„(0) = Вг,~,(1) = О Гог ! > О, 139 34 спСеагаапа Ьу Ехоаро!ааоп ча1ие !в (2ис + 1)Вв (0) = (2иг + 1)Вз„.
ТЬе в!йп о(сЬе 1ассег !в ( — 1)"+' Ьу (3.3.14с). !чсов 1ог сЬе йпа1 вппрййса6оп оГ сЬе еггог сепп (3.3.13). й!псе Вз ез(х) — Вв +г гСом пос сЬапйе ссв в!йп т сйе гпсегча1 оГ !псеагас!оп, сЬеге ехсвсв с, 0 < с < 1, впсЬ сЬас 1 г,„~, = — —, (Вв,„+в(г) — Вз,„ех) й д'~ ~~(ч). г гопс (3.3.10), вю+з (вю+з)р (2 +2)! вЫсЬ согпр!егев сйе ргооГ оГ (3.3.1).
3.4 1пГедгаГ1пд Ьу Ех(гаро1абоп 1есге Сх ' вса, Ь) Ье а геа1 Гппс6оп со Ье !псейгасегс очег сЬе !псегча1 (сц Ь!. Сспв!г(ег сЬе ехрапгйоп (3.3.4) оГ сйе сгарехо!с!а! вопс Т(Ь) оГГ'!п сепах оГ сйе всер 1епасЬ Ь = (Ъ вЂ” а)/и. 11 !в оГ сЬе Гопп (3,4.1) Т(Ь) = г~+ г Ьх+ с~а+" + г Ь~ + а ~(Ь)Ь~ Неге ь г,= 1 Х(г)Гг Р ж СЬе !пгейга1 Со Ье са!си1агегС, зп ( Гх — >(Ь) гс — 1(а)) Взп (2(г)! „„(Ц ~ +~ (Ь а)Гхвп+п(з(Ь)) а < з з(Ь) < Ь (2» +2)! !в сЬе еггог соегйс!епс. БшсеГо + и а сопйпцопв Ьу Ьуросйегйв Ьх сЬе с!овес! йпйе !псегча1 (гв Ь1 сЬеге ехйпв а Ьоипгс Г.
впсЬ сЬас ~~<~"'п(х)! < Г. Гог а11 х я (г~ Ь). ТЬегеГоге: (3.42). ТЬеге ехасз а соизгаиг М, зисЬ гйга /а „(Ь)! «М„„ ~ог аП Ь = (Ь вЂ” а'уи, и= 1, 2, .... 3 Торсов со!о!ох!оооо Ехрапяопь оГ 1Ье Гопп (3.4.1) аге са1!есЕ аеуисргоссе ехраиесоие ш Ь гГ1Ье соеГйсгепсь т„ lс < ис, сЕо пос сЕерепсЕ оп Ь, апсЕ м „(Ь) оаггхйеь (3.4.2). ТЬе оишшасгоп !опии!а оГ Еи1ег апсЕ Мас!аппп Еа ап ехаигр!е оГ ап ахушрсоссс ехрапяоп.
!Г а!1 сЕепчасгчеь оГ Г ехгас ш [а, Ь~, йеп Ьу 1ессспа ги — со, 1Ье паЬ1-ЬапсЕ яс1е оЕ (3.4.1) Ьесошео ап гпйпгсе генея то + т! Ь' + т, Ь + " ТЬсь росчег оепео шау сЕгчегае Гог апу Ь ~ О. Ь!ечегйе1еоы Ьесаихе оЕ(3.4.2), ахушр1осгс ехрапяопь аге сараЫе оГ уге1сЕЕпд Гог япа11 Ь гехи!со иЬ!сЬ аге ойеп ьиГйссеп1!у ассига1е Еог ргасггса! ригроьеь [атее, Гог спь1апсе, Еп1е1у! (1956), О!чег (1974)~. ТЬе аЬоче гехи!1 (3.4.2) ьЬоасх йаг йе еггог сепп оГ йе ахушрсоггс ехрапяоп (3.4.1) Ьесошеь япа!1 ге!а1сче го 1Ье ойег гегпь оЕ (3.4.1) аь Ь сЕесгеахея ТЬе ехрапяоп 1Ьеп ЬеЬачео!!!се а ро!упоииа! гп Ь' счЬгсЬ уге!сЕь йе ча!ие то оГйе 1псеага! Еог Ь = О.
ТЬсх хиеаеогь йе Го!!осчгпд пгейос1 Гог ГгпсЕспЦ то'. рог еасЬ ь1еР 1епай Ь; сп а ьесЕиепсе "о Ьо Ь2 . Ьт л! и "о Ьо=Ь вЂ” а, Ь,= и! исЬеге и,, лт, ..., и аге япс11у 1псгеаыпа роы1ие 'сп1еаегь, сЕесепи1пе йе соггеьропсЕЕпа!гарегогсЕа! аппо То:= Т(Ьс), ! = О, 1, ..., ис. 1.е1 апсЕ 1ег Та:= Т;„(О). ТЬе гесигыоп !опии!а (2.1.2.7) Ьесошее Гог х;.= ЬГ: Т,„,— Тс .., Ь! „ (3.4.3) Т (Ь):=ао+ а,Ь'+ ". +а Ьт'" Ъе йе шсегро!а!!па ро1упопиа! !п Ь~ ис!1Ь Т„(Ьс) = Т(Ь;), !' = О, 1, ... „ис, апсЕ 1а1се йе "ех1гаро!а1ес1" ча1ие Т ~О) ах йе арргохипа11оп 1о йе с!ее!тес! гп1едга! то. ТЬыпесЬосЕ оГ шсеага1юп га Ьпосчп ав КогиЬегд сигедга- гсои, Ьачша Ьееп гпсгосГисесГ Ьу КошЬегд (1955) !ог йе ьресга! еесЕиепсе Ь, = (Ь вЂ” а)/2!.
11 Ьаз Ъееп с!оке!у ехапипесЕ Ьу Ваиег, КиссьЬаикег, апсЕ $1сеЕе! (1963). Меч!!!е'ь спсегро1агюп а!аопсЬш га раПгси!аг!у счеП ьи11ес! Гог са!си!ассах Т (0). Еог гпс11сеь г, lс ас11Ь 1 < /с < ! < а, 1ег Та(Ь) Ье йе ро!упопиа! оЕ сЕеагее ас шоь1 !с сп Ьт Гог счЬссЬ та(Ь!) = Т(Ь!), 7' = 1 — А, !' — Гс + 1, ..., с, 3.4 гпгеезаопа Ьу Егоаро!апоп 141 11 юз!11 Ье аг(чапгааеопв 1о аггапае 1Ье зпГегтег(!аге ча!пев Та из йе гг!апаи1аг саЫеаи (2.1.2.4), зчЬеге еасЬ е!епзепс г(епчев Ггот !1в гччо!е(1 пе!ВЬЬогв: "о Т("о) = Тоо Т„ Т(Ь,) = Т, Ь', Т2 2 Тз з 1зз Т(Ь2) = Т20 !22 зз Т(Ь,) = Тзо (3.4.4) 12 "з Ехлми.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
