Stoer, Bulirsch - Introduction to Numerical Analysis (523187), страница 15
Текст из файла (страница 15)
!и еасЬ о) йезе сазез, йе вРПпс )илсГГоп Яь(У; ) Гз ил!4ис!У Иесеггл!лег!. ТЬе ех!вгепсе оГ висЬ зрйпе Гппсйопв чай! Ье вйоьвп !п Яесгюп 2.4.2. Ркоок 1п еасЬ оГ гЬе айове гЬгее сазез (2.4.1.5а, Ъ, с), гЬе ехргеввюп и ( Г (х) Яь(х)фь(х)~» ~Г ( Г(х) Яь(х)фь(х) ~ 2 = О 1=1 чап1зЬев ьп йе НойаьГау Ыепг(гу (2.4.1.4) !Г Яь аз Яь(у; ). ТЬ(в ргочев гЬе пнпппшп ргореггу оГйе вр11пе Гппсгюп Яь(у; ).
1гв пп!г!иепевв сап Ье вееп ав Гойтх: зпррозе 5ь(у;.) !в апогЬег зрйпе Гппсг!оп Ьач!па гЬе вагпе ргорепйев аз Яь(У; ). Г.егг!па Яь(У; ) р!ау гйе го1е оГ гЬе ГппсПоп Ге М"'(~ Ь) !и гЬе гйеогепь, гЬе ппшпппп ргореггу оГЯь(у; ) гег!шгев гЬаг Вс (У..) 5 (У.,Иа Д(У.,иа !!5 (У.,)!!а > О апгГ япсе Яь(У; ) апд Яь(У; ) гпау згг!гсЬ го!ез, ь ~~Яь(У; ) — Яь(У; Из = 1 (5л(У; х) — Яь(У; х))2 Дх =О. а ййпсе 5ь(У; ) апгГ Я,",(У; ) аге ЬогЬ сопПпиоив, яь(у; х) ьв яь(у; х), Ггопг ьзЬ!сЬ Яь(У; х) аа Яь(У; х) + сх + Ы Гойогвв Ьу !псеагаг!оп. Виг 5ь(у; х) = Яь(у; х) Ьо!сЬ Гог х = а, Ь, апг! 1!Па ппрйез с = И = О.
П ТЬе гп!пйппгп-попа ргореггу оГ гЬе зрйпе ГппсПоп ехргеззег( ш ТЬеогет (2.4.1.5) ппрйев ш сазе (2.4.1.2а) гЬаг, алгола ай Гппсг!опв Г!и М"а(а, Ь] гв!ГЬ Г(х;) = у,, ! = О, 1, ..., л, П !в ргеаве!у йе зрйпе Гипсйоп Яь(у; ) гг!ГЬ Бь(у; х) = О Гог х = а, Ь йаг ппппп!хев гЬе !пгеага1 (( Г)! = ~ ! Г"(х)(~ 4х. ТЬе врйпе ГппсПоп оГ саве (2.4.1.2а) !в гЬегеГоге ойеп геГеггед го аз йе па!ига! зрйпе Гппсг!оп. (1п савва (2.4.1.2Ь) апг$ (2.4.1.2с), гЬе соггевропейпй вр!ше Гппсйопв Яь(У; ) гп1шгп1ге /Щ обжег гЬе шоге гевгг!сгег! вега М"~[а, Ь) алга (У'в М"~(а, ЬИГ(а) = ус, 3''(Ь) — у„') г1 (Г! г(х,) = у, !ог ! = О, 1, ..., л), гезресйче!у.) 'Пге ехргезв!оп !'"(х)(1 + Г'(х)а) ах 97 2.4 гяегро!ааоп Ьу врале Гчпспопв !пгИсагез гЬе спгчагиге оЕ гЬе Еппс6оп Е(х) ас х в [а, Ь!. 1Е Е'(х) В япаИ сошрагег( со 1, гЬеп гЬе сигчагиге м арргохппаге!у егьа! го Е"(х).
ТЬе ча!ие [Щ ргоч!6ев ив гЬеге!оге чбгЬ ап арргохппаге шеавиге оЕ гЬе гога! сигчагиге оЕ гЬе Еппс6оп Е !и гЬе !пгегча1 [а, Ь). !п 1!Из зепве, гЬе па!ига! вр!ше Еппсгюп 1в йе "япоогЬевг" Еппсгюп го !пгегро1аге а!чеп виррогг ро!пгв (х;, у;), ! = О, 1, ..., л. БрИпе Еппсгюпв Ьаче Ьееп аепегаИзеб ш гпапу юаув. лог !пвгапсе, ро1упопна1в оЕ г1еВгее Ег аге изей со бебше зрИпе Еппсгюпв 5в а С~ 'Га, Ь! оЕ деагее И ав р!ессеи!зе ро1упопна! Еапс6опв в11Ь соп6ппопз (~с — 1)-гЬ депчаг!чев. А!1 йеве йшсгюпв зЬаге гпапу ргорег6ев швее Огеч!!!е (19б9), бе Воог (1972)3 е!1Ь ЕЬе спЬ!с врИпев сопябеге6 !и Вбв апб гЬе пехс гчго вес6опв. 2.4.2 Е.ге1егш(п(пВ 1п1егро1а6пВ СОИ(с БрИпе аппо!!опв 1п 6пв вес6оп, яе чч!11 бевсИЬе сошрпгаг!опа1 шегЬгл(в Еог сне!епп!и!па сиЬ!с вр1ше Еппс6опв вЬ!сЬ азяипе ргезспЬеб ча1пез аг гЬе!г Еспогв апд ва6вЕу опе оЕ йе вЬ1е сопгИ6опв (2.4.1.2).
!п гЬе соигзе оЕ йы, чче чИП Ьаче а1во ргочед йе ех1вгепсе оЕ зисЬ зрИпе Еппсгюпв; йе!г ипщиепезв Ьаз а(геагЕу Ьееп езгаЪИзЬе6 Ьу ТЬеогеш (2.4.1.5). 1п яЬас Ео!!оюв, А = (х, ! ! = О, 1, ..., л) чгН1 Ье а Ивет раг66оп оЕ йе шГегча1 [а, Ь] Ьу Егпозз а = х < х, « " х„= Ь, апд У = (у, ~ ! = О, 1,..., л) тчВ1 Ье а вег оЕ л + 1 ргезспЬед геа1 пшпЬегз.
1п айИЕ!оп 1ег Ь,, г:=хзч, — х;, 7' = О, 1, ..., л — 1. %е геЕег го йе ча1иез оЕ гЬе зесопд бепча6чез ас !слога х; е Л, (2.4.2.1) М>:= Яв(У; хз) Е = О, 1,..., л. оЕ гЬе дез!ген врИпе Еппсбоп Яв( У; ) аз йе ллллелгв М, оЕ 5в(У; ).
%е ч611 вЬоп гЬаг врИпе Екпс!!опз аге геагИ!у сЬагасгепзед Ьу гЬе1г пюшепгз, апг! гЬаг гЬе шошепгз оЕ гЬе Епгегро1а6пд врИпе Еапс6оп сап Ье са!си!а!ей ав йе во1п6оп оЕ а вувгеш оЕ 1шеаг ег!маг!опв. Хосе гЬаг гЬе весопг$ депчаг1че Яв(У; ) оЕ йе зрИпе Еипс6оп со!псЫез чбй а Ипеаг Еппс6оп ш еасЬ Епгегча1 [х>, х;, Д,7' = О, ..., л — 1, апб гЬаг йезе Ипеаг Еппсгюпв сап Ье девспЬегЕ !п геггпз оЕ гЬе шошепгз М, оЕ Я,(У; ): х>~, — х х — х; Я,",(У; х) = М,-'-+- — + М;~, — — ' Еог х е [х;, хг~Д.
~-~г >.1 Ву !пгеагаг!оп, (х — х) (х — х ) (хзч, — х) (х — х;) Яв(У; х) = М - — '+- - -- — + М вЂ” — — — ' + А (х — х ) + В бЬ 6Ь. /ч 1 зч1 2.4 ! пге»ро!ааоп Ьу Брйпе Рпппаопа Гог 1' = 1, 2, ..., л — 1, 1че Ьаче ГЬегеГоге Яа(У;ху ) = — — — + — Му+ — Му „ у, — у, , Ь, Ь, апд в!псе Яа(У; ху') = 54(У; хз ), (2.4.2.5) — 1 М1 — '- у+ ' М вЂ” ! — +' Му е /+1 1 Саяе (а): Яа(У; а) = Мо = О = М„= Яа(У; Ь). Сазе (Ь): 54(У; а) = Яа(У; Ь) Мо = М„, 54(У;й)=54(У;Ь)~ М» — 1+' М»+ Ь„ Ь„ + Ь, Ь, У1 У» У» У»-1 ТЬе 1аггег спой!гоп 1в Ыепг1са! плгЬ (2.4.2.5) Гог ) = л 11 1че рШ М„„:= М,, У„„:= У,.
КЕСаП ГЬа! (2.4.1.2Ь) ГЕ11ШГЕВ У„= Уо. Созе(с): 54(У1а)=уо 5 Мо+ Ь М~~= Г, Уо. У1 Уо "1 5„'(У; Ь) =у„' — М„, + — М„= у„'— Ь» Ь» У» У» — 1 » ТЬе 1ав! гп1о егГпаг1опз, ав ччеН аз гЬове ш (2.4.2.5), сап Ье зчг1ггеп Гп а сопппоп Гоппаг: ц М; 1 + 2М1 + А;Му+ 1 = 1Г,, !' = 1, 2, ..., и — 1, прои !и!го!Гас(па гЬе аЬЬгечгаг(опв Ьу»1 Ь! А1'=- —— ру =1 — 14 =— Ь,+й>„' ' ' Ь,+Ь„, (2.4.2.6) б (У1» 1 — У, У вЂ” У! Ьу+Ь,»,1 Ь,, Ьу ( Г = 1, 2, ..., л — 1.
Гог у' = 1, 2, ..., л — 1. ТЬезе аге и — 1 егГиаггопв Гог ГЬе л + 1 шйпоччп шогпепгз. Тччо ГпгГЬег е11иаггопз сап Ье ааше4$ верахаге1у Ггогп еасЬ оГ гЬе вЫе сопй!1опз (а), (Ь), апеГ (с) 1!в!ей ш (2.4.1.2). 2 Гшегро!а6оп (2.4.2.8) Ао ' 1. ТЬ1в 1еаг1в ш савев (а) апй (с) со гЬе 1ойоайпй вувгеш о1 11пеаг егргайопв 1ог гЬе шошепгв М,: = ао* Гг ~ г М 1 в + гмл — г + 4 г Ми = (1а — ~ р.м„, + гм„= и„. 1п гпаГпх погайоп, ее Ьаче 0 (2.4.2.9) 2 г 0 ТЬе рег1ог11с саве (Ь) а(во гег1шгев 1пггЬег йейп11юпв, (2.4.2.10) юЬ1сЬ гЬеп 1еай го гЬе 1ойоаищ Ппеаг вувГеш о1ециа6опв 1ог гЬе шопгешв М„мв, ..., Мп(= Ме): (2.4:2.11) 1п саве (а), кве тейпе ш айг1йюп (2.4.2.7) Ло '=О, г1о '=0 апг1 1п саве (с) гмо+ гомг Фгмо+ гмг+ 4М, го гг, 2 Л, Фг 2 Ггк г гл 6 (, Ун — У„-г1 в а Мо М, М, Мг ао И, Н, ег 101 24 Спсегро!вс!оп Ьу Бр!и!е Еипсиопв ТЬе соеГйссепСв Л!, Гг!, г1, т (2.4.2.9) апсс (2.4.2.11) аге'гче1! гсейпесГ Ьу (2.4.2.6) апсс сЬе асЫ!йопа! ссейшссопв (2.4.2.7), (2.4.2.8), апс! (2.4.2.10), гевресссче!у.
Хосе т рарйси!аг йас 1п (2.4.2.9) апгс (2.4.2.11) (2.4.2.12) Л, > О, Р, > О, Л,. + Рв = 1 Гог а1! соеГйс!епсв Л!, Гг!, апсс йас сЬеве соеГйссепсз ссерепсс оп!у оп СЬе 1осайоп оГ сЬе 1спосв х; е гс апсс пос оп йе ргевсгсЬес! ча!иез у, е У пог оп уо, у„' сп саве (с). %е чч111 иве сЫв оЬвегчасюп юЬеп ргочт8 йе Го!!ом!!пй: (2.42ДЗ) ТЬеогепк ТЬе вузгепсз (2.4.2.9) ап!Г (2.4.2.11) оЛ'Гспеаг едиайопз аге попвспри!аг Гог апу рагс!!!оп гв оГ [а, Ь|.
ТЪв псеапв йас йе аЬоче вувсеспв оГ 1шеаг ессиассопв Ьаче ип!сСие во1исюпв Гог агЬЬгагу г!ВЬС-Ьапгс вЫев, апсс сЬаС сопвессиепс1у сЬе ргойесп оГ шсегро1айоп Ьу сиЬГс вр1тев Ьав а ипщие во1исюп т еасЬ оГ йе сЬгее сазов (а), (Ь), (с) оГ (2.4.1.2). Ркоор. СопвЫег сЬе (п + 1) х (п + 1) спаспх 2 Л, гс; 2 ггг 2 !с„ 2 оГ сЬе Ипеаг вувсесп (2.4.2.9). ТЬЬ таспх Ьав сЬе Го11ои!Гпй ргорегсу: (2.4.2.14) Аг = сч ~ !пах (г!! < гпах !ис! ! ! Гог ечегУ Расг оГ чесгогв г = (го, ..., г„)г, сч = (йо, ..., !ч„)г, г, сч е й"+'.
Гпссеес$, 1ес г Ье висЬ йас ! г, ! = псах! ! г! !. г гот Аг = сч, г!,г, ! + 2г„+ Л„г„ч, = сч, (фр:=О, Л„'=0) Ву йе ссейшсюп оГ г апг! Ьесаиве Гг, + Л, = 1, тах(сч!! > )и,! > 2(г,! — Гг,(г„г! — Л,(г„+с! > 2 ! г,~ — гг, ) г„! — Л„) г„! = (2 — сг, — Л„) ( г, ! = (г„! =шах(г!! ! 102 2 !пдагро!апоп Биррове ГЬе гиаГПх А дчеге яп8и!аг. ТЬеп йеге дчои1Ь ех!в! а во!иВоп г + 0 оГ Аг = О. апЬ (2.4.2.14) дчои!Ь!еаЬ со гЬе сопггайсг!ои 0 < шах(г,! < О.
ТЬе попяп8и!аПГу оГ ГЬе гпа!Пх ш (2.4.2.11) ь вЬодчп в!ш!1аг!у. Г3 То во1че йе егГиаГ!опв (2.4.2.9), дче шау ргосееЬ ав Го1!одчв: виЬГгасГ р, /2 йпев йе йгвг егГиаг!оп !гоги йе весопЬ, йегеЬу апшЬВаВп8 р„апЬ йеп а ви!гайе ши!Вр1е оГ йе весопЬ егГиаг!оп Ггош йе й!п1 !о апп!Ы!аге р,, апЬ во оп. ТЬ!в 1еаЬв го а "гпап8и!аг" вувгеш оГ ег!иаг!опв вЫсЬ сап Ъе во!чеЬ Ы а вгга!8ЬГГогдчагЬ ГавЬюп (поге гЬаг й!в гпейог! 'ь йе Сдаивв!ап е!ипшагюп а18огЫпп аррВеЬ го (2.4.2.9); согпраге Бес!!оп 4.1): (2.4,2.15) Цо'= — Ьо/2; ио Г=Ьо72' 7 '=0' Еог Гг:=1, 2, ..., и Ьо Ье8!и Р,:= Гддцд д + 2; яд'= пдГрд' ид:= (Ьд — р„и„, )Грд едвЕ; М„:= и„; Гог Гд:= и — 1, и — 2, ..., 0 Ьо М„:= ц» М„,, + и„; (1г сап Ье вЬодчп ГЬаг рд > О, во ГЬаг (2.4.2.15) В дче!! ЬейпеЬ; вее Ехегс!ве 25.! ТЬе !!пеаг вувгеш (2.4.2.11) сап Ъе во!чеЬ !и а в!ш!1аг, Ъиг по! ав вгга18ЬГГогдчагЬ, ГавЬюп.
Ап м.сод. рго8гагп Ьу С. Ке!пвсЬ сап Ье Гоипй ш Ви11гвсЬ апЬ КиОвЬаивег (1968). ТЬе геаЬег сап ОпЬ пюге ЬегаВв ш Сгеч!11е (1969) апЬ Ье Воог (1972), м.сог. рго8гашв !п Негг1ог апЬ Ке1пвсЬ (1971), апЬ коктклм рго8гашв |п Ье Воог (1978). ТЬеве геГегепсев а!во сопса!п !пГоппаг!оп апЬ а!8оПйгпв Гог ГЬе вр11пе Гипс6опв оЕ Ье8гее Гг > 3 апЬ В-вр1!пев, дчЬ!сЬ аге ггеагед Ьеге !и Яесг!опв 2.4.4 апд 2.4.5. 2.4.3 СопчегВепсе РгорегГ!ев оГ СиЬ!с Бр1!пе Риис!!опв 1пгегро(аВп8 ро!упош!а!в шау по! сопчег8е го а ГипсВоп /чгЬове ча!иев йеу !пгегро!аге, ечеп !Г йе рагг!г!опв Ь аге сЬовеп агЪЬгаП!у Впе (вее Бесг!оп 2.1.4).
1п сои!гав!, чче дч!!! вЬодч |п !Ьь весВоп йаг, ииЬег ш!!Ь сопЬ11!опв оп йе Гипсгюп Г апЬ гЬе раггЬ!опв Л, йе !пгегро!аВп8 вр!ше ГипсВопв Ьо сопчег8е СодчагЬв Г'ав йе йпеиевв оГ ГЛе ипЬег!у!п8 рагВВопв арргоасЬев гего. %е дч!!1 вЬочч Гдгвг ГЬа! йе шишек!в (2.4.2.1) оГ ГЛе Гпвегро!аВп8 вр1!пе ГипсВоп соичег8е го йе весопЬ Ьеггчабчев оГ йе 81чеи Гипсгюп. Моге Гйз 2.4 Гпгегро!айоп Ьу арапе рппсаопя ргесве(у, сопв!оег а йхег$ рагй!оп о = (а = хо < х, « " х„= Ь) оГ [а, Ь), апо Гег Ье ГЬе чесвог оГ гпогпепвв М; оГГЬе зрйпе Гппсйоп Яп(У; ) чч1ГЬ|(х,) = уг Гог ~ = 1, ..., л — 1, ав гчеП аз Яп(У; а) =1'(а), 5,(У; Ь) =у'(Ь).
'чч'е аге ГЬпв оеа1!пй чч!ГЬ сазе (с) оГ (2.4.1.2). ТЬе чесгог М оГ гпогпепрв вайвйез гЬе егргайоп юЬ!сЬ ехргевзев гЬе Бпеаг вувге1п оГ егГпаг!опв (2.4.2.9) !и гпаспх Гогпг. ТЬе согпропепГв Иг оГ гГ аге 8!чеп Ьу (2.4.2.6) апо (2.4.2.8). Еев г" апо г Ье ГЬе чесгогз .г (хо) Г "(х,) г:=Ы вЂ” АЕ = А(М вЂ” Р). Г "(х„) %г!г!пй !)г!):=агах, ! г; ! Гог чесгогв г, апо [Л)! Гог Гйе йлелезз (2.4281) !)Ь|):=1пах )х, — х;! оГГЬе рагйГГоп Л, юе Ьаче: (2А.3.2) ГОа С4[а, Ь) алА ! Гхп'(х)! < Г. Гог х а [а, Ь1 гйел !!М-П < И <Р4Л!1. Ркооа. ВУ оейп!Г!оп, го = Ио — 2Г "(хо) — Г"(х,), алга ЬУ (2.4.2.8), й Гуг уо го = — [ — о — уо — 2~'"(хо) — Гп(х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
