Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 49
Текст из файла (страница 49)
СНАРТЕЯ 8 БРАСЕ АХВ Т1)ч(Е Хозя гесаП азот оцг з!!ясцвя!оп 1п СЬе ргеч!оця весзюп СЬаС зче гегСц!ге СЬаС СЬе арргах!шаге во!цяюзз и — з 0 вв т — з оо Е !С!в Со пцшог СЬе во1цС!оп оГ СЬе Й!СГегепС!а! егСцаС!оп Ьве!8 Еяош (8.3,7) зче вее СЬаС СЫя чцП Ье СЬе саве, 1п 8епега1, !! апз) оп!у Е (8.3.10) Вцз Кгопз (8.3.8), в1псе зз > О, ( 1) 0 < гя < 1, (г = 1. ..и, во СЬаг (8.3.10) !пз)еез) Ьо!Ж Мовг ЬпрогзапС1у, зге вес СЬас (8.3.11) !я Сгце Гог апд зз > 0; СЬцв, вшсе зз = сАС/(Ах)в, (8.3.11) Ся Сгце !ог апу гагзо о! АС апг) Ах.
%е вау 1п СЬ!я саве СЬас сЬе шеСЬой !в ипсопзззязопа11у яяаЬ!е, шеашп8 СЬаз Ь зв взаЫе чз!СЬоцС геягпсСзопв оп сЬе ге!аС!че в!хе оЕ АС апз! Ах. ЖвсгеС1ваС!оп Кггог ТЬс !асг СЬаС СЬе шеСЬог1 (8.3.3) 1в цпсопгПС!опаПу ягаЫе г)сев поС пзеап СЬаз зче сап ехресС Со оЬСа!и а 8оог) арргпчппазе яо!цг!оп Гог апу зсс апс) Ах. Ав цаца), СЬеяе пшвС Ье сЬовеп вцСПс!епС!у яцаП Со сопСго1 й!всгеязхаяюп еггог. )з)озг 1С 1я СЬе саве (яее Ехегс!яе 8.3,3) СЬаС (8.3.2), 1йе СЬе сопеяропсПп ех- рПсИ теСЬоз! (8.2.5), зв агав-огз)ег ассцгаСе ш С!ше апг( весопй-огз)ег ассцгазе ш врясе; СЬаС !я, СЬе 1оса1 с1ЬсгеязхаС!оп еггог М11 Ье е = 0(зЬС) + 0(за)я. 8цррове СЬаз е = сзАС+ ся(Ах) . ТЬеп !ог СЬе сопспЬцгюпя Со СЬе Со!а! еггог Ггош СЬе з!!веге!!яаС!оп !п Мтпе апз) СЬе йвсгег!газ!оп ш врасе Со Ье сопппепяцгаге, чзе гег1шге СЬаг АС га св(Ах)', ч ИкЬ!в гепцшясепг о1СЬе вяаЬП!Су сопз1!С!оп (8.2,22) (ог СЬе ехрПс1С шеСЬог1, ТЬцв зве яее СЬаС а!СЬоц8Ь СЬе вгаЬЬПСу гегСц!гетепгв (ог ош 1пзрПс1С пзеСЬоз1 з!о пог ппрове апу гевзгксюпв оп СЬе ге1аСЫе гПяев о( АС апг( Ах, СЬе яссшасу гезСц!гетепгв тау.
ТЬе Сгап)г-Мсо1воп МеСЬоз) А рогепйаПу Ьегяег цпрПсй теСЬог( ш СЬзв ге8агз! Е СЬе (втоца Сга~й№со!яоп тпеСЬоА згЬ)сЬ Ь ап ачега8е оГ СЬе еярПсЬ шеС!зой (8.2А) апз) СЬе цпр1кК пзеСЬоз1 (8.3,2): ия'гз — и = (и +' — 2и ~'+и +'+и~ — 2и".з+и ). (83.12) сАС 2(Ах)Я 8.3 1МРГ1С1Т гч)ЕТНОГ)Я 265 ТЫв сап Ъе жййеп 1п пзаСНх-чесгог Гопп аь (1 + — А) и +' = (1 — — А) и™ 4- Ь, т = О, 1,..., (8 3 13) 2 2 и Ьеге А !я а8аш СЬе (2, — 1) игаСНх. Непсе (8.3.12)!в сагг!ег! оиС Ьу во!ч!п8 а СгЫш8опа! вувгет оЕ ег!иайопв аС еасЬ Сапе егер.
ТЬе аг(чапва8е оГ (8.3.12) 1в СЬаС й !ь поС оп1у ипсопг(!С1опвИу вгаЫе, ав гв (8.3.4), Ьив й !в весопг(-огг(ег ассигаге!п Сппе вв тче11 ая !п ьрасе. (ТЬе чег)ЕссаС!ос оЕ !Неве авьегйопь гв 1ей Со Ехегс!ье 8.3.5). ТЬеве ргорегС1ев Ьаче таг(е й опе оГ СЬе пювС ойеп иве6 теСЬог(в Гог рагаЬо1!с ес!иайопв. Опе еаяу счау Со геса1! СЬе СЬгее ЖЕГегепС теСЬог!в (8.2.4), (8.3.2), апг( (8.3.!2) Еь Ьу СЬе(г "вгепс!)яе оГ 8г!6 ро!псв вв !11ивггагег( !и Р!иге 8,2. ТЬеье вЬои и Ь!сЬ ага ро!пСь епгег шго СЬе ЖГГегепсе теСЬог!.
к.г ! ° ° ° ° Ф ° а ° ° ° ° ° ° у — 1 у ве1 г-! ) Еч! 1 — 1 г уе! (а) ЕхрИсй (8.2.4) (Ь) си!!у !тр!!сй (8.3.2) (с) Сгвп!г 14гсо1яоп (8.3.12) Р!8иге 8.2: 8!епс!Гв Еог СЬе МеЕ)сог)з Вирр)егпепСагу 0(всивв!оп апс( ГГеГегепсев: 3.3 Т)и гепспии ее х(чеп ш 8<и СЛоп 8.2 нге и!яо ге1ечапС !ог ппр!к!С псе!)ии!я. 1п !нгг!3и и1аг, !!1с!сгшуег тн1 Мог!оп (1967, рр.
! 89-9!) нипииагип Хпс!>1с!гаИу 1С Ьав Ьесогпе сопппоп ргасйсе 1п сЬе пипсег1са! во1иС1оп оЕ рагаЬойс-Суре рагС!а! СИГегепС(а1 егрлабопв Со иве ппр1кй теСЬог)ь ь!псе СЬе!г 8оог( вгаЫ11су ргорегС1ев оигсче18Ь СЬе аАС!!С!опа! чгог)с гесГшгег( рег С1гое егер. Мовг оЕ СЛе гпеСЬог1в 1и асгиа1 иве аге пюге сотр!1сагег( СЬап СЬе Сгап)г-%со1яоп теСЬод, Ьиг СЬе ргшс1р1ев аге СЬе вате.
Нокечег, Гог ргоЫешв 1пчо!чеп8 гооге СЬап опе врасе г1ппепвюп, ввга!8ЬСЕогсчагг! ехгепя1о~в оГ СЬе ппр1!сй теСЬог(я оГ СЫь ьесгюп аге поС ваСЬЕасгогу, апс( айг(!С!опа! СесЬп!ССиея аге геиийей. Опе висЬ СесЬп!СГие к!!1 Ье и!ясияьесГ ш 8есйоп 9.1. 1с Ь роев!Ые Со Еогши1аве !тр!1с!С гпеСЬог)ь Еог ЬурегЬо1!с ес!иаС1опв, ьисЬ ав СЬе счаче ес!иаС1оп, Гп птсЬ СЬе вате счау. Ноьгечег, ав чгав вееп к!СЬ СЬе каче ег!иагюп, СЬе ягаЬСГйу гегрпгетепгв оЕ ехр1кй гпеСЬосв Сур1саБу г1о поС ппроье а ввппаепС гевСНсС!оп оп СЬе Сапе евер.
СопьесГиепг!у, ппр1к!С теСЬог(ь Еог ЬурегЬойс ециавюпв аге гаСЬег 1пЕгециепС1у иве<1 гп ргасС1се, апА сче вЬа11 поС СЕ!нсивв СЬегп Еигв!сег. СНАРТРйз В КРАСЕ АЕСЕП ТЕМЕ 266 а пшпЬег оГ !шр!!с11 Яп(зе й!Еегепсе шеСЬойз Гог рагаЬо11с етртаЫопв 1п Сегтпя оГ СЬезг всепс11в. ЕХЕВС15ЕК 8.3 8,3.1.
ЪЪг!Се а ргоВгаш Со саггу оис (8.3.4) апй арр1у В со СЬе ргоЫеш оГ ЕхегсЬе 8.2.1. ЕЕяе чаг!оив ча!иев оГ ттс апй Зх апй чепГу нишепсаОу СЬе язаЫЕЗу оЕ СЬе зпесиой. Есисияз уоиг тези!Св сонзрагей Со СЬозе Еог Ехегс!ве 8.2.1, 1пс!ипЗпВ сЬе ге1асзче вязе апй с!Ос!енсу оЕ сатту1нВ оис сЬе сии шесЬойв. 8.3.2. Ргосеей а1оиВ СЬе Зпев оГ СЬе апа1уз!з оЕ СЬе ргейоив яессюп Со чег1Гу СЬас (8.3.7) васийев (8.3.3). В.З.З. Ргосеей асопВ сЬе 1!нее оЕ сЬе вне!уз!я оЕ сЬе ргечюив яесССоп со вЬотч СЬас СЬе 1оса! Лисгесиасюп епог Гаг СЬе шесЬой (8.3.3) яаСЬВев (8.2.9).
8.3.4. ЬЕой!Еу утлзг ргоВгатп оЕ Ехегсие 8.3.1 тлэ сагту оис сЬе СгянЬ-Езс!со!яоп тпесЬой (8.3.12). 19!всзззя уоиг тези!се атн1 сошраге СЫв зпеСЬот1 Со (8,3.4). 8.3.5. Рог сье степь-яе!со!воп знесьой (8.3.12) зйсь сье ьоиплагу сопй1сюпз а = зу = О, чесс!у сЬас СЬе яо!ос!оп оГ (8.3.12) зв оГ СЬе Еогпз (8,3.7), иЬеге нотч 7з = (1 — янЛя)/(1+ зззЛя), гйСЬ Ля = 2 — 2 сов(стх/сх).
Соне!ийе СЬас СЬе тпесЬой зв ипсопй!с!опа11у всаЫе. БЬотч а!за сЬас СЬе нзесЬой зв зесозн1-огйег ассигасе Сп ЬоСЬ ярасе апй Снпе. 8.3.8. ТЬе ЕзиГогс-РгатзЬе! тпесЬой Гог СЬе Ьеас етрзаиоп и и + игз ' = (Зсс/(Зх) )(и ш — и з - и. -З-и з). ЯЬотч СЬас СЫв шесЬой Ь инсопй111опа)!у зСаЫе. ССче ап ехр(ЫЗ Гогши!ас!оп оЕ В. 8.3.7. СопяЫет СЬе поп!шеаг рвгаЬо11с етрзассоп из=и, — и — х — и, т и!сЬ Ьоипйагу апй !и!с!аЕ сопй!С!соя и(с, О) —.. и(с, 1) = О, и(0, х) = ятпттх. а. Рогпш!асс ап ехрНсВ шес1юй апй Ло а всаЫ11су апа!ув)в Гог сЬе !шеяг есзиас!оп и, = и„— и.
Теяс пишег!саПу уоиг зсаЬз!Ву сгйепоп аВа1пвс сЬе поп!спеаг еииас!оп. Ь. Рогпш!асе а соизр1есе!у !шр11си шесЬой апй тчг!се а ргоВгаш Со воЫс СЬе тези!ССпВ поп!шеаг вувсепз ас еасЬ сине всер Ьу 1Чеисотз'з шесЬой. "4егйу пишенсаНу СЬас уош тпесЬой 'в ипсопйЬюпаОу ясаЫе. с. ТЬе согтевропй!нВ всеяйу-в!все епиаНоп !я сЬе Стчо-росш Ьоипйагу-ча!пе ргоЫетп чо = з+ х -1- чя, ч(0) = ч(1) = О. П уои аге оп!у !псегевсей !и сЬе всеайу-всасс во!ис!оп, ятоиЫ !с Ье Ьессег со аиасЬ сЫв етзззасюп йиесс!у Ьу сЬе шесЬойв оГ СЬарсег 5 ог со ЫсеВгасе сЬе рагс!а! т1НГегепйас епиасюп со всеайу-зсасе Ьу СЬе пзесЬоЛз оГ рагсн а яш! Ь' 8 4 ЯЕМШГБСЯЕТЕ МЕТНОГ)Я 8.4 БЕПС161ЕСГЕФЕ МЕСЬОСЬ 2б7 %е пои сопв!С(ег апоСЬег арргоасЬ Со 1шС)а! Ьоипг)агу ча1ие ргоЫешв гч!с(сЬ сгСО)ьев СЬе рго!есвюп рг1пс(р!ев оГ СЬарьег б апг( гес(осев СЬе раг- С!а! СЬСГегепС)а1 есСиаС!оп Со ап арргохЬпаС(пб вувгегп оГ огг(!пасу сИГегепС!а! есСиаС)опв. ТЫв арргоасЬ сап Ье арр!гес1 гп рг!пс(р1е Со ЬоСЬ рагаЬо11с- аш1 ЬурегЬо11с-Суре егСиа11опь.
%е чч01 бгвС 111ивггаге 11 Гог СЬе ЬеаС еггиаС(оп и,=си, 0<х<1, С<0, (8.4.Ц гч!СЬ СЬе 1п)С(а! апг( Ьоипг)агу сопб(С!опв и(О,х) = Г(х), и(С,О) = О, и(1,1) = О. (8.4.2) Ав ш Бес!!оп 0.1, )еС фг(х),..., ф (х) Ье а вег оГ Ьагбв Гипс!!опв СЬаС ваС!вГу СЬе Ьоипг(агу сепг(!С(опв: фь(О) =О фв(1) =О, Гч= 1,...,п. (8.4.3) СчГе аССешрС Со Епб ап арргохшгаве во!иС!оп й оГ (8.4.1) оГ СЬе Гопп й(С,х) = ~Ь ич(С)фг(х), С=1 (8.4.4) й(С, ) =К ((С)ф,( ), йч (С,х) = ) о,(С)ф",(х), =г ч=г гче гегСи!ге СЬаг и п а',(1)ф,(х ) = с~ а,(С)ф",(х ), Г = 1,...,и. (8.4.5) 1Г ьч шгии(пса !Ли и х и шаг ги ен Л = (ф,(х,)), !! -" (фч(г,)), (Вх68) вЬеге СЬе ои аге Со Ье с(егегшшег). ХоСе СЬаС СЫв Ь СЬе ваше арргоасЬ Са)геп ш СЬаргег б, «4СЬ СЬе ехсервюп СЬаС пои чче а1!очч СЬе сое(Бс!епгв ас оГ СЬе 1)пенг сошЬшаС!оп оГ СЬе Ьав)в ГипсС1опв Со Ье 6шсгюпв аГ С Со гебесС СЬе С)ше-Оерепг(епв пагиге оГ СЬе ргоЫеш, То г(есегш1пе СЬе ип)гпогчп сое(бс1епгв ап тче сап арр!у апу оГ СЬе сг(Сег(а оГ ВесСюп 0.1, апг) тче ге!11 сопв(бег бгвг со11осаС1оп Ы СЬе Го11очч1пб чгау.
Же абаш !еС 0 < х, « х < 1 Ье (поС песевваг11у есгиа11у врасеб) Вг(г) рошСв ш СЬе х чапаЫе, апг) чче геЧСшге СЬаС СЬе арргох!шаге во1игюп (8.4,4) ваС(вГу СЬе 01(ГегепС!а! егСиаС!оп аС СЬеве ро1пгв; СЬив, в(псе СНАРТЕЯ 8 КРАСЕ АХР ТХМЕ 268 ап(1 СЬе п -чессогэ сг(1) = (аз(1),...,о„(1)), сг'(С) = (а',(1),...,а'„(1)) зге сап чзг|се (8.4.5) ав Асг'(1) = Всг(С). Тйзв И зче аввппе 1Ьа1 А !э попе!п8(двг апд вес С = А (В, (8.4.7) а'(1) = Са(С). (8.4.8) оз(О)ф((хэ) = у(хз), у' = 1,...,п, а=з ог Аа(О) = Г, (8А.О) чзйеге С = (з'(хз)... з'(хэ))~. Ву оиг аээитрсюп СЬа1 А зв полз!пйздаг. зче СЬеп Ьаче а(О) =А зг", (8.4.10) ТЬе сопсерСиа! ргоЫеш зэ СЬеп Со воЬ е СЬе вувсеш о! огсйпагу дйГегепС!а! есрза1!опв (8.4.8) зч!СЬ СЬе |пй1а1 сопд!С!оп (8.4.10). 11 чзе сои)д до 1Ыв ехас11у, СЬеп О ав 8!чеп Ъу (8.4.4) ззои!д Ье СЬе арргохппаСе зо!исюп.
ЯисЬ а теСЬод Ь сайед эешсдзэсге(е Ьесаиэе зче Ьаче д1эсгес!хед оп!у ш врасе Ьу пзеапв о( СЬе Ьаэзэ Озпсс|опв фз апс1 Оггд розпСв хз зз Ьйе 1еач1п8 11гпе ав а сопЕпиоив чапаЫе. 1п ргасСке, Ьоэзечег, СЬе вувгезп о( д!(Сегепс(а! ес(паз!опв (8.4.8) птвС Ье эо1чед пшпепсайу, во а д)веге!)хас!оп о( Сипе !э |псгодисед Ьу 1)зас ргосеэв апд СЬе Сепо везпЫЬсгесе 'в вотеаЬас о( а ппвпотег. ЫечегСЬе1еээ, СЬе сопсерсиа! ч1езчрозпс о( соыздепп8 сйвсгеВхасюп о| оп1у СЬе врасе чапаЫев апд СЬиэ гедисш8 СЬе ргоЫезп Со а вувзепз о( оггйпагу д!((егепс!а) ес!иазюпв зв изеОз1.
Ьес ив сопэздег СЬе Еи1ег тесЬод сйвсиввес1 !п СЬарсег 2 (ог СЬе пипзепса1 шсе8гадоп о( СЬе зуэ1ет (8.4,8). 11 Се, Сз,... аге ес(иайу эрзсед ро1псэ зп Сппе згйЬ СЬе врас)п8 зхс, СЬеп Еи1егв пзеСЬод зэ а" = а -~-звССа, )с = 0,1,..., (8.4.11) чзйеге сгэ депо!ее СЬе арргох1шасе во!исюп аС СЬе ИЬ Сзпзе эзер. 1п ргас(ке хе зчй1 нос сапу оис (8.4.11) |и СЬе пзаппег |пд!саСед в1псе зче чдй пос «сзиайу Еогш С = А 'В. ВаСЬег, зче зчй) зчог)з сйгесС1у хйЬ СЬе д!Оегеззс!а1 ес(иас!озз (8.4.7) ап(1 СЬе соггевропгйп8 Еи!ег шеИю(1 Ааээз = Аа" э- дзСВаэ, (с = 0.1,....
(8.4.1 2) Ециайоп (8.4.8) 1в а вувсепз о( л огсйпагу дИегепс!а) ециадопв (ог СЬе оо То ьо1че СЫв вувсегп зче зчй! пеед ап ш11|а! сопдй1оп. П зче гейийе СЬас СЬе арргохипа1е эо!ис!оп 0 вайа(у 1Ье зпй!а1 сопсййоп (8.4.2) аз 1Ье розпсз хп ..,, х„, зче Ьаче 8.4 БЕМЕШВСЯЕТЕ МЕТИОВВ 260 ТЬиь а! еасЬ Нте вгер |че чп!1 яоЬп Н|е !!певг вуясет оГ ес)иас!опн (Н:!. 12) нйсЬ соейс|еп| та|пх А. ТЬе Иl |1п ап|роьК!оп оЕ А сап, ш гЫв ганси !и с)опе опсе нпс) Гог а11 апс) !Ье Евссогн ннчес) со Ье инес) аг еасЬ Силе вьер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
