Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ро СЬе вагпе Гог пгоге согпрйсаге4 во!ог!опв сопвййп8 оГ Пчо апд СЬгее Геппв оГ (8.1.25), Гог с = 1. 8,2 ЕХР11СИ МЕ1ЬОГЬ аПГГ ИаЫИУ %е Ьей!и !и С)йв вессюп сйе вСпг)у оГ йпйе Жйегепсе гоегЬопв Гог рагйа1 с)1йегеп11а! еггпаС!опв апг), 1п рагг!си1аг, Гог СЬе ецпайапв г)1всиввег( гп СЬе ргечюив вес11оп. Чге чй11 СгеаС йгвг СЬе ЬеаС ег1пайоп иг = сич, О < х < 1, С > О, (8.2,1) чйСЬ СЬе 1пййа1 апй Ьоипс1агу сап011!опв и(О,х) = е(х), О < х < 1, (8.2.2) и(С,О) = гг, и(1,1) ю 13, С > О. (8,2.3) ини-1 и из ~з (и + — 2и™. + й" ), сЬх)в (8.2.4) ог (8.2.5) сс31 (Лх)в (8.2.3) 8!че СЬе ча1иев (8.2.6) ТЬе Ьопги1агу сопгйгюпв и,",'.>, — — Гй гп = О, 1, Р!ГГегепсе ЕгСпаС!опв Гог СЬе Неаа Егрга$)оп %е веС пр а Вги1 1п !Ье х, С р!апе чч!СЬ ВгЫ враг!пйв С1х апй ГСС ав !!!пвггагсг! гп г !Ваге 8.1.
ТЬе !г)еа оГ СЬе в!гпр!евг йпйе дййегепсе гоеСЬог) Гог (8,2.1) !в со гер1асе СЬе весопс! йег!чав!ге оп СЬо г!ВЬС-Ьапг( в!г)е оГ (8.2.1) чйсЬ а сепгга) г)ОГегепсе Опойепс 1п х, апг! гер1асе иг гч(СЬ а Гогччагс) г!1ГГегепсе гп Сппе. ТЬеп опе аг)чапсев СЬе арргохппаве во1иг!оп Гогюагй !п Сппе опе 11гпе!ече! айег апоСЬег. Моге ргес!ве1у,!Г гчс!еС и г!епоСе СЬе арргох!пгаСе во1пйоп аС хг = ГГ1х апг! С, = гп чС, СЬеп СЬе йп!Се с!1йегепсе апа1оВ оГ (8.2.1) Гв СНАРТЕЯ В $РАСЕ АХИ ТЕМЕ 254 т гг Лг гг ° ° ° х„1 О хг хг 1-Лх-! Р!Вггге 8.1: Ст1гЕ Ерасгпдв апс( СЬе 1пН1а1 сопйНоп (8.2.2) Еигп!вЬев и =д(х ), 1 =1,...,п.
ТЬеге(оге (8.2 5) ргогйев а ргевспрС!оп Еог шагсЬшВ СЬе арргохппаге во1пгюп Еогстагг) опе Ише егер аЕСег апоСЬег; Же ха1пев и', у = 1,..., и, аге Йгвг а11 оЬСЫпед, апг) )гпогтшВ Желе гте сап оЫаш и~~, у = 1,..., п, апг! во оп. Ноч асспгасе иШ Ье сЬе арргох!пиге во!пС!оп оЫагпег1 Ьу (8.2,5)7 А г!Васоев апвиег Со СЫв г1певС1оп Ев а г)!ЕВсп)С ргоЫеш СЬаС !в Ьеуопг! СЬе всоре оЕ СЫв ЬооЫ Ьпг гте хе!11 агеешрС Со оЫа!п вогое !пв!ВЬС Ьу сопвЫеппВ Сч,о авресгв оЕ СЬе еггог апа1ув!в.
Ех1всгее(заСЕоп Еггог Ьег и(С,х) Ъе СЬе ехасС во1пС!оп оЕ (8.2.1) СоВеСЬег иНЬ СЬе 1п10а1 апг( Ьошм!агу сопВ!С!опв (8.2.2) апгЕ (8.2.3). И гте рй СЬ!в ехасС воЬПюп 1пСо СЬе В!ЕЕегепсе Еогшп1а (8.2.4), Же ашаппС Ьу е ЬЫЬ СЬе Еогпш1а Еа!1в Со Ье ва11вйеВ и саПей СЬе 1оса1 гЕгестеИге11оп сттот (аг 1еса! Стиисейоп етют); аС СЬе ро!пС (С, х) СЬе 1оса1 г)!веге!!хаС!оп еггот, с, !в и(С + г51, х) — и(С, х) с г51 (г5х)в (и(Г, х+ гХх) — 2и(С, х) + и(Г, х — г5х)). (8.2.7) ТЫв Ы епС!ге!у впа1оВопв Со СЬе ргеч!опв г(еЕгп!С!сов оЕ 1оса1 г1!всгеС!ха!!оп еггог Еог огйпагу В!ЕЕегеп11а1 еггпаС!опв апг! еп1оув в!ш!1аг ргорегНев.
Рог ехашр1е, впррове СЬаС чге Ьпогт С?Се ехасС во1пС)оп и(1, х) Еог вогое 1 апй а11 О < х < 1, апс( ее иве (8.2.4) Со еыС!шаге СЬе во1п11оп аг С + 151. Са11 СЫв евгппаге й(1+ 151, х). ТЬеп, Ьу г(ейп!1!оп й(С + Г51, х) — и(С, х) с — = —,[и(С, х+ Лх) — 2и(С, х) -т и(С, х — Ах)), г51 (г5х)в 255 8.2 ЕХРГ ГСГТ <<<ГЕТНОГ)Я АНГ1 Я".ИВГГ ГТЪ' яо 11 <че виЬ!таст ГЬ)я Ггош (8.2.7), <че оЬга!п й(1+ <51, х) — и(1 + <кг, х) = Г51е. (8.2.8) Т1шя ГЬе епог саиве<Г Ьу опе 1!ше втер ив!п8 !Ье <ЫГеге<<се всЬеше (8.2.4) Ь <5! Вшея 1Ье 1оса1 <Г!ясгег!каг(оп еггог. 11 Гя ваву то еяг!<<тате ГЬе <Гиапг(ту е оГ (8.2.7) Гп гегшя оГ т5! ап<( ттх.
1Г <че сопвЫет и яв оп!у а Гшюгюп оГ 1 Гот Йхе<! х, «<е сап арр1у ГЬе Тау1ог ехраттвют< и(! + <51, х) = (1, х) + и (Г,х)<к(+ 0(( 5!) 1 со сопс1и<)е ГЬат и(1+ т51,х) — и(г,х) = и,(Г, х) + 0(Г5Г). 8!п<11аг1у. Ьу Тау1от ехра<тв(опя !п х, <че Ьаче и(1, х + <Ьх) — 2и(Ь х) + и(1, х — <Ьх) = и (т,х)-МО((<5х) ). 1Г <че рпт 1Ьеве ехргеявюпв што (8.2.7) ап<Г пве и< —— си, (тйпсе и <я ГЬе екаст воЬП!оп оГ 1Ье <11ГГегепс!а! е<(иат(оп), <че оЬгаш е = 0(ЛГ) + 9((<5х)~).
(8.2.9) ТЬе Гает 1Ьаг <51 арреагв Со 1Ье йгвт рок ег ап<1 <Ьх то <Ье яесоп<1 ревет 'ш 11<!в екргеявюп Гог 1Ье 1оса! <11ясгет(кат!оп еггог зв ивиа)1у <1евспЬе<1 Ьу тЬе ягатешеп! 1Ьаг !Ье Г<п11е <11ГГегепсе шеСЬо<) (8.2.4) !я г«зг-ог<Гег ассака!е <и Ьте ап<Г весси<Г-ог4ег асситатс ти красе. БкаЫЬку 11 1в тешрт!п8 то сопсЬи1е Ггош (8.2.8) ап<Г (8.2,9) 1Ьа1 1Ье <Г!веге!!кат!оп еттот !п и, ая оЬта!пе<Г Ггош (8.2.5), сопчет8ев то кето ав <5! ап<Г <Ьх Сепг! га кето. 1)п(огтипаге)у, ГЬ!я сопс!ия!оп !в пог <чаггапте<Г вшсе (8.2.8) 8!чек ГЬе еггог 1п 1Ье арртохштате во!ис!оп оп1у Гог а ип81е гппе втер. То вЬок 1Ьаг 1Ье <Г(яств!1ка11оп егтог Сеп<)в го кето оп а к<Ьо1е 1ппе ш!егча1 (О, Т) <в <Г!ГЬси11 ап<1, ш 8епега1, ге<!и!гев я<)й!11опа! сои<(111опя оп Ьотч <5! ап<Г Ьх гетт<Г то кето.
А ге!а!ГопяЬ1р оГ 1Ье гуре (8.2.9)< ог пюте 8епега11у а вгате<пепт ГЬат 1Ье 1оса1 <)Гнетет(каг!оп еттот теп<(в 1о кето <ч(тЬ <51 ап<Г <5х, !в еввепйа11у а песеввагу сотт<1111оп !ог 1Ье 81оЬа1 <1истеггяатюп еггог 1тяе1Г то сепг! то кето, ап<Г 1в са11е<1 соияш!сигу оГ ГЬе <!1!Г<'кепке ясЬеп<с. ТЬе геавоп 1Ьат сошйв1епсу оГ тЬе <ГГГГегепге <и< !Ь<н1 <1оен по! ш <м*мнагИу ипр1у <м<пчег8епсе оГ 1Ье <11всгет!как!оп еггог !н <опшн !нн! иЬЬ я!ай<!<ту оГГЬ«!!8<< г< и< я ж!н<шо, ап<1 <че пои <)!ксиве сегта!п ннрегтм оГ !!ин Гог !Лн«!!(Г<*г< н«н<'Ь< ин (8.2.5).
8.2 КХРЫСГТ ЛГКТНОПИ ЛЕГП ЯтЛШиТЬ. 257 Ы а зо1и!!оп оГ (8.2.5) Гог еасЬ Гг. Ав гч!!Ь Гйе ЖГегепг!а! егГин!!оп, апу йпеаг сошЫпаг!оп аГ !Ьеве во1ийопв !в а1зо а во!и!!оп; гйив иг = ~аз(1 — Лагг) в!п(ГЬгЕ1х) з=г (8.2.16) Ьз а во!ийоп оГ(8.2.5) Гог апу сопзгапгв аз.
ГГ гЬе ав аге сЬозеп во !Ьа! ав = ~ д(х!)в!и!гх16х, (8.2,17) !Ьеп (Ехегс!ве 8.2.2) и'." а)во ва!!вйев !Ье 1и!!Га! сопс1йюп ис = д(х ), у = 1,...,п. (8.2.18) )1 — рЛ,~ <1, (8.2.19) Гйпсе гг апй а11 !Ье Лв аге роз!!!че, (8.2.19) гч!П Ьо16 И апг) оп1у й — (1 — ЦЛв) < 1, /с = 1,...,и, ог 2 1 1 и < пйп в Ав 1 — совхпг5х 1+созхг5х' зшсе !Ье 1агйезг Лв !з А„. ТЬиз, мч!Ь р = сг51/(г5х)з Ггогп (8.2.6), (8.2.20) Ьесошев гз! < (Евх)з (8.2.21) с(1 + созтг5х) ТЫз 8!чез а гезгг!сйоп оп гйе ге!а!!че в!зез оГ 1М апй Ьх, ггЫсЬ 1Г по! вас!вйей гч!11, ш 8епега1, шеяп !Ьнг, !Ье нрргох!шаге во!иг!оп ц'" оЕ гЬе 6!йегепсе зсйепн. нйй и)!!пга!с!у гйчегйе нз гн !сш!и !о !пйпйу ап6, оЬч1оив1у, гч!й Ьегоше ни шсп ннш8!у роог нрргохЫию!оп го !1и зо!ш!оп оГ гЬе Й!йегеп!1а! %е погч иве !Ье сергеевн!а!!оп (8.2,16) !п !Ье Гойагч1п8 гчау. ггош оиг 6Ысивз!оп !и гйе ргеч!оив вес!юп, !Ье есГиаг!оп иг ю спз гойесйег н КЬ гЬе Ьоипдагу сопй!с!опв и(1, 0) = и(1, 1) = 0 !з а гпог1е1 оГ зйе !ешрегасиге 6!ззг!Ьи!!оп !п а !Ып !пви!а!ег( гой гчйове епг)в нге Ье16 а! него !ешрегагиге, %псе !Ьеге Гв по зошсе оГ Ьеа1, гче ехресг !Ьа! !Ье !ешрегагиге оГ гЬе гой айй йесгеаве !о него зо !Ьаг и(1, х) 0 ав ! оо.
ТЫв сопс1изюп сап а)зо Ье оЫа!пег! ша!Ьешар !са!1у Ггош гЬе вег1ев гергевеп!аг1опз (8.1.19) ог (8,1.21) оЕ !Ье во!и!!оп гйпсе !Ье ехропепг!а! гегшв а11 гепд !о сего. ТЬегеГоге !! !з геввопаЫе !о йешапг) ГЬа! зйе йп!!е гШЕегепсе арргох1шаг!опв и'" аЬо гепг1 !о сего вз т зепдв го !пйпйу, Гог апу !и!!!а! соп61!!опв; Ьу (8.2.16), ГЫз ной Ье !Ье саве 1Г апй оЫу !Г 258 СНАРТЕК В БРАСЕ АХИ ТГМЕ ТаЫе 8.1: 5пвгяЫе Ве)саиСот еггиаССоп, ггЫсЬ Сепг(я Со хего. 1п ТаЫе 8.1 яю Ви е ап ехагср1е оГ СЫв 1пвгаЬсПСу Гог (8.2.5) сл!СЬ с = 1, д(х) = вш ля, и =,3 = 0 апг( ггПЬ 11х = 0.1 апг) гяг = 0,04 во СЬаС (8.2.21) Ся поС яаС1вйег(.
Еоге СЬаС СЬе !пвгаЬСПСу Ьав ЬеВип Со г)еге1ор поПсеаЫу Ьу С = 0.32 аиг! СЬеп гарЫ1у ч;огвепя. Сбге саи гер1асе (8.2.21) Ьу СЬе вПВЬС1у вггопВег сопйгюп (8.2.22) СЬС ( 2с ггЫсЬ а1ч~аув ипрПев (8.2.21). ТЫв ге1а11ои 1в саПед СЬе я!а61!ггу соиййоп Гог СЬе йЯегепсе игеСЬог) (8.2.5).
Оиг г1ег1гаПои оГ 1С Ьвв Ьееп гп СЬе сои!ел! оГ СЬе ЬеЬач1ог оГ и™. ав га — со Гог Йхес( гяб апг) Лх. Виг К Ся а1яо ге!егаиС Со СЬе ргоЫеис оГ С!се согсчегВеисе оГ СЬе г)1ясгеС)яаССоп еггог Со хего вв С!С апд гях Сепг) Со гего. 1п ГасС, а!СЬопВЬ СС Ь Ьеуопд оиг Ссоре Со ргоге СЫв, СЬе арргохипаге яо1иСюпв и!П соигегВе Со СЬе ехасС во!игюп ав Ж апг( гях Сеггг( Со гаго !Г (8.2.22) Ьо1г)в ав гяг апг) сах Сепй Со зего. ТЫв Ы а врес1а1 саве оГ а пюге Вепега! рпис1р1е Сгиоггп вв СЬе 5ах Едигеа1еисе ТЬеогяиа м'ЬСсЬ ягагев СЬаС Гог гги!Се Вепега! йГГегепС!а) есгиаС1опв аиВ сопя1ягеиС гСНегепсе всЬегиев, СЬе 81оЬа1 йвсгеССяаС)ои еггог аВП сепг) Со хего 1Г аггг) оп1у 1Г СЬе гоеСЬод гя вгаЫе. ТЬе сопйг!ои (8.2.22) ипровев ап 1псгеая1п81у вггшВепС !!го!саг!оп оп СЬе Пте егер сяг вв СЬе врясе Спсгегоепг гях Ьесогиев яюаП.
ав ТаЫе 8.2 вЬоглв Гог СЬе саве с = 1. ТЬив гве игау гес!Ыге а Миге егер Гаг вгиаПег сЬап оСЬеги!яе песеавагу Со гаво!ге СЬе С!гав.дерепгСепС ив!иге оГ СЬе во!игюи оГ СЬе ВССГегеиг1а) еоиаС!ои Ьве!Г. АССЬоиВЬ СЬе яиа1увСя СЬаС све Ьяге йоие Ьяв Ьееп геягг1сгегС Со СЬе випр1евС г)ПГегеиС!а! еггиаССои аиг( яиир1евг йГГегепсе всЬегие, СЬе гес!иие- гиеиС оГ виигП С!гие вверя Гог ехрПси Вшге ййегеисе игеСЬоВя Гог рягаЬоПс аигГ випПаг ег!иаПапв !в а Вепега1 ргоЫеги аиг) 1в а рг1игагу исог!гаС!ои Гог СЬе ИпрПС!С гпЕСЬоВВ СО ЬЕ йяепяявд СИ СЬЕ ПЕхС ВЕСССОИ. 8.2 ЕХРЕ!СЕТ МЕТНОТЬ8 АЫЕ4 $ТАВЕЕ ЕТ'г' 259 ТаЫе 8,2: Мехьгниьн Тьтьье 51ерв Еег Сьееьь Г1х аий с = 1 ТЬе %аче ЕсЕиае!оп Же гигп пои ьо ЬурегЬо1ьс есьиагюпв, апй!п рагс(си1аг 1о 1Ье паче еь!иаНоп иьь — — синю 0(к<1, 1>О, (8.2.23) ьо8евЬег чй1Ь 1Ье 1пЬ!а1 апй Ьошк1агу сопй111опв и(0ь с) = г'(х), иь(О,х) = д(х), и(Г,О) = и, и(01) = Д.
(8.2.24) Ав ьче й(всиввей ш 1Ье ргегйоив весйоп, ГЬе ргоЫеш (8.2.23), (8.2.24) 1в а ьпагЬеьпабса1 пюйе! Еог а ч(Ьга11п8 вгпп8. ТЬе в1шр!евь Ошге й(ЕЕегепсе всЬеше Еог (8.2.23) 1в и~~~ — 2иеь + иь ь с (~1!)в (~ )в (иь'"ь То оЬгып (8,2.25) чье Ьаче овей гЬе ивиа1 сепгегей йЫегепсе Еогпш1а Еог и,, )ьиь вз 1п (8.2.4), ав иеБ ав Еог ип. Ь(о1е 1Ьав (8.2.25) пои ьпчо!чев ГЬгее Гппе 1ече!в апй геь!и!ген 1Ьаь ЬовЬ и апй ьЬь ' Ье !ьпочгп!п огйег 1о айчапсе со гЬе (т -ь-1)вг гппе !ече1.
ТЫв гецшгев айй(гюпа! в!осаде Еог и~ ь, ав орровес1 Ео 1Ье шеГЬой (8.2.5) Еог ш = си, Ьпс 1в а паьига1 сопвесьиепсе оЕ 1Ье !ась 1Ьаг ьЬе й)Кегепг(а1 ег!иаьюп сои!а!пв а весош1 йег!чаг!че 1п гппе. чче а)во геььшге ЬоьЬ ие апй иь 1п огс1ег Ео в!асс, апй гЬеве сап Ье оЬьашей Егогп гЬе Еп(Г(а! сопй!1!ойв (8.2.24): е г( иь ш Е(ть) -ь-ь31д(хь), У = 1,...,п, (8.2.26) и Ьеге ЬЬе весопй сопе21!оп 1в оЬГа!пеь! Ьу арргохппаг1п8 и,(0, х) = д(т) Ьу (и(сьг,х) — и(О,х)]/ь31 = д(х). !Ггош 1Ье Ьоппйагу сопй(г(опв. ие Ьаче й„=Д, (8.2.27) ТЫю ь!ьь', яь1ьиъ н1 15е (пь -ь- 1)вь, ! ив' 1ь'чь'! аге оЬеаьпей Ьу 260 СНАРТЕН 8 $РАСЕ А!ЗЗзз ТЕМЕ зчЬеге с(зЛ!)в (зЛх)з 11 !ь еаву зо ьЬозч зЬа! зЬе !оса1 Швсгезйаз!ои еггаг Еог (8.2.25) зв 0(з5!)з+ 0(Ах)~, во ЗЬаг ЗЬе зпеЗЬоз) зв весопг)-огс1ег ассигазе ш ЬоЗЬ ьрасе апз( зппе (Ьаегс!ве 8.2.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
