Golub, Ortega - Scientific Computing and Differential Equations (523148), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Рог !Ыз птойе! 1Ье сопвгапт с 1п (8,1.1) Гз с = з1'(вр), счЬеге !с > 0 ы 1Ье !Ьеппа! соасЬтсйчйу, з Ы 1Ье врет!Вс Ьеа! оГ 1Ье шагепа1, аш1 р !в сЬе шаве йепв11у. Т1шв с > О. ТЬеге аге зечега! чат!аг!овв оп !Ыв ргоЫеш 1Ьаг сап Ье пюйе1ей Ьу сЬап8- 1п8 1Ье Ьоипйвту соай1йопз ог !Ье есгиат!ов Ьзе1Г. Рог ехашр1е, виррове 1Ьас сче везшие 1Ьа! !Ье ггВЬ1 епс1 о! 1Ье гос1 аи 1!)се 1Ье вЫев. регГес11у!пви1а!ей; Ьу йейпЖоп, тЬеп, все ехресс ао Ьеа! 1ош ог сЬап8е ш !ешрега!ме истова 1ЬЫ евй, во !Ье ЬоипсЬгу сопй11опв (8.1.8) аге сЬапВес1 1о и(1,0) =а, и,(1,1) =О. (8.1.6) АпосЬег чаг1аг!оп Ы !о виррове !Ьас сЬе той !в вот ЬоиюВепеоив — вз Ьвз Ьееа гас!11у аввишей — Ьи! 1в шайе оГ ав аОоу тчЬазе согароаепсз чагу аз а Гипс!!оп оГ х. ТЬеп 1Ье йевз!!у ав ие)) вв 1Ье 1Ьегша1 сопйисг!ч!ту апй зрес!Вс Ьеа! гй!1 Вепега11у а)зо сагу чптЬ х, во гЬа! с = с(х).
ТЬив 1Ье й!ГГегевг!а! есгиаг!оп ж вотч опе чт11Ь а чапаЫе гасЬег 1Ьап соввгавг сое(Бс1евс. Со!в8 опе егер ГигГЬег, !Ье 1Ьеппа1 сопйис!!ч1ту а !11, !п Вепега1, йерепй пог ап!у оп тЬе шаСег!а1 Ьи1 а1во ов гЬе гешрегагите Кве1Г. Рог птапу ргоЫептв 1Ыв йеревйепсе Ы зо в1тВЬ! 1Ьа! !1 сап Ье !Впотей, Ьи! Гог огЬегв 11 саппос. ТЬиз сче птау Ьаче с = с(и) во тЬат 1Ье ес!иаг!оп (8.1.1) в пост вов1шеаг, ТЬе Ьеас ес!иа!юп ы а!во а птагЬешаг!са! шас1е1 оГ чапоив отЬег рЬув!са1 рЬепошепа висЬ ав 1Ье й!ГГиз!ов оГ а Ввв.
ТЬе ЪЧаче Ес!иа11оп Сопв!йет пехс 1Ье счете ес!иат!ов (8.1.2). ТЫв е!иайоп, ог пюге Вепега! Гоппв оГ !с, шос1е!в чагюив !урез оГ счаче ргорахатюп рЬепопгеаа, зв, 1ог 249 8.! РАВТГА Е 1НРРЕВЕХТЕАЕ, ЕЯЕЕАТЕОХБ ехашр1е, ш асоивС!сз. Опе с1авв1са1 ргоЫетп Ся а ч!Ьгьг!п8 втптщ. Сопвтйег, Еог ехаптр1е, а Сацг вяпп8 а!оп8 СЬе х-ах!в СЬаС и Гввгепей аС х = О апй х = 1. ЕГ СЬе вгг)тт8 1в р!ис)сей, !С тчЬО ч)!эгаСе.
ССте анвшпе СЬаС СЬе вгг1тщ !в н)йеа!" — СЬаС нц тС !в регГесС!у ОехСЫе, влй сЬе Сепн1оп Т 1н сопвгапС ав а йшсс!оп оГ ЬоСЬ х апй С апй и !аг8е сотпрагей со СЬе вещИ оГ СЬе всг!п8. С!те йепоге СЬе йеГЕесС!оп оГ СЬе вгг1п8 ат а рошС х аш1 С!тпе С Ьу и(С, х), апй яче везшие СЬаС СЬе йейесС!опв и ьге вша!1 сошрагей Со СЛе !еп8СЬ оГ СЬе Мгш8. ССте аявшпе, тпогеочег, СЬат СЬе в!оре оГ СЬе йейестей вгт!п8 аС апу рошС !в зша11 соптрвгей Со цшгу аий СЬаС СЬе Ьог!вопта1 йир1асешепс оГ СЬе втгйтщ !в пе8Ь8!Ые сотпрагей Со СЬе четв!са1 й(вр1асешепС (С1ив тв яотпегипев са)!ей 1гапвчегве талое). ССте аге в!во Сас!С!у вввипшщ СЬат СЬе птогюп оГ СЬе втт!п8 !в оп1у тп а р1апе.
ТЬе сопвгапт с ш (8.1,2) !з СЬеп ецца1 Са дТ/ш, тчЛеге 9 тв СЬе 8гач!Саг!опа) сопвгапг апй гв !з СЬе тче!8ЬС оГ СЬе втт!п8 рег ип!С 1еп8СЬ. 1п пюге 8епега1 в!СиаС1опв, Т, апй Ьепсе с, п1ау поС Ье сопвСапС. Еп зйй!С!оп Со СЬе й)ЕГегепт!ь) есСиаС!оп, ие а8а!и пеей вшгаЫе !и!С!а) апй Ьоипйвту сопй!С!опв. Я!псе СЬе епг)ы оГ СЬе вгг!п8 аге йхей аС х = О апй х = 1, тче Ьаче СЬе Ьоипйагу сопй!С!опв (8.1.7) и(С,О) = О и(С,1) = О. Рот СЬе !п111а! сопй!С!опв тче пшвс врес!Гу СЬе )шС1а1 йеЕЕесС!оп вв тче11 ав СЬе ийт1а1 че)ос1Су оГ СЬе згг!п8; С1шв Еог а 8!чеп Ьтпст!оп Е, не те!11 иве и(О, х) = У(х), и,(О, х) = О, (8.1.8) тч!сете СЬе 1ьтгег сопгИ!оп ппр1!ев вето !и!С!а! че1ос!Су оГ СЬе втг!п8.
СР1СЛ СЬе й)ЕГегепт!а) егСиат!оп (8.1.2), СЬе Ьаипг1зту сопй!С!опв (8.1.7), ьпй СЬе !шт!а! сопйСС!опв (8.1.8), СЬе ргоЫеш Ся пов ЕиОу врес1Гтей. Рог оСЬег ргоЫешв йОГегепС Ьоипйагу ог ш!С!а1 сопй!С!опн шау Ье 8!чеп, Ьиг в!псе СЬе егСиат!оп !з весопй огйег !п С !что Еп1С!а! сопй!С!опв пшвС 8епега1!у Ье 8!чец, 1ивт вв Гог огй1пьту й!!Гегеля!а1 егСиаСЕопв. ТЬе рцгрояе оГСЫз Ьоо)г иц оГ соитве, Со вгийу СесЬпи2иея Гог СЬс пшпепса! зо!иг!оп оГргоЫешз, 1С 1з гчогСЬ геса1!ищ Ьеге, Ьатчечег, СЬаС СЬеге !з а с!звв!са! апа1ут!са1 СесЬпи2ие Гог гергевепС!п8 сЬе во1ССС!оп оГ ЬоСЬ (8.1.1) влй (8.1.2) Ьу птеапв оЕ Роит!ег вег!ш.
ТЫв СесЬпи2ие те чь!!й оп1у ипйег чету ген!с!сС!че сопй!Сюпв, Ьит !С йоея арр1у Со СЬе Ьеаг апй тчаче егСиат!опн Со8етЬег вйСЬ СЬе Сурен оЕ!пОйа1 апг1 Ьоипйагу сопй!С1опя сче Ьаче сопв1йегей апй Еот с сопвгнлг,. 1С !в СЬе шея)той оуверагатЕои оЕ еагтаЫев, апй ие вЛаП теч1еи 1С гаСЬет Ьг!ейу. Еервхьв!оп оГ Уаг!аЫев Лннишс СЬас СЬе но! иСЬш оГ (82.1) сап Ье гчт!ССеп ав а ргойисС оГ а Ьшсгюп С)саС <!ерспйз оЫу <н1 С ати! а Гцстсгоп 11щС ю1ерепйн оп!у оп х: (8.1.9] ц(1, т) = е(!)ю(з;). СНАРТЕРс В БРАСЕ А?чЕ? Т!54Е 250 11 ч,е виЬССЬисе (8.1.9) !пго (8.1.1), ~че оЬСаш (8.1.10) ог, вввшшпВ СЬаг пеИЬег ч паг ю !в сего, сд(С) ю" (х) ев(С) гв(х) (8.1.11) 8!псе СЬе !еЕС вЫе оЕ (8.1.11) 1в а Еипсдоп оп1у оЕ С апд СЬе НВМ в!йе ?в а ЕипсСюп оп!у оЕ х, И Ео!1осчв СЬаС ЬоСЬ вЫев пшвс Ье ес?иа! Со вогие сопвгапС, вау сю С1шв, в (С) = рч(С), ссв '(х) = рсв(х). (8,1.12) ТЬе Вепега! во1иС1оп оЕ СЬе Вгвг ег?иагюп 1в ч(С) = осе"', сс = сопвсаш.
(8.1.13) ТЬе весопд есрсадоп оЕ (8.1.12) 1в СЬе ещепча1ие ргоЫеш й!всиввед !и ЯесМоп 7.1. Ав чге васе СЬеге, СЬе е!ВепЕипссюпв аге се(х) = вшЬгх, 0 < х < 1, ?г = 1,2,..., (8.1.14) апд СЬе ещепча1пев аге — хвхв. Весаиве оЕ СЬе сопвСапС с, СЬе соггевропдпщ ча!иев оЕ р аге р = -с?г~х~, ?г = 1,2,.... (8.1,15) Непсе апу Еипсс!оп в оЕ СЬе Еопп (8.1.14) ?в а во!и?1оп о! сич = ры ргочЫей СЬаС р !в В!чеп Ьу (8.1.15). ?чо?е СЬаС висЬ а во1ищоп счои!й чашвЬ аС сегвып роспСв ш СЬе шсегча1 (О, 1), апй (8.1.11) чгои!д поС Ье ча1Ы СЬеге.
Ночгечег, СЬе иве оЕ (8.1.11) 1в шеапС оп1у Со Ье всщВевНче; СЬе Впа? сп?егюп гв счЬеСЬег ч апй св ваС!СЕу (8.1.10), впд СЫв чй1! Ье СЬе саве ргоч!С1ед СЬаС (8.1,12) Ьо!йв. ТЬив апу Ьшсдоп оЕ СЬе Еопп и(С,х) = е га " 'вшах, (8.1.16) и(С, 0) = О, и(С, 1) = О, (8.1.П) апй виррове СЬаС СЬе !пН!а1 сопй!С!оп сап Ье счПССеп ав а Вп!Се СпВопошесг!с виш и(О,х) = ~авв!пЬгх. (В.1.18) в=1 счьеге ?г !в апу ров!Оче!псеВег, выпйм сье ьеас еииас?оп (8.1.1), ав шау ье чепбед й1гесС1у (Ехегс?ве 8.1.1). Ечеп СЬоиВЬ (8.1.16) ваС?вйев СЬе дНегепг!а! еииаС!оп, К пеей поС ва?1в(у С?се ииг!а1 ог Ьоипйагу сопс1Нюпв, Сопв?йег СЬе врес1а1 саве оЕ СЬе Ьошн!агу сопй!С!опв (8.1,5) Еог чгЫсЬ 8.1 РАЯТЕАЕ РГРРЕЕСЕХТГАЬ ЕЕЗИАТГОмЕЯ 251 ГС !я СЬеп ваву Со чег!Еу (Ехегс!ве 8.1.1) СЬат и(С, х) = ~ аяс " ' в!п !глх в=1 (8,1.19) тв а во!пс!оп оГ (8.1,Ц апс1, пюгеочег, васиесев сье ьоипг1агу апге спь!а! сопй- С!оги (8.1.17) апг) (8.1.18).
ТЬе во!итюп (8.1.19) !в ргес)!сагес) оп СЬе Ети!Се ехрапв!оп (8.1.18), Ьит Ьу СЬе СЬеогу оЕ гопг!ег вег!ея а чету 1агВе с1азв оГ Гипс!!опв, аптС Ьепсо !и!С!а! сепг)!С!опв, сял Ъе гергевептес) Ьу СЬе !ийп!Се вег!ев 1 9(х) = ~ ая в!и )гхх, ав = 2 Е' д(я) в!и(Егхв)Вв. (8.1.20) в=1 с 1тт С!ия саве СЬе во!иС!оп сял Ье 8!чеп, апа!оВоив!у Со (8.1,19), Ьу — вн и(С, х) = ~ азе " " "в1п Егхх, я=! (8.1.21) а!СЬоиВЬ Ь 1в по 1опВег вз випр!е вв ш СЬе саве оГ (8.1.19) Со чепЕу гщогоив1у СЬаС СЬ!в 1в а во!и!!оп. ТЬе тпеСЬос1 оЕ верагат!оп оЕ чаг!аЫев сап а1во Ье арр1!ес( Со СЬе чгаю егСпаС!оп, апг) тче яи!!1 ргяС !пйсаге СЬе гези1С гоггезропй!пВ Со (8,1.21) Гог егсиас!оп (8.1.2) соВесьег и!сь сье ьоипгсагу апг! !п1с!а! сопйс!опя (8.1.7) аид (8,1.8).
АВаш, !Е тче яявипте СЬаС СЬе ВгвС !шС1а1 соттг(!С!оп оЕ (8.1.8) сап Ье гергевепсег) Ьу Е(х) = ) ос зги((гхх), (8.1.22) СЬеп СЬе во1иС!оп !в и(т,х) = ) ив в!п(Ьгх) сов(Ьгчгсг). (8.1.23) 1п СЬо сазе СЬас (8.1.22) и а йп!Се вшп, апа!оВоив Со (8.1.18), .К ы еазу Со чепГу СЬ!в тени!с г)!гесс!у (Ехегс1ве 8.1.2) чг!СЬоис апу СесЬшса1 г)!СЕтси!С!ея. тче Ьаче поС псеапС Со ипр1у СЬаС СЬеве зелен ехрапя1опв аге Со Ье СЬе Ьзв1в Еот пашет!са! шеСЬог)в, а1СЬосщЬ !и сегта!п врес!а! свеев СЬеу сап Ье. НаСЬет, впсЬ гергемептат!опв агс воптетпиея пве(п! 1п авсегта1ппщ гСиа1!Сат!че !иЕотшат!ои аЬоиС С!и'.
но!ит!гш оГ С!и ЙКегспт!а! егСпаС!оп. рог ехыпр1е, (8.1.19) с!сяг!у нЬочтн, ншю г > О, !Вип, и(С, х) — ~ 0 нм С ао, апг1 СЬ!в ватле сопс!сгяюп гни 1и и ас1им! Егош !!и, 'шйи1!а ногин (В !2! ). Счс мЬа!! ияс СЬ!в !пЕогшат!ои 'ш !Ли Вйитгицг мсггрш ии !Ьи!и ~!!%пиг~ ииС!нм!м, СССс н!ий н1но ине С!н 262 СНАРТЕК 8 БРАСЕ АМР ТЕМЕ СесЬпсйие оЕ вервгасюп оЕ чаг1аЫев, арр1!ед со дй?егепсе ес?иас!опв, со всиду всаЪ|1!су ргорегйев оЕ СЬе пшпег1са! гпеСЬодв ?п СЬе Ео11окчш8 весйопв.
Вирр!етепсагу 0)всиввюп апд НеЕегепсев: 8.1 Сопв?дег а раП!в? дй?егепс!а? ециайоп оЕ СЬе Еогш аи *+Ьичс+ сикс+ йи, + си, в- Еи = д, кчЬеге СЬе соерйс1епсв а, Ь,... аге Еипск!опв оЕ х апг1 С. ТЬеп СЬе еииаС!оп 1в е!11рСсс !Е [Ь(х, С)) в < а(х. С)с(х, С) (8, 1.24) Еог ай х, С 1п СЬе ге8?оп оЕ шсегевс. 1,ар!все'в ес?иас!оп 1в Сйе врес?а1 саве ш вЫсЬ а = с = 1 апй а!1 осЬег сое?йссепсв аге сего.
Т?ке ес?иас!оп Ь ЬурегЬс!ьс 1Е Ьв > ас; СЫв !в СЬе саве Еог СЬе кчаче ес?иасюп. г шайу, СЬе ес?иаС?оп !в ратиЬойс Н Ь = ас, кчЫсЬ Ьо?йв Еог СЬе Ьеак ессиас!оп гйпсе Ь = с = О. Ъегу пшегевйщ, ппрогсапС, аш? СИйси11 ргоЫетв оссиг Еог ег?иаС!опв оЕ тсхей Суре !п кчЫсЬ СЬе сопд?С?оп (8.1.24) Ьо!дв !и рагС оЕ СЬе допьъ1п счЫ!е СЬе орроысе !паиса!!Су Ьо!дв ш апосЬег рагс; СЬас )в, СЬе ециайоп Св е111рсгс ш рагс оЕ сЬе йоша!и апс1 ЬурегЬо?1с 1п апоСЬег рагс. БисЬ ргоЫетв впве, Еог ехапкр1е, кп Сгапвошс азтйосч 1п кчЫсЬ Сйе йочг 1в виЬвошс 1п ракС оЕ СЬе ге8!оп (СЬе ерйргю рагг) апй виреквошс кп апоСЬег рагс (СЬе ЬурегЬо1?с рагс). 1п СЬеве ргоЫешв СЬе чапаЫе С 1в а весопс1 врасе чвпаЫе у, Мапу, 1Е пос товС, рагйа1 йгйегепйа? ек?иас?оп тоде?в оЕ рЬувюа1 рЬепотеиа !пчо1че вувгешв оЕ ег?иаС!опв гаСЬег СЬап а в1п81е е9иагюп.
ТЬе с?авв)йса- С!оп вувсепг оЕ е111рс!с, ЬурегЬо??с, апд рвгаЬо1?с сап Ье ехсепйед Со вувсепкв оЕ ессиак!опв, а1СЬоиБЬ ге?ас?че1у Еекч вувсешв СЬас гподе1 геайвс1с рЬув1са? в16 иас1опв йС шсо СЬкв шее с!авгййсайоп. ТЬе теСЬог1 оЕ верагас1оп оЕ чвг?аЫев СойесЬег гч!СЬ СЬе иве оЕ Рот!ег вепев 1в а с!авгйса? СесЬтс!ие Еог во!кдпй сегсаш випр1е ег?иасюпв апд !в дйв сиввед т пювС Ьей!пшп8 СехсЬоо1св оп расска! дйуегепсю? ег?иас!опв.
Мосс висЬ Ьоо1св счрй соп?аш айд?с!опа! ехатр1ев, депчас!опв оЕ е9иас1опв, впд с1авв1йсайоп СЬеогу. Бее, Еог ехатр1е, НаЬеппап [1983] апй Кеепег [1988), апд, Сог тоге адчапсед Сгеакпкепкв, Соигапк апд НЕЬегс [1963, 1962), апд СагаЬей!ап [1986). ЕХЕВС(5Е5 8.1 8.1,1. Бйон сйас СЬе Ьтсйоп оЕ (8,1.16) вайвйев (8.1.1) Еог апу шсевег Ь, ТЬеп чепЕу СЬас (8 1 19) !в а во!исюп оЕ(8 1 1) СЬаС ваСзвйев СЬе !п1С!а! апй Ьоипйагу сопййиопв (8.1.17) апй (8.1.18). 8.1.2. а. БЬои Сйак и(х, С) = ~ ав в!п(Ьвх) сов(сччгсч) (8.1,26) в к 8.2 ЕХРГГСГТ МЕТНОР$ АГГР БТАВГГ,ГТУ 253 васпйев гье чаче ессиаг!оп (8.1.2) вв ие11 вз сье ьоипг!агу ап6 !и!11в! соагйсюпв и(СО) = и(С 1) = иг(0 х) = О, и(0 х) = 2 "„д ав в!п(Сгчх). Ь. ччг!Се а ргоВгвт Со сйвр1ау СЬе врос!а! во!игюп и(х, С) = в!п(чх) сов(чг) оп а агар)йсв сегпипа! Сп висЬ в чау сйас сЬе пгойоо оГ СЬе вспп8 и с!ваг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
