Chertov (523131), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Вектор р составляет угол а,=60' с направлением силовых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол (1=30'. М Ф / р/ / / Рис. !6.2 (1) 215 Р е ш е н и е. Из исходного положения (рис. 16.2, а) диполь можно повернуть на угол (1=-30'=и!6 двумя способами: или по часовой стрелке до угла а,=-а, — Р— — и!3 — и!6= — п16 (рис. 16.2, б), или против часовой стрелки до угла а,==а,+!)=п!3+об= — и/2 (рис. 16.2, в).
В первом случае диполь будет повертываться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицатель- на. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил, и, следовательно, работа внешних сил при этом положительна. Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.
1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол а дА=Мс(а=рЕ з1п ас(а, а полная работа при повороте на угол от а, до а а а А = ~ рЕ з1 п а с(а = рЕ ~ з! п а да. а а, Произведя интегрирование, получим А = — рЕ (соз а — соз а,)=рЕ(соз а, — сов а). Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке А,=рЕ(соз а„— соз а,)= — 21,9 мкДж, против часовой стрелки Аз= — рЕ(соз а, — соз аз)=30 мкДж.
2«й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии ЛП соотношением А=-ЛП=П, — П„ где П, и П, — потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой П =- — рЕ соз а, то А=-рЕ(соз а, — соз а), (2) что совпадает с формулой (1), полученной первым способом. Пример 2. Три точечных заряда Я„Яз и 9з образуют электрически нейтральную систему, причем 41,=1З»=10 нКл. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника.
Определить максимальные значения напряженности Е,„и потенциала ~2,„поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии г==1 м от центра треугольника, длина а стороны которого равна 10 см. А а=а за1 аг Рис, 16.3 Рис. 16.4 Р е ш е н и е.
Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов 9, и 9, лежит на середине отрезка прямой, соединяющей этн заряды (рис. 16.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд 11=-Я,+Я,— 2Я,. А так как система зарядов нейтральная (9+1«з+Я»=0) то цз--- — (Я1+а) == — а. Так как расстояние 1 между зарядами Я, и — Д, равными по значению, много меньше г (1«г) (рис. 16.4), то систему этих двух зарядов можно считать диполем с электрическим моментом р=- 411, где 1 — плечо диполя, равное по модулю а)'3~2 (см. рис.
16.3). Так как 191=-2Я„то электрический момент такого точечного 216 (2) 217 диполя р=Я,а)' 3. Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех зарядов представим как два диполя с электрическими моментами р, и р, (рис. 16.5), равными по модулю: р,= ~р, (=-9,а; ре= (р,~=Яка. Р Электрический момент р системы зарядов найдем как векторную сумму р, и р„ л1г р~ т. е.
р=р,+р,. Как это следует из рис. д)г 16.5, имеем р — -2р, сов((1»2). Так как р,=Я,а и р =-л,'3, то г р =- 2Я, а )' 3, 2 = Я,а 'к~3, что совпадает с найденным ранее зна- Рие. ! 6.5 чением. Напряженность Е и потенциал ер поля диполя выражаются формулами Е= »)'1» Зсоз'а; 4леака Ч» == —. сова, Р 4леа»е где а — угол между векторами р и г (см. рис. 16.1). Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при а=-0; следовательно, Е 2,7 4ле, а ' ' а'к» 4ле ее Так как р — Я,а1 3, то 4ле еа ' ' »лаа» 4ле ка ' а~' л 'а" Вычисления дают следующие значения: Е,„=-.3,12 В,'и; ча „=-1,56 В. Пример 3. В атоме иода, находящемся на расстоянии г==1 нм от альфа-частицы, индуцирован электрический момент р=1,5х :с10 " Кл и. Определить поляризуемость а атома иода.
Р е ш е н и е. По определению поляризуемостп, она может быть выражена по формуле (1) еаЕеак где р — индуцированный электрический момент атома; Е»„„— напряженность локального поля, в котором этот атом находится. В данном случае таким полем является поле, созданное а-частицей. Напряженность этого поля определяется выражением 4 Подставив выражение Е,а„из равенства (2) в формулу (1), найдем се =-2пгер!~е(. Произведя вычисления по этой формуле, получим а=5 9, 10-зз мз Пример 4. Криптон находится под давлением р=10 МПа при температуре Т= 200 К. Определить: 1) диэлектрическую проницае- мость е криптона; 2) его поляризованность Р, если напряженность Е, внешнего электрического поля равна 1 МВ!и.
Поляризуемость а криптона равна 4,5 10 " м'. Р е ш е н и с. 1. Для определения диэлектрической проницае- мости криптона воспользуемся уравнением Клаузиуса — Мосотти, записанным в виде е — 1 1 — =. — ал, с+2 3 где л — концентрация атомов криптона. Выразим из этой формулы диэлектрическую проницаемость: 1+з/заз 1 — 1зае ' Так как концентрация молекул (атомов) связана с давлением и температурой соотношением п=р7(зсТ), то 2 сср 1+ —— 3 Ьт е=- 1 ар 1 — —— 3 Гст Выразив все величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ (а=4,5 1О "м', р=10МПа=10з Па, л=-1,38 10 ззДж/К, Т=200 К) и произведя вычисления, получим е=1,17.
2. По определению, поляризованность 1 а Ер' где р; — электрический дипольный момент, индуцированный в 1-и атоме; 7!с' — число атомов в объеме сз)с. В однородном электри- ческом поле все р, совпадают по модулю и направлению, поэтому геометрическую сумму можно заменить на арифметическую. Обо- значив 1р;1=-р, получим Яр Р= —. лр Отношенне числа Лс атомов к объему Л)с есть концентрация п ато- мов. Тогда Р=лр. Так как электрический дипольный момент атома пропорционален напряженности Е„,„локального поля (р=ие,Е„„), то поляри- зованность Р = ае,пЕ„,.
Выразив Е„„через напряженность Е, внешнего поля (-- =.+. зе Е„„= — Ез) и л через давление р и температуру Т(п=р1йТ)з 218 получим Зае,ер — ]2))т о. Подставим числовые значения и произведем вычисления (при этом воспользуемся значением е=1,17 найденным в п. 1 данного примера): Р = 1,60 10 ' Кл!м'= 1,60 мк Кл/м".. Пример 5. Жидкий бензол имеет плотность р=899 кгlм' и показатель преломления п=1,50. Определить: 1) электронную поляризуемость а, молекул бензола; 2) диэлектрическую проницаемость е паров бензола при нормальных условиях.
Р е ш е н и е. 1. Для определения электронной поляризуемости воспользуемся формулой Лоренц-Лорентца: Мп2 — 1 1 р пе-]-2 З ~е~~~ откуда ЗМ (а — 1) р)Чл(~2+2) ' В полученное выражение входит молярная масса М бензола. Найдем ее. Так как химическая формула бензола С,Н„то относительная молекулярная масса М„=б 12+6 1=78. Следовательно, молярная масса М=78 10 ' кг)моль. Подставим в формулу (1) числовые значения физических величин и произведем вычисления: 3 78 1О-е К1,50)2 — 1] 899 6,02 10е'111,80)'+2] 2. Диэлектрическую проницаемость паров бензола найдем, воспользовавшись уравнением Клаузиуса — Мосотти: е — ! ! (2) где п — концентрация молекул бензола.
Заметим, что молекулы бензола неполярны и поэтому обладают только двумя типами поляризации: электронной и атомной,— причем атомная поляризация мала и ею можно пренебречь, считая а-а,, Кроме того, при нормальных условиях е мало отличается от единицы и приближенно можно считать а+2=3. Учитывая эти соображения, формулу (2) можно упростить: е — 1жа,п, откуда е=]+а,п. При нормальных условиях концентрация и молекул известна и равна числу Лошмидта (пл-— — 2,69.10"' см '). Выразим концентрацию молекул бензола в СИ (п=2,69 10" м ') и произведем вычисления: а=1-]-1,27 10 "° 2,69 10м.= 1,00342. 2!9 Задачи Напряженность и потенциал поля диполя. Электрический момент диполя 16.1.
Вычислить электрический момент рдиполя, если егозаряд !1=10 нКл, плечо 1=0,5 см. 16.2. Расстояние ! между зарядами Я=-~З,2 вКл диполя равно 12 см, Найти напряженность Е и потенциал р поля, созданного дипо- л лем в точке, удалеинои на г=- =-8 см как от первого, так и от второго заряда. 16.3. Диполь с электрическим моментом р -0,12 нКл м образо- ван двумя точечными зарядами Я=-~1 нКл. Найти напряженность Е и потенциал Ч~ электрического поля в точках А и В (рис. !6.6), находящихся на расстоянии г=. 8см от центра диполя.
16.4. Определить напряженность Е и потенциал ~р поля, созданного диполем в точках А и В (рис. 16.6). Его электрический момент р=-1 пКл м, а расстояние г от точек А и В до центра диполя равно 10 см. 16.5. Определить напряженность Е и потенциал ~р поля, создаваемого диполем с электрическим моментом р-==4 пКл м на расстоянии г=-10 см от центра диполя, в направлении, составляющем угол а=60" с вектором электрического момента. 16.6. Диполь с электрическим моментом р= 1 пКл м равномерно вращается с частотой и=10' с ' относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в некоторой точке, отстоящей от центра диполя на г==-! см и лежащей в плоскости вращения диполя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
