Chertov (523131), страница 41
Текст из файла (страница 41)
По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом Й, равномерно распределен заряд с линейной плозностыо т=-10 нКл!м. Определить напряженность Е и потенциал У ~Г электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, сов- 1 падающей с центром кривизны 6Еи дуги. Длина 1 нити составля- ~ о - > х ет !!3 длины окружности и равна 15 см. Р е ш е н и е. Выберем оси координат так, чтобы начало са=ы координат совпадало с цент- Г ром кривизны дуги, а ось р была симметрично расположе- Рнс. 15.2 на относительно концов дуги (рис. 15.2).
На нити выделим элемент длины 41. Заряд ЛЯ==тг)1, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность бЕ поля, создаваемого зарядом Щ тш 4пацг' где г — радиус-вектор, направленный от элемента й к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор дЕ через проекгцш с1Е,. и г)Еа на оси координат: <1В = 1дЕ, + 16Еги где 1 и 1 — единичные векторы направлений (орты).
Напряженность Е найдем интегрированием: Е =- ~ г)Е = 1 ~ ЙЕ„-1- 1 ~ дЕ, ! Интегрирование ведется вдоль дуги длины Е В силу симметрии ин- !9? теграл ~ АЕ„равен нулю. Тогда Е=1 ~ ЙЕ„, где пЕ =пЕсозО= 4, созО. Так какг=тс=сопз( и И=гте(О,то т <~1 е 4леого ОЕ = — созО= — созООО. тйаО т е 4лео й' 4леой Подставим найденное выражение АЕ„в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до ЫЗ, а результат удвоим: л13 Е =) — ( созО 83 =1 — ) з1пО 1о1'. 4леой влеой о Подставив указанные пределы и выразив 1т' через длину дуги (31= =2лй), получим Е=1 — )г3.
бео1 Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу. Подставив значение т и 1 в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем Е = 2,18 к В /м. Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал дер, создаваемый точечным зарядом ЙЯ в точке 0: тш Йер =— 4леое ' Заменим г на 14 и произведем интегрирование1 т Г г1 ор= — ) И= 4леой ) 4леой о Так как 1=2лЯ/3, то ор=т1 (Оео). Произведя вычисления по этой формуле, получим ор=188 В.
Пример 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом Я=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т=20 нКл!м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях а,=-0,5 см и ао=2 см от поверхности цилиндра, в средней его части. Р е ш е н и е. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е= — ягае( ор. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде Е= — —, или о)ор= — Е Ог. йр Йе (2) где г — расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня.
гна Из рис. 15.3 следует, что о)1= —. Подставив это выражение ссеа ' Н1 в формулу (2), найдем еда 4ле, сое а' Интегрируя полученное выражение в пределах от ае до а.„ получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным 199 Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциа- лов двух точек, отстоящих на ге и г, от оси цилиндра: го оро — гр, = — ) Е е(г.
(1) г1 Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для вырзження напряженности поля можно воспользо- ваться формулой Е = — —. Подставив это выражение Е в равен2пеог ство (1), получим го 'ре — Те= — — ) — = — — 1и —, илп 2нео 3 г т о го ор — гр = — 1и —. 2аео Так как величины го и г; входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: г,=И+а,=1,5 см; г,=)с+а,=-З см. Подставив значения величин т, ео, г, и г, в формулу (2) и вы- числив, найдем оРо — гРо=250 В.
Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, не- сущим равномерно распределенный по длине заряд т=0,1 мкКл!м. Определить потенциал гр поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня, Р е ш е н и е. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления по- тенциала формулу ор =— (1) 4веог' справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если раз- бить стержень на элементарные отрезки 51, то заряд тб1, находя- щийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и то- гда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, полу- чим (2) 'на стержне: а, а, и т 1 ь ~ 4ле, сов и 4ле,,) соз а' и, В силу симметрии расположения точки А относительно конной ! стержня имеем ест=-ат и поэтому а, а, ~ — = 2) — '.
Следовательно, 4леэ о созя' о Так как ~ —,'" =1п16Я+4)+С (см. табл. 2), то Подставляя пределы интегрирования, получим 2т Г л л1 2т л ~р = — — 1 1п 1ст — — 1п 1я — ' ~ =- —, 1п 1 4лео 1, 3 4 ) 4лес ь 3 Сделав вычисления по этой формуле, найдем <р=--990 В. Пример 6. Электрон со скоростью п=!,83 10' мыс влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля.
Какую разность потенциалов 1У должен пройти электрон, чтобы обладать энергией Е;= 13,6 эВ э? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия !3,6 эВ называется энергией ионизации водорода.) Р е ьн е н и е. Электрон должен пройти такую разность потенциалов 1/, чтобы приобретенная при этом энергия ЯУ в сумме с кинетической энергией Т, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизацин Ео воз т. е, %'+Т=-Е;.
Выразив в этой формуле 16'=е1т' и Т = —, полу- 2 шо чим еУ+ — = Е,. Отсюда 2Е; — тоз 2е * Электрон. вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имевшая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к применению в физике. Я > то~ >ло> > м>1 Т, = —, + — = то', = —. 2 2 4 (4) 2з! Произведем вычисления в единицах СИ: 1>'=4,15 В. Пример 7. Определить начальную скорость о„ сближения про- тонов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние г,„, на которое оии могут сблизиться, равно 10 " см.
Р е ш е н и е. Между двумя протонами действуют силы оттал- кивания, вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно решить как в инерциальной системе коор- динат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинер- циальной (связанной с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Г!рименение же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной системе отсчета.
Поместим начало координат в центр масс двух протонов. По- скольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скорости. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, ско- рость о, каждой частицы равна половине о„ т.
е. о,=о,!2. Для решения задачи применим закон сохранения энергии, со- гласно которому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е. Е=Т+П, где Т вЂ” сумма кинетических энергий обоих протонов относительно центра масс; П вЂ” потенциальная энергия системы зарядов.
Выразим потенциальную энергию в начальный П, и конечный П, моменты движения. В начальный момент, согласно условию задачи, протоны нахо- дились на болыпом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П,— О). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии Т, протонов, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
