Chertov (523131), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью о=400 нКл!и', и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью т=— = 100 нКл!и. На расстоянии г= !О см от вити находится точечный заряд Я=!О иКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости. Р е ш е н и е.
Сила, действующая на заряд, помещенный в поле, Г=-Щ, (1) где Š— напряженность поля в точке, в которой находится заряд Я. Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке 1 а Е,= —— (2) 2 ии Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно.
Его напряженность зависит от расстояния и определяется по 182 формуле Е =— 2яеог (3) Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд 11, равна векторной сумме напряженностей Е, и Е, (рис. 14.5): Š†-- Е,+ Е,. Так как векторы Е, и Е., взаимно перпендикулярны, то Е~ Е Е = г Е,' + Е'. Подставляя выражения Е, и Е, по формулам (2) и (3) в это равенство, получим '= ~ (-'-:)'+ ( (—.:")' б 1 -/ или Е= — Ъ о'+ —...
2ео г и'г' Теперь найдем силу Е, действующую на заряд, подставив выражение Е в ~)юрмулу (1): Е = Е1~ =- —, ~/ о' - 1- —,, (4) Подставив значения величин Я, е„о, т, и и г в формулу (4) и сделав вычисления, найдем Е=-289 мкН.
Направление силы Е, действующей на положительный заряд совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом и к заряжешюй плоскости. Из рис. !4.5 следует, что Е~ о о 1Кк==- — '. =-пг —, откуда а= згС15 яг —. Е~ т' т Подставив значения величин и, г, о и т в это выражение и вычислив, получим сс =- 5 1'34'.
Пример 5. Точечный заряд 1,=25 иКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом ц'=-1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью о=2 мкКл!м'. Определить силу, действующую ца заряд, помещенный от оси цилиндра иа расстоянии г=10 см. Р е ш е н и е. Сила, действующая на заряд Я, находящийся в поле, Г=С1Е, (1) где Š— напряженность поля в точке, в которой находится заряд я. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного рав- номерно заряженного цилиндра Е=т( (2пеог), (2) где т — линейная плотность заряда, Выразим линейную плотность т через поверхностную плот- ность о.
Для этого выделим элемент цилиндра длиной ! и выразим находящийся на нем заряд Я, двумя способами: Я,=о5г-а 2п)т( и 1~,=-тй Приравняв правые части этих равенств, получим т(=-2п®о. После сокращения на 1 найдем т=-2пцо. С учетом этого формула (2) при- мет вид Е=)со!(е,г). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу: Е=До)с!(е„г). (3) Так как 14 и г входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Выполнив вычисления по формуле (3), найдем Е=25 10 ' 2 1О ' 10 е1(8,85.10 " 10 10 ') Н = = 565 1О 'Н =565 мкН. Направление силы Г совпадает с направлением вектора напряженности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.
Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т=30 нКл!м, На расстоянии а=-20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом г=-1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол !1=-30' с линией напряженности, проходящей через середину площадки. Р е ш е н и е. Поле, создаваемое бесконечно равномерно заряженной нитью, является неоднородным.
Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом Фе= ~ Е„д5, (1) где ń— проекция вектора Е на нормаль и к поверхности площадки д5. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряженности. Проекция Е„вектора напряженности равна, как видно пз рис. 14.6, Е,=Е соз а, где а — угол между направлением вектора и нормалью и. С учетом этого формула (1) примет вид От, =- ) Е соз а 65. Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (г«а), то электрическое поле в пределах !84 площадки можно считать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности Е очень мало меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и сох и их средними значениями (Е) и (соз я) и вынести их за знак интеграла: Фа —— ~ СЕ> (соз гх) б5 = й гд == (Е) <сова> ~ г)5.
О... а Выполняя интегрирование и заменяя (Е) и (соз сг) их приближенными значениями Ед и соз ад, вычисленными для средней точки площадки, получим Фа = Ед соз ад 5 = пг' Ед соз г4д Рис. 14.б (2) Напряженность Ед вычисляется по формуле Ед = —,. Из !л рис. !4.6 следует созад = соя ( — ' — 13 ~ =-з(пр. (, 2 С учетом выражения Ед и соз ад равенство (2) примет вид лг'т тг' Ф =,' япй, или Ф.=- — з(п~. алто л ' 2гил Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем Ф ..—.=424 мВ м.
Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиусами 7!,=-б см и Я.,==10 см несут соответственно заряды Я,=1 нКл и Я,= — 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра %~Я и~г — — т ' сфеР на РасстолниЯх гг---б см, 7,=9 см ,г гг,и ~1 и ги=-15 см. Построить график Е(г), Р е ш е н и е. Заметим, что точки, ,/,' в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область ! (г<йг), г, .
область !! ()с,<г,<)т,), область 77! (г»Ри) Рис. 14 7 1. Для определения напряженности Е, в области ! проведем сферическую поверхность 5, радиусом г, и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса. Так как внутри области ! зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство аг 1бб где ń— нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая Е, долж- на быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.
е. Е„=Е,=-сопз1. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид Е,фб5=0. 5, Так как площадь сферы не равна нулю, то Е1=0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих усло- вию г,(й„будет равна нулю. 2. В области П сферическую поверхность проведем радиу. сом г,. Так как внутри этой поверхности находится заряд ~„то для нее, согласно теореме Остроградского — Гаусса, можно за- писать равенство ф Е„ 05 ==(~,!е,.
(2) Так как Е„=Е, — сопз1, то пз условий симметрии следует Ефд5= Ще„, или ЕЯ.,=Я!е„ откуда м~~(а~3~). Подставив сюда выражение площади сферы, получим Е, = Я!(4ж,~'.). (3) 3. В области П! сферическую поверхность проведем радиу- сом г,. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Я,+~,. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид э, Ф < ч Я~+0я Л я о Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем Ез --- М, + Я,Н(4пеА). (4) Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля: — — — — — 1 В~м Выразим все величины в единицах СИ Я,=!0 ' Кл, ~,= — 0,5с х!О ' Кл, г,=-0,09 м, г,=!5 м, 1!(4пе,)=-9 10' м1Ф) и произведем вычисления: Е,=9 1О' о о,, В(м= 1,11.10' В!и= 1,11 кВ,'м; ю — в Е,=9 10' ', В,'м=200 В/м.
1о,~81-' 186 4. Построим график Е(г). В области ? (г,(!?,) напряженность Е=О. В области П (Я,(г<)?,) напряженность Е,(г) изменяется по закону 1!г'. В точке г=-Я, напряженность Е, Я,)=9,7(4яе,)?',)= =-2500 В/и В точке г=!?, (г стремится к ??, слева) Е,Я,)= ДД4пеЯ',)=.900 В!м. В области П! (г)??,) Ее (г) изменяется по закону 1!г', причем в точке г=??, (г стремится к )? ь справа) Ее()?2) = Я1 — Д2!)~(4пео??~) = 450 В!м, Такимобразом, функция Е(г) Е,В~М в точках г =??, и г=??, терпит разрыв.
График зависимости Е (г) представлен на рис. !4.8 Задачи 900 400 Напряженность поля точечных зарядов 0 91 Я2 г 14.1. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом = 10 нКл на расстоянии г==!0 см от него. Диэлектрик — масло. 14.2. Расстояние д между двумя точечными зарядами Я,=+8 нКл и Я,=- — 5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным? 14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами (?,=10 нКл и Я;= — 20 нКл, находящимися на расстоянии д=20 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на г,=30 см и от второго на г,=50 см. 14.4. Расстояние с( между двумя точечными положительными зарядами Я,=99 и 1С,=11 равно 8 см.
На каком расстоянии г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным? 14.5. Два точечных заряда Я,=29 и !З,= — Я находятся на расстоянии д друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю. 14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами !е',.=-40 нКл и Я,= — 1О нКл, находя1цимися на расстоянии д=10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на г,=12 см и от второго на г,=6 см. Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере 14.7.
Тонкое кольцо радиусом )? =8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т=10 нКл,'м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г=!О см? !87 14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью о=1 нКл'м'. Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы. 14.9. На металлической сфере радиусом Я=!О см находится заряд Я вЂ” ! нКл.
Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: !) на расстоянии г,=-8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии г,— !5 см от центра сферы. Построить график зависимости Е от г. 14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами )7,— 6 см и )с,— !О см несут соответственно заряды (1,= =-! нКл и !е.,== — 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях г,=-5 см, г,,=9 см, г,= =!5 см. Построить график зависимости Е(«). Напряженность поля впряженной линии 14.11.
Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность т заряда, если напряженность Е поля на расстоянии а= =-0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В(м. 14.12. Расстояние й между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью !т)- — — !50 мкКл'м. Какова напряженность Е поля в точке, удаленной па г — 10 см как от первой, так и от второй проволоки? 14.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
