Chertov (523131), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение Й1=р !р. Как следует из уравнения (2), р'=тюа(рю, или р'=(т!М)юа1Я', (4) где а — постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа. После вычисления по формуле (4) найдем р'=179 кПа. Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из уравнения (2): юйТ а о тю 1' — тЬ 1" ' После вычисления по этой формуле получим нагревании газа его объем 17 увеличился в Ь=-2 раза. Определить изменение ХТ температуры газа, если его критическая температура Т,р=- 304 К.
Р е ш е н и е. Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление р, малярный объем (7 и температура Т реального газа с соответствующими критическими параметрами представлены в виде следующих отношений: ы Грк/1 рр кр т Т(7 кр Из этих ранено~в получим: Р= лркр' 1 ~к =РР) икр~ 7 =т7 кр Подставив сюда выражения р„р, 1' „, и Тк, через постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, найдем: а аа р= — л; )7 =31ко; Т= — т. 27ЬР ' '" ' 27ЬЙ Полученные выражения р, 17 и Т подставим в обычное уравнение Ван-дер-Ваальса: После сокращения на а~'(27Ь) и в правой части на Я получим (л+3'рак) (Зы — 1) =8т, (1) Это несть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведен ной фа рм е.
Оно не содержит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойства газа, и поэтому является универсальным. Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается постоянным (р==ркр), то л=-1; малярный объем газа согласно условию увелкчился в два раза, т. е. Р =-2(7 „„; следовательно, ра=2. Из уравнения (1) выразим приведенную темйературу т: т = 178 (л -,' 3, рак) (Зрр — 1). Подставив сюда значения л и ы и произведя вычисления, найдем т =-- 35,'32. Температура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой т и критической Т,р соотношением Т=тТкр.
Произведя вычисления по этой формуле, получим Т==332 К. Пример 3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой ар=- 20 г. Определить изменение ЛУ внутренней энергии хлора при изотермическом расширении его от р',=200 смк до р',=-500 см', Р е ш е н и е. Внутренняя энергия У реального (ван-дер-ваальсового) газа определяется выражением (I= — т(С Т вЂ” а'17„,1 (1) Выразив в равенстве (1) малярный объем 1' через объем 17 н 160 количество вещества т($' =КЪ) и учтя, что т=(п/М, получим (I = —,'СгТ вЂ” „'„'~. (2) Изменение Л(У внутренней энергии в результате изотермпческо- го расширения найдем как разность двух значений внутренней энер- гии при объемах 1Г, и $',: Л(у (( (у м"'ч 0'и )"~) (3) м2$',п~ Подставив значения величин в формулу (3) и произведя вычис- ления, получим (20.10-з)м0660(6 2),10-т Л(l=(/,— (.(,=, „., '..., Д =154 Дж Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энергии соответствовало бы нагреванию на 26,3 К.
Пример 4, Найти добавочное давление р внутри мыльного пузы- ря диаметром г(=!О см. Определить также работу А, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь. Р е ш е н и е. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказы- вают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхнос- тей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление р=— =-2 2а!г, где г — радиус пузыря. Так как г=г((2, то р=8аЯ, Подставив в эту формулу значения а=40 10 ' Н/м (см. табл. 15) и Н=О,! м и произведя вычисления, найдем р=3,2 Па.
Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на Л5, выражается формулой А=-аЛ5, илн А=а(5 — 5,). В данном случае 5 — общая площадь двух сферических поверх- ностей пленки мыльного пузыря; 5, — общая площадь двух по. верхиостей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая 5„, получим Аж а5=2л(Ра, Сделав подстановку значений величин, получим А =2 5 мДж.
Пример 5. Определить изменение свободной энергии ЛЕ поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от Р,=10 см' до $',=2г',. Р е ш е н и е. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорциональна площади 5 этой поверхности: Е=а5, где а — поверхностное натяжение, У мыльного пузыря имеются две поверхности — внешняя и внутренняя, площади которых практически равны из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности 6 гя !268 161 Рас. 12.2 (внеппзей и внутренней вместе) мыльного пузыря Е=2о5, (1) Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверхностное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только температуры, остается постоянным.
Следовательно, по формуле (1) изменение свободной энергии АЕ=2аб5, (2) где Л5 — изменение поверхности пузыря (одной — внутренней или внешней). Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение площади поверхности: Л5 — 4лг'.,— 4лг,", (3) где г, и г, — радиусы сфер, соответствующие начальному )г, и Г З1Г,~ М ~ Зг,~нз конечному )г, объемам: г,= — ( 4 ), гз=( — ) . Теперь формула (3) примет вид (14 ) 4 ) Учитывая, что $',=-2)г,, получим после вынесения общего члена ) З1г, Хм' — за скобку 4л ) Л5 =- 4л ( — ') (2"' — 1).
Подставим выражение Л5 в формулу (2): ЬЕ = — 8ло ( 4 ~ ) (2" ~ — 1). (4) После вычисления по формуле (4) получим Ь Е= 106 мкДж. Пример 6. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (рис. 12.2) и бьет из отверстия П вЂ” П со скоростью о,,= Ю =12 м1с. Диаметр 0 бака равен 2 м, диаметр 4( сечения П вЂ” П равен 2 см.
Найти: 1) скорость о, понижения воды в баке; 2) давление р,, под которым вода подается в фонтан; 3) вы) а;/! соту й, уровня воды в баке и высоту ~~ ф й.„, струи, выходящей из фонтана. Р е ш е н и е. 1. Проведем сечение с' 1 — 1 в баке на уровне сечения П вЂ” П вЂ” — — -1 — 1~-- — з фонтана. Так как площадь 5, сечения 1 — 1 много больше площади 5, сечения П вЂ” П, то высоту й, уровня воды в баке можно считать для малого промежутка времени постоянной, а поток — установившимся.
Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: о,5,—."ц,5„откуда о,=и,5,15„нли о,=о,(Ю0)'. (1) Подставив в равенство (1) зпачеипя заданных величин и произ; ведя вычисления, найдем и,— 0,0012 м!с. С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи. 2. Давление р„под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли.
В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид д~ -'- М~'2 = дг + рп;/2. (2) Учтя, что р,=0 (под давлением подразумевается избьпочное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим д, =- рп'72 — рп,",2. (3) Так как п,«о.ь то из равенства (3) следует р, = р и;'!2. После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем р,=72 кПа. 3.
Высоту й, уровня воды в баке найдем из соотношения р,= =й,рд, откуда й,==д,1(к). Произведя вычисления по этой формуле, найдем й,— 7,35 м. Зная скорость о„с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту йм на которую она будет выброшена: й, =-о,'!(2д) = — 7,35 м. Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха. Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным.
Движение считать установившимся, Р е ш е н и е. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса. Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром И, то число Рейнольдса определяется по формуле Йе=-рпд1П, (1) а критическое значение этого числа Ке„г=0,5.
Скорость и выразим, исходя из следующих соображений. На 1бз свинцовый шарик, падающий р глицерине, действуют.три силы'„ 1) сила тяжести шарика Р р, я 1 г с Д 3 где р„— плотность свинца; $' — объем шарика; 2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда, Вввсг =Реп) Ы = )впрглйд где рг, — плотность глицерина; 3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса, Е„= бпт)гп =- Зпл)до. При установившемся движении шарика в жидкости (о=сопз1) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е. л) р ьгдз г) ярлзглз ~ 3 откуда ()Зев — Рг ° ) й Лз (2) )зч Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно и', найдем )зг)' ке )згл йзсв — )лгл) ы Максимальное значение диаметра д,„, при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Ке„.
Поэтому пе пгак )агл )Рсп Ргл) Хг Подставив сюда значения величин Ч (см. табл. 14), Ке„„р„, р„и д и произведя вычисления, получим е(,„,„=5,29 мм. Задачи Зграанение Вон-дер-Ваальса 12.1. В сосуде вместимостью г'=-10 л находится азот массой зп=- =0,25 кг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
