Chertov (523131), страница 37
Текст из файла (страница 37)
$14. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СМЕЩЕНИЕ Основные формулы ° Напряженность электрического поля Е= Р79, где г — сила, действующая на точечный положительный заряд 1Т, помещенный в данную точку поля. Ф Сила, действующая на точечный заряд !З, помещенный в электрическое поле, Е=ЯЕ. ° Поток вектора напряженности Е электрического поля: а) через произвольную поверхность о, помещенную в неодно- родное поле, Фп = ~ Есозаг)В, или Ф-= ~ Е„о5, Е 5 где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью и к элементу поверхности; о5 — площадь элемента поверхности; ń— проекция вектора напряженности на нормаль; б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное элект- рическое поле, Фа=Ел соз а.
° Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверх- ность Фл=фЕ„г)3, где интегрирование ведется по всей поверхности, 177 Ф Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды ф Яа, °, Яд, и 1 ч~~ !=! где ~~Р~ Я! — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри !=! замкнутой поверхности; п — число зарядов, ° Напряженность электрического поля, создаваемого точен. ным зарядом Я на расстоянии г от заряда, Е= — —. 1 9 4яео аг' ' ° Напряженность электрического поля, создаваемого металли- ческой сферой радиусом 1с, несущей заряд Я, на расстоянии г от центра сферы: а) внутри сферы (г()с) Е=О; б) на поверхности сферы (г=)с) 1 Е= — —; 4лао е!1' ' в) вне сферы (г)Я) ! Е= — —. 4аао ~~' ° Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей„ согласно которому напряженность Е результирующего поля, создан- ного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геомет- рической) сумме напряженностей складываемых полей: Е=Е,+Е!+...+Е„.
В случае двух электрических полей с напряженностями Е, и Е, модуль вектора напряженности Е = ггЕ', + Е,'+ 2Е„Е, соз а, где а — угол между векторами Ег и Е,. ч1 Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной рав- номерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии г от ее оси, Е= — —, где т — линейная плотность заряда. Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра): а!г т=— а1 !та ° Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, 1 а Е= — —, 2 ате' где о — поверхностная плотность заряда. Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отно- шению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности; лс) о= —.
з5' ° Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостя- ми, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью а заряда (поле плоского конденсатора) Е= —. я гоз Приведенная формула справедлива для вычисления напряжен- ности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинамп много меньше линейных размеров пластин конденсатора. ° Электрическое смещение 0 связано с напряженностью Е электрического поля соотношением 0 = е,еЕ.
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлект- риков. ° Поток вектора электрического смещения выражается анало- гично потоку вектора напряженности электрического поля: а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность ЛЧ'=ЮЛЯ соз к; б) в случае неоднородного поля н произвольной поверхности Ч =~0„йЕ, где Е1„ — проекция вектора 0 на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна о5.
° Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора элентри- ческого смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охваты- вающую заряды (,1„Я„..., Д„, и 'р=- Ха„ ю=! где и — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности. ® Циркуляция вектора напряженности электрического воля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Цир- куляция выражается интегралом по замкнутому контуру уЕИИ, 179 где Е, — проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.
В случае электростатического ноля циркуляция вектора напряженности равна нулю: фЕ,б(=-О. Примеры решения задач Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: ф — ЗО нКл и Яп= — — 10 нКл. Расстояние с( между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии г,=-!5 см от первого и на расстоянии г,=10 см от второго зарядов. Р е ш е н н е. Согласно принципу Е~ ~,Гп у' суперпознции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженРнс.
!4.1 ность Е электрического поля в искомой точке может быть:найдена как векторная сумма напряженностей Е, и Е, полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е= Е,+ Еп Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме а первым и вторым зарядами, соответственно равны (1) 4папс, 4напсй Вектор Е, (рис. 14.!) направлен по силовой линии от заряда Я„так как заряд 1,!,)О; вектор Е, направлен также по силовой линии, но к заряду Я„ так как !),(О. Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов: Е =!' Е',—; — Е', ', 2Е,сова, (2) где угол а может быть найден нз треугольника со сторонами г,, г, и вй и и о — гп — сп со.
а= 20 гп В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение соз а. По этой формуле найдем соз а =- 0,25. Подставляя выражения Е, и Еп по формулам (1) в равенство (2) и вьшося общий множитель 1!(4яс„) за знак корня, получаем Г О.; , д, ! О,!! 04! 4яе 1/ и и соз а. 4яп)' са сп с,гп См, сноску на с. !73. !80 Подставив значениЯ величин Я! 'е„, (З„(~„»гь г, и и в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем !Ог. ° / (30 ° 10 ) ! (10 ° 10 )' 2(30 10-е) (10 1О г)г Е=- ''~г (!3 !О г)г+ (!О !О г), +2(!8 1,) ...1,1 !О г,гсозсе В)м= =1,67 !О' В)м = 16,7 кВ м.
Енн 1 !а,— а,', 2 ее Подставив данные и произведя Еп'=Еин'=28,3 кВ!м; Енп= вычисления, получим 17 кВ)м. Картина распределения силовых линий суммарного поля представлена на рис. 14.3. Пример 3. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд Я=-1О нКл. Площадь 5 каждой пластины конден- 181 Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельнычн бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда 0,=-0,4 мкКл'мг и аг=-0,1 мкКл!мг, Определгпь напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.
Р е ш е н и е. Согласно прннпипу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствияия другой заряженной плоско- 7, 77, Ш сти (рис. !4.2). Напряженности однородных электрических нолей, создаваемых первой Ег / н второй плоскостями, соответственно равны: Плоскости делят все пространство на три области: !. П и 7П. Как вид- Ряс.
14.2 но из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей Ен' и Епю в первой и третьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой н второй плоскостями: Ен'=-Е'!и'=Е,+Е„нли Еп, Епгп 1 аг+аг 2 ее Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следовательно, напряженность поля Енп равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Епп= (Ег — Е,(, или сатора равна 100 см'.
Определить силу Е, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным. Р е ш е н и е. Заряд Я одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора, Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 14.4) Е= — ЕД, (1) где Е, — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины. Но Е,==- — = —, где о — поверхностная плотность заряда о 2ио 240~ пластины. \ Рис. 14.3 Рис. 14.4 Формула (1) с учетом выражения для Е, примет вид К=Я'1(2ео5). Подставив значения величин Я, е, и 5 в эту формулу и произведя вычисления, получим Е=565 мкН. Пример 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
