Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 61
Текст из файла (страница 61)
г т ! т г 2 ! Поэтому соответствующая линейная система запишется в виде: х! — — Хг — хт, хт = хт !и 2 — з(ЗХ!. Характеристическое уравнение полученной системы Л'+ Л(1 — 1п 2) + АЗ вЂ” 1и 2 = 0 имеет корни Льг, где КеЛьг < О, т.о., нулевое решение асимптотнчески устойчиво. и 592. х, = е" — е и) ) хг = 4хз — 3 пи(х, + хг), йз = !п(1+ хз — Зх!). < Как и в предыдущих примерах, пользуясь формулой Маклорена, представляем правые части в виде: й( -Зт) 1 2 2 т 2 т е — е =хт+Зхз+ — х! — — из+о(х, + хт+хз), 2 2 4хз — 3зтп(х! +Хт) = 4хз — 3(х! + х2) + 0(х! + хг + хз), ! г т т !п(1+ хз — Зх!) = хз — Зх! — — (Хз — Зх!) + о(х! + Хг + хз).
2 Далее, исследуем на устойчивосп нулевое решение системы: х! — — х, + Зхз, хг — — — Зх, — Зхт+4хз, хз = -Зх, + из. Корни Л характеристического уравнения ! 1 — Л 0 3 -3 -3 — Л 4 = 0 суть Л! — — — 3, Лг,з = 1ХЗт. -3 0 1 — Л Поскольку Ке(Лт,з) > О, то по первой теореме Ляпунова нулевое решение данной сисшмы не- устойчиво. м 593. х! = х! — Хг — хз, хт — — хт+ хт — Зхз, х, = х! — 5хг — Зхз. < Поскольку один из корней характеристического уравнения 1 — Л -1 — 1 Р(Л)= 1 1 — Л -3 =О 1 -5 -3 — Л удовлепюряет неравенспим 3 < Л < 4 (у(З) > О, е'(4) < 0), то нулевое решение неустойчиво Гл.
6. Устойчивость и фазавые траектории 282 594. При каких действительных значениях а точка покоя х, = О, хз = О, хз — — О системы х1 = ах! — хз, йз = ахз — хз, хз = ахз — х1 зстойчиваз м Из характеристического уравнения -1 0 а — Л вЂ” ! =(а — Л) — ! =О 3 0 а — Л а — Л 0 — 1 3 Л ч'3, з/3 1 ~ ехр ( — — 1/1, соз — 1, з!и — й 2,)' 2 ' 2 Таким образом, мы имеем неасимптотическую устойчивость (вообще говоря, в некоторой окрест- ности точки покоя будет набзподаться колсбательный процесс).
~ В задачах 595 — 597 исследовать, при каких значениях параметров а и Ь асимптотически устойчиво нулевое решенно. 595 х~ = ах| — 2хз + хн хз = х1 + хз + х!хп 3 м Поскольку х)з ~< х!+ х; = а!(хп хз)~)Х)~, !хх~ < !(х', + х) = аз(хп хз)!!Х!1, а(х„х) = = 2а,(х„х,) = Л(гх + х', = ЦХ(~ 0 при х!+х, О, то пользуемся первой теоремой Ляпунова (см. п.!.2).
Для асимптотической уск>йчивостн, согласно указанной теореме, нужно потребовать, чтобы Ке Л < О, где Л удовлепоряет характеристическому уравнению соответствующей линейной системы: Л ~ = Л вЂ” Л(а+ !) + а + 2 = О. Из выражения для корней видим, что Ке Л < О тогда и только тогда, когда выполняетсл условие: а+1 а+! + 1)з — < 0 л В < 0 ч В > 0 л з/В+ < О, где Р = — а — 2. 2 2 4 Отсюда следует, что -2 < а < -1.
М 596. х! — — х!+ ахз+ хз, х, = Ьх! зхз хп 2 2 м Легко видеть, что исследование на асимптотическую устойчивость нулевого решения данной системы сводится к вьшвлению условий, при которых Ке Л < О, где Л вЂ” корни характеристического уравнения ~ = Л' + 2Л вЂ” 3 — аЬ = 0 ~ Ль з = — 1 ~ з/4 + аЬ.
1' " — -'. = ' Ясно, что при аЬ+4 < О либо при аЬ+4 > 0 и ~/аЬ+4 < 1 будет Кел1 < 0 и КеЛ, < О. Решив последние неравенства, окончательно имеем: аЬ < -3. М 597. х, = 1п(е+ ах,) — е", х, = ах, + гйхз. м Предварительно разложив правые части уравнен!рй в ряд Маклорена и отбросив нелинейные члены, будем исследовать на асимптотическую устойчивость линейную систему: а х~ = — х~ хз~ йз =Ьх, +хз, е Корни характеристического уравнения этой системы суть полугаем Л, = а — 1, Л = а+2-(-2-, Л, = а+2+(-2-, Изусловия а — 1 < 0 л а+2 < 0 находим ° чз ! ° чгз те значения а, прп которых нулевое решение асимптотически устойчиво: а < -2.
Далее, если 1 а > — 2, то Ке Лаз > О. Следовательно, нулевое решение неусгойчиво. Наконец, если а = — 2, ! 1 зо Л, = — 2, Лз з — — х(-2-, и обпзее решение данной системы будет линейно выражаться через 3 3 функпнн Гл. 6. Устайчввасть я фазавые траектарви бр 1., - 3 - гэ+ ч + *„ь - р~ ! - 31.
м Ревмя систему уравнений 3 гз+*'+* =О рм р О, находим точки равновесия; (-2, 1); (2, 1). Сделав замену х, = 2(-1) + ег, хт — — 1+с,, й = 1, 2, приходим к системе уравнений с малыми возмущениями ег, ез. е! —— 3 — 9+аз+4. ( — 1)ьег+еэг, ег = )п(1+4( — !) е, +ег(. р 21 Выдегия с помощью формулы Тейлора линейные члены в правых частях этих уравнений, получаем соответствующую линейную систему: ррг 1 ° р е, = — (-1) е! — -ем еэ =4(-1) ен 3 6 характерисгическое уравнение которой 2 гм 2 Л вЂ” — ( — 1) + — (-1) = 0 3 3 11Ры имеет коРни Льэ — — — 9 — х 9+ 3(-1)Ргг. Отсюпа следУет, что КеЛгд < 0 пРи й = 2; а при В = 1 олин из корней ноложитеаен.
Позшму точка равновесия (2, 1) устойчива, а точка ( — 2, 1) — нет. ~ 1 б02. х! — — 1п(1+х, + япхг), х, = 2+(Зз!пхг — 8)э. м Система уравнений 1 1л(1+ хэ + з!и х) = О, 2+ (3 йп х, — 8) э = 0 имеет следующие пары действительных корней: (Ьг, 0), где й б Е. Далее, как и в предыдуших примерах, делаем замену х1 — — Ьг+ен хэ = е,, а затем уже известным способом получаем линейную относительно малых возмущений ен ег систему уравнений: р . р1 е~ =ег+ ( — 1) ен еэ = ( — 1) — ен 4 корни характеристического уравнения которой имеют вид: 1 у Лкз = — ((-1) *)Г1~+ +(-1)р). 2(, Далее применяем первую теорему Ляпунова, п.1.2. Именно, если й = 2п+ 1, то йеЛь, < О.
Следовательно, точки равновесия ((2я+ !)я, 0) асимптотически устойчивы. Если же й = 2п, то Ке Лг > О. Поэтому точки равновесия (2пх, О) неустойчивы. !ь Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений: б03. й+9х=яп!. м Пусть е(!) — малое возмущение общего решения 1 х = С, япЗ!+ Стсоз31+ — яп! 8 данного уравнения. Тогда, произведя замену х = Сг зш 3!+ С, соз 31+ в яп г+ е(!), относительно 1 функции е = е(!) известным пугая получим уравнение с+9е = О, общее решение которого е(!) = Аз)пЗ!+ВсозЗ!.
Отскща следует, что если в начальный момент гр возмущение мало (~/А~+ Вт < б), то в сил' оценки (е(Г)) < ъГАт+ Вт < б = е оно останется малым тт > Гр. Таким обрамгм, все решенг .. данного уравнения устойчивы (асимптопрческой же устойчивости нет, поакааыгу е(!) / 0 лри ! — +со). > 285 $1. Устойчивость 604. 'х+4х+ 5х = г. <«Для проверки устойчивости общего решения гг х(1) = Сэ+ е ~(Сгсоаг+Сэппг)+ — — — 1 РО 25 предложенного уравнения введем функцию возмущения е = е(1), положив -в 4 х = С, +е (Сгсозг+Сэз!пг)+ — — — (+е(1). 10 25 Тогда относительно е(1) получим уравнение: 'е'+4е+ 5г = О, из которого следует сОЛ = Аз+с г (Агсоз(+ Аэз!пт).
Отсюда видим, что если !Аэ/+ )гэА, '+ Аэ г< д (начальные возмУщениЯ малы), то и пРи 1 > Ге бУдет )с(ЙЯ < )А э )+~/А', + А,' < д = е, где с > 0 — наперед заданное чисэю. Следовательно, асс решения исходного уравнения устойчивы (асимптотичсской устойчивости нет, так как !пн х(1) ~ 0). > г «о 605. Найти периодическое решение уравнения 'х +к = саз( и исследовать его на устойчивосгь. <«Из общего решения уравнения следует периодическое решение ! й(!) = — (соз( — з!пг).
2 Сделав замену х = й(1) + е(1), относительно функции г = е(1) получаем уравнение общее решение которого е(1) =Се +ег ~Сгсоз-2-1+Сззш — 2-() -г 11 ГЗ . нэ ) неограничено в окрестности 1 = со. Следовательно, найденное периодическое решение неустой- чиво.
М Построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Летаева, исследовать устойчивость нулевого решения в следующих задачах. г э 606, Аэ = хг — хэ + хэхг, хг = хз — хг — х~ — хг. <« ЛиффеРенциРУемаа фУнкциЯ н = н(х„ хг) = х', + хгг УдовлетаоРЯет УсловиЯм: а) н(хэ, хг) > 0 при хгз + хгг зе О, н(0, 0) = 0; б) лТ = дщэ хэ+ дщ хг = 2хэ(хг-хэ+хэхг)+2хг(хэ — хз — хэ — хг) = -2 ((хэ — хг) + хг)~ < О. ан дн . дн г э г' г Следовательно, согласно второй теореме Ляпунова (п.1.3) можем утверждать, что нулевое решение устойчиво. Более того, так как поверхность х = 2((хз хг) +аз) г « имеет чашеобразный внд, то существует достаточно малая окрестносп 0 < дэ < !)х)! < бг такая, что -д- < -1) < О, где Д вЂ” число. Поэтому в данном случае нулевое решение усюйчиво лн асиюпотически.
~ 607. хэ = 2хг — хэз хг = -хг хг+ аз 3 з 3 3 «з Поскольку дифференциауемая функция н = н(хн хг) = хэ + хг удовлетворяет условиям: а) н(х„хг) > 0 при хгэ+хг Ф О, н(0, 0) = 0; б) дг = 2хэ(2хг — хэ) + 4хг(-хз — хэг + х3) = -2(хз + хг — 2хг) < 0 в некоторой малой ан окрестности тачки (О, 0), то по второй теореме Ляпунова (п. 1.3) нулевое решение усюйчиво. м 286 Гл. 6.
Усгойчиаосзь и фаммые траектории 608. й! — — 2хг — х! — хг, йз — — х! — 2хз. з м Функция е = е(х„хг) = (х!+Х,) 42хг дифференцируема, неотрицательнапри х,+х, г= 0 1 з и е(0, 0) = О. Ее полная производная ВГ в силу уравнений данной системы имеет вид: ло Ж 4 — = 2(х! + хг)(х ! + хг) + 2хгхг = — бхг < О. 4(! Следовашльно, согласно второй теореме Ляпунова (и.
1.3), пулевое решение устойчиво, ° 609. х! — — х! — Хг — х!х'„хг — — 2Х, — хг — х,. з м Проверим, что днфференцируемая функция е = е(х„х,) = х, — х,х, + 2хг удовлетворяет г ! г условиям второй теоремы Ляпунова (п.!.3). Действительно, е(х„хг) > 0 при х', + х, Ф 0 (2е = = (х, — хг) + хз > 0) и е(0, 0) = 0; 4(С . 22 2 2! — = (2Х! — хг)х! + (хг — х !)х2 — — -х2 ~(ХЗ вЂ” х2) + х1) (~ О.
З(! Таким образом, нулевое решение устойчиво. М 610. й, =-ипх„х, =х,. и В данном случае можно подобрать функцию Ляпунова в виде: ! е(х„х,) = — х, + 1 — созх,. 2 Очевидно, в некоторой малой окрестности точки (О, 0), исключая саму зту точку, будет е(х„х,) > > О. Далее, полная производная 2Г в силу данной системы имеет внд: зго = ХЗХЗ + 51ПХ2 Хг = Х1( — 51П»2) + г! 5!ПХЗ = О. зй Следовательно, нулевое решение устойчиво. и 611 х! = /!(Х1) /2(хг), хг =/з(ХЗ) — /4(хг), где зап/з(») = Збп», з'= 1, 2, 3,4. м Возьмем функцию Ляпунова е в виде 42 Е(Х1 »2) / /3(»)1!»+ / /2(»)1!»' о о Очевидно, е(О, О) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
