Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким образом, при а = 5 нулевое решение устойчиво (асимптотической устойчивости нет, так как 1лп е(!) не существует, где е(!) — возмущенное Ф +а решение). м 291 б 1. Устойчивость б29. Маятник состоит из жесткого стержня длины ! и массы гп на конце в! (рис. 30). К стержню прикреплены две пружины с жесткостью й на расстоянии а от точки крепления. Определить условие равновесия мюпника в верхнем положении.
м Пусть )з — угол отклонения стержня от вертикали. Тогда, считая угол р 1 о малым, легко составить функцию Лагранжа Ь = К вЂ” П, где К, П вЂ” кинетическая н потенциальная энергия системы соответственно. Имеем К = — т! р, П = да~у~+ ту!совр, Х = — т(~(а — йа (е — тд!соз(е 2 2 (кинетической энергией пружин пренебрегаем). Далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составляем дифференциальное уравнение, описывающее малые колебания стержня окшю вертикального положения: о !'ВЬ~ дЬ вЂ” ~ —.) — — = т!'(3+ 2йа'и — тд(яп)з = О, А! ~хдр) ду! или (ввиду малости угла <р): у)+ Азз =О, где А = — т-~.
Очевидно, при А < О устойчивости не будет (угол (е увеличивается неогра2аа — т ! го! ннченно). При А > О стержень совершает малые колебания около асртикалн. Следовательно, если 2йа' > тд(, то вертикальное положение «гержня устойчиво. )и 63().
Механическая система, изображенная на рис. 31, вращается с постоянной угловой скоростью х вокруг оси АВ. Тело массы М может двигаться вдоль вертикальной А осн АВ. Определить положение равновесия этой системы (массами стержней пренебречь). м Дзш составления функции Лагранжа вьгчислим кинетическую и потец- т т циальную энергию системы.
Имеем: < х! =хм хз = ( — 2 — а(п2х! —. уо (М+ т) япх, — Мат зт 2х!т! (гп + 2Мяп х ) г тат 2 т -! (2) К.=то у + +Т 2! М~ 2 2 где Т = та' з!п' О, х = !СТ)! = 2а сох В Поэтому вх. 3! К = то В +2Ма~у~з!п~д+ та~ы~з!и В. Потенциальную энергию системы рассматриваем относительно точки В ()СВ! = 2а), поскольку ниже точки В система расположиться не сможет. Легко видеть, что П = 2тд(КВ!+ Мд!)3В! = 2ту(2а — а сох В) + Мд(2о — 2а сот 0). Таким образом, функция Лагранжа Ь = (т+ 2Мяп В)а В +та ы яп В+2да(т+М)созд — 2ад(2т+М).
Составляем уравнение Лагранжа: А (ВЬ1 ВЬ 2 2 '2 з з. А! 'гдВ/ д — ( —.1 — — = 2а 0(т+ 2Мз!и О)+ 2а МВ яп20+2да(М+ т)яп0 — та ы яп20 = О. (!) Поскольку в положении равновесия 0 = О, В = О, то из (1) можно найти угол равновесия Ве, удовлетворяющий соотношению йп Вс(д(М + т) — том соа Ве) = О. Отсюда следуют физически возможные значения угла Ве.
д(М+ т) Ве = О, сов Ве ы < 1. таха Вводя обозначения х! = О, хз — — О, уравнение (1) представляем в виде сисшмы: 292 Гл. б. Устойчивость и фазааые траеатарии Рассмотрим устойчивость точки равновесия (О, 0). Ставя в соответствие системе (2) линеаризо- ванную систему уравнений хг = хн хг = (ог — — ( — + 1) ) х, и вычисляя корни ее характеристического уравнения г =+~~ -'-("— ~~) видим, что при условии тамг > д(М+ т), согласно первой теореме Ляпунова, точка равновесия (О, 0) неустойчива. пусть тазг~ < у(м 4 т).
тогда, подобрав функцию ляпунова е = хг(т + 2М ип х,) + 2(1 — сов х,) г — (М + т) — тог соз — ), г г /у г г х!~г а 2(г удовлетворяюпбто условиям: и(0, 0) = О, е(хн хг) > 0 при 0 < х, + хг < —, 4' е(х„хг) = 0 (в силу теоремы (2)), заключаем, что точка равновесия (О, 0) устойчива. Рассмотрим теперь устойчивость равновесия точки (до, 0). Сделан замену переменных х, = = до+ у,, хг = уг выражении для функции Ляпунова из предыдушего случая, а также потребовав, чтобы е(0, 0) = О, получаем е(ун уг) = уг~ т+2Мяп (Во+уг))+(соо(до+уг) — созда) (тог (соз(до+уг)+согде! — — (М+пг)). г/ г т/ г/ 2д Поскольку производная /(уг) = тог ( (М+по) — соо(В, +уг)) яп(до+ уг), г/ В ггг ~г где /(уП = (соо(В, + у,) — соз Во) ( тог (соз(до + уП + согде) — — (М + т)), г 20 а удовлетворяет условиям: /'(0) = О, /'(уг) > 0 при д > у, > 0 и /'(у,) < 0 при — 6 < у, < О, то функция / имеет строгий минимум в начале координат.
Слеловательно, Функция е = е(у„уг) также имеет строгий минимум в точке (О, 0). Далее, поскольку е(у„уг) ал 0 в силу системы уг = В~ / ппог В уг = яп2(Во + уг) (М + т)яп(до + уг) Муг от 2(Во + уг) 2 а ! т + 2М Япг(до + Уг) то цо теореме Ляпунова точка (О, 0) на плоскости угОуг устойчива, т. е. устойчива точка (до, 0) (на плоскости хгОхг). и $2. Особые точки 2.1. Определение особых точек и ик классификация.
Пусть в системе дифференциальных уравнений Их Фу — =М(х, у), — =К(х, у) ВЕ ' Вс функции М, )г/ непрерывно дифферегщируемы в некоторой окрестности то~ки (хо, уо), где они одновременно обрацаютсв в нуль, т.е. М(хо, уо) = О, гг/(хо, уо) = О. 293 „ЬЛ ~=О. (2) Если корни действительные, Л,Лз > 0 и Л«ф Лз, то особая точка называется узлом (картина интегральных кривых в окреспюсти начала координат напоминает собой семейство парабол, вершины которых совпадают с точкой (О, 0)). Если корни имеют разные знаки, то особая точка называется седлом, а интегральные кривые представляют собой несколько деформированные гиперболы. Далее, если корни комплексные, но Ке Л, з ф О, то особая точка называется фокусом, а интегральные кривые имеют вид спиралей, закручивающихся вокруг начала координат. Если же Ке Л«д —— О, ио 1гп Л,, ф О, то особая точка — центр.
Интегральные кривые в этом случае замкнуты и охватывают начало координат. Кроме этих (основных) особых точек различают еще точки: вырожденный узел (Л, = Лз ф 0), динритичесний узел (имеет место лишь в случае, когда система имеет вш«дТ вЂ” — ах; ду = ау, дх йч а зо 0). В случае особых точек узла и седла система уравнений (1) имеет решения, изобрахшемые прямыми, проходящими через начало координат. Направлении прямых определяются собственными векторами матрицы (: ') причем в случае узла интегральные кривые касаются собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине Л.
Для выяснения направления движения по траектории достаточно построить в какой-нибудь точке (х, у) вектор скорости (х, у). 2.2. Практические приемы пееледовапив особык точек. Предположим, что в некоторой окреспюсти особой точки (хо, уо) системы (1), где введена декартова система координат Ох,у, по формулам х = хо .+ х„у = уз + у,, правые части можно представить в виде М(х, у) гл М(хо +хи уо+ уф = ах«+ Ьу, + о(х«, у«), )«((х, У) ш 11(хо +х«, Уо+ У«) = сх«+ ЙУ«+13(х«, У«), где а, Ь, с, д — постоянные, а функции а, 13 таковы, что справедливы следующие оценки: «г(хн у«) Р(х««у«) г«ы О, г«ы 0 при г-~0 (е > 0), г = фз«+у«.
з з Тогда, если Ке Л ф О, где Л опрелеляется из уравнения (2), то особая точка (хо, уо) системы (1) будет того же типа, по особая точка (О, 0) системы дх« ду« — = ах«+Ьу«, — — — сх«+ду«. д( ' д( Если лля системы (3) особал точка — центр, то для системы дх« йу« — = ах«+Ьу«+а(х«, у«), — = се«+ду«+)у(х«, у«) (4) она может быть центром или фокусом. Если траектории системы (4) имеют ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку, то последняя будет центром и для системы (4). Перейля от системы (4) к уравнению ду Ф(х, у) дх М(х, у)' (5) Оиреяелеиие.
Точка (хо, уо), в окрестности которой функции М, )т' непрерывно диффвренцируг- мы иМ(хо, уо) = Ф(хо, уо) = О, назывветсв особой точкой системы (1) иа плоскости Оху. В просгейшем случае, когда М, ««г линейны, т.е. М(х, у) = ах + Ьу, р«(х, у) = сх + ду, гле а, Ь, с, д — постоянные, исследование особых точек проводится по следующей схеме. Сначала находят корни Л, з характеристического уравнения Гл. 6. Усгойчваосп и фамюые траекторви лепсо обнарухппь ось симметрии. Если уравнение (5) не меняет своего вида при замене х на -х шш у на — у, то центр сиситемы (3) будет центром системы (4).
Фокус имеется тогда и только тогда, когда нулевое решение системы (1) (после параллельного переноса системы координат в особую точку) будет асимптотически устойчиво при 2 - +оо или при 2 -с -оо. В задачах 631 — 640 исследовать особые точки и изобразить графически семейство интеграланых кривых в окрестности особой точки. 631. х = к+ Зу, у = -бх — 5у. М Составляем и решаем характеристическое уравнение 1 — Л 3 Л ~=0; Л~2=-2х32. Поскольку КеЛ, 2 < О, то точка (О, 0) является устойчивым фокусом (рис. 32).
Для выяснения направления закручивания интегральных кривых (спиралей) построим вектор скорости в точке (1, 0): Рвс. 32 й=!, у= -б. м 632. й = — 2х — 5у, у' = 2*+ 2У М Харакгернстическое уравнение ! -2-Л -5 ~ О имеет корни Л,, = х( 6. Следовательно, особая точка — центр. Направление движения по траекториям определяем по вектору скорости: (х(0, 1); у(0, 1)) = (-5; 2) Рас.
33 (рис. 33). Далее, юш установления уравнений прямых у = Ух, на которых расположены оси эллипсов, найдем экстремумы функции у = г(х, у) = х +у при условии, что Ух = й и*' = -2х — 5У, у = 2х+2У. Из необходимого условия экстремума получаем уравнение ф — = 2хх+ 2уу = О, с(2 подставив в которое значения х, у, у = Ух, после сокращения на х' приходим к уравнению 2(с — 3(с — 2 = О. Следователыю, на прямых у = 2х, у = — у располохсены оси всех эллипсов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
