Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 60
Текст из файла (страница 60)
в 1 !С1 580. х! =-х! хг = — 2хз) Х1(0) = хз(0) =О. ° а Очевидно, нул!но исследовать на устойчивость нулевое решение х!(г) ш О, (оз(г) = О. Интегрируя систему, получаем х, = СЗе ', хз — — Сре ". Пусть г > 0 задано. Найдем б = б(г) такое, что из неравенства (х!(0) — х!(0))1 + (хз(0) — хз(0)) < б Цх(0) — ЗЗ(0)Ц = Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения слелующих дифференциальных задач; 578. х =4Х вЂ” г'х, х(0) = О. т Очевидно, )5(г) = 0 является решением данной задачи.
Разделяя переменные и интегрируя„ находим все другие решения: 277 б 1. Уепгйчввасгь следует неравенство (х«(1) — тг(1)) +(хг(1) — 242(1)) < е Ф > 0 одновременно. Поскольку из неравенспи С«2+Сг < бг С,'е " + С,'е < С, + Сг < б', то при 1 > 0 для произвольного е > О, полагая б(е) = е, получаем ~~х(Ф) — «р(1)11 < е при (!х(0) — р(0)0 < б. Поэтому согласно определению нулевое решение устойчиво.
Более того, так как от 1(х(() — 42(1)11 = О, то зто решение устойчнно асимптстнчески, М 581. й = -у, у = 2х'; х(О) = у(О) = О. м Разделив второе уравнение на первое н проинтегрировав, получаем семейство траекторий двюсения материальной точки на плоскости Рху: у +х'=С, где С вЂ” произвольный параметр. Для исследования на устойчивость материальной точки, нахо- дящейся в покое в начале координат, с помощью произвольно малого возмущения перенедем ее из ючки (О, 0) в точку с координатами х = хз, у = уе.
тогда из полученного семейспа решений следует, по материальная точка будет двигаться по траектории 4 2 4 2 *+у =хо+уз. Поскольку эта траектория замкнута и прн досшточно малых хз, уе не выходит за пределы кру- Га радИуСа 24 = )/гле+ уг, (УО + Х44 < уег + ХО Прн 1Ха( < 1), тО тОЧКа ПОКОЯ (О, 0) уСтОйЧИВа (асимптотической устойчивости нет). М 582.
* = — У сов х, у = ми х; х(0) = у(0) = О. м Аналогично проделанному в предыдущем примере имеем: ехР(- — ) созх = ехР ~- —" 2 созхе 2! г 22 гДе 1хе( < б < ~2, 1Уе~ < б. Составив фУнкиию Лагуанка «4 е ° д -«(~(- — ) ° -с) г 2 У 2 г (А — постоянная, С = ехр(- 17-) сов хе) и исследован ее обычным способом на экстремум, убелглаемся, что функция у = «р(х, у) = х +у (квадрат расстояния от начала координат) принимает экстремальные значения в точках (О, у,) и (х„о) (заметим, что исследуемая кривая симметрична относительно координатных осей, поэтому считаем, по х )~ О, у > 0).
Лепго найти, что у, = 4(1п — х2 — — шсс«мс. ~/ —,2 « Так как С вЂ” 1 при хег+ у1 -«О, то х2 -«О, у2 -«О. Следовательно, точка покоя усюйчнва, поскольку сколь угодно малым нозмущениям соответствуют замкнугме траектории, вкладьшшощиеся в круги сколь угодно малого радиуса). 1ь 583. Траектории сисгемы уравнений Лх Лу — = Р(х, У), Л вЂ” — 42(х, у) Гл. 6.
Устойчивость и Фазввые траектории 278 изображены на фазовой плоскости (рис.29). Что мохсно сказать о поведении решений при (- +со? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? М Как видно из рис. 29, все решения стремятся к нулю при т — +оо, так как все траектории входят в начало координат.
Далее, пусть выполняется неравенство (р(га)! < 6 (в данном случае ф() ш 0), где д > О может быть сколь угодно малым числом. Тогда, взяв момент времени ( = П, имеем: (р((~)! > !у(П)! = е~ > О, где еа уменыпено быть не может. Следовательно, нулевое решение не является устойчивым по Ляпунову. Наконеп, поскольку оно неустойчиво по Ляпунову, то его нельзя считать и асимптотически устойчивым, хотя 1пп х(г) = О.
м вас. 29 В следующих задачах выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид. 584 в~(() = С1 сот~( — Сзе ~, хз(() = С~(~е ~ +2Сз. м Пусть е > О задано, (а — произвольный момент времени. По заданному е найдем б(е) > О такое, что из неравенства <б !!л((,) — ?г((а)!! = вытекало бы неравенспю (!з(г) — ?з(()(! < е т( > (е. Положив для простоты (е = О, имеем: 1 (!х((е) ~Р((о)(! = !(в((а)!! = ((Сы сое (е Сзе ~) +(С1(ое ~+2Сз) )У = =~фс-сг~~~тае)+)0,))~4и б; (П (х(() — ?з(()(! = !(л(()!! = (С1 соаз( — Сзе ~)з+ (С (ге ~+ 2Сз)з < < ((С (+ (Сз!)з+(256(Сг(е 4+2(Сз!)з (2) 229 $1.
Устойчивость Но, как следует из (1), !Ст! < 6, 1сз( < б, поэтому оценку (2) можно продолжить следующим образом: )))~))) ~ ))))'+)))) - + )))' = ~4+ )))) -' Отсюда следует, что если возьмем 6= )) )))6 )) то получим неравенство Ох(1)~) < е чт > О одновременно. Таким образом, согласно определению, нулевое решение устойчиво по Ляпунову. м с,.ут 585.
х)(1) = (С, — Стт)е, х,(П = — + С,. )п(тт+ 2) чт Из равенства (/х(та)Ц = (С) — С)та)'е ил + )л) (г'+ 2) слелУет, что если С,'+ Стт — О, то Ох(ге)а - О. Далее, так как Й бтп — —. Ч-ос) )-ь )п(П+ 2) то, какими бы малылти ни взять )С)) Ф О и (Ст~, найдется такое т) > О, что для наперед заданного е > О будет выполняться неравенство: 1 С)~; )1 ',т) т ~~х(г))(~= (с,— ст(Пе '+ ~ — —;+Ст~ ) >е. '1)п(2+(тт) Поэтому, согласно определению, нулевое решение неустойчиво. М 586. Доказать, что если какое-нибувь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решения этой системы.
М Пусть решение у(1) = ()т))(1), у)т(1), ..., у)„(1)) системы )(х — = А(т)х+ «(1), где А(1) = (а)1(1)) — и х п-матрица, а х(с) и «(т) — вектор-функции со значениями в Н", устойчиво по Ляпунову. Тогда, положив х(1) = (е(1) + е(1), из данной системы получаем Ае «бр — = Ае ~ — ла А(з+ «) . (1) 61 '1 й Так как решение у)(1) устойчиво, то нулевое решение системы (1) также устойчиво. Далее, пусть тз(1) — любое решение данной системы. Тогда аналогично проделанному выше относительно малого возмущения 6(1) (отклонения от решения )6(т)) получаем систему дб — = Аб, 61 нулевое решение которой устойчиво. Следовательно, все решения данной системы устойчивы по Ляпунову, м 587. доказать, по если кюкдое решение линейной однородной системы остается ограни- ченным при 1 -л +со, то нулевое решение устойчиво по Ляпунову.
и Пуси У вЂ” интегральная матрица системы Ах — = Ах (ь) Ф т.е. 6У вЂ” = АХ; Г((е) = Е. тй 280 Гл. б. устойчивость и фгаааые траагпгрии Тогда все решения системы (*) предсташшются в виде Х = 1'С (С вЂ” произвольный постоянный вектор). В силу ограниченности каждого решения системы (*) справедливо неравенспю ()г !1 < М (М вЂ” постоянная, М ~ 0).
Следовательно, !!Х!! < !!г !! !!С(! < М!~Сб. Пусть е > 0 задано. Тогда, взяв б = ~м, из неравенства 1)х(15)(1 = )(С() < б получаем неравенство )(х(1))) <МЦ~!С!! <Мб=а 5У( В >Ео М 588. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы х, = а«(1)х, + агг(1)лг, хг = = аг,(1)х! + агг(Е)хг при условии, что а«(!) + агг(1) — Ь > 0 при 1 — +со. м Воспользовавшись формулой Остроградскою, имеем: г!П=ю(45 ~г(г! ! ! ° »! !«) (1) 4! (считаем, что аб — непрерывные на (Ге, +ос) функции). Из (1) в силу условия а«(т) +оп(т)— Ь > 0 при т — +со следует, что 1И'(1)/ — сс при ! — +со. А тогда одно из решений х«(1), хгг(1), хп(1), хгг(1), образующих фундаментальную систему, как вытекает из соотношения Иг(!) = = х«(!)хп(1) — хп(!)хп(1), при( — +со не ограничено.
Следовательно, решения данной системы хг(О = х«С! + хиС2, хг(1) = хггСг+ хиС2 при С,' + Сг Ф 0 и 1 — 4 +ос будут также неограниченными, что указывает на неустойчивость нулевою решения рассматриваемой системы. М В задачах 589-593 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение.
589. й! — — 2хгхг — х! + хм хг = 2х, — Зхг+ 5хг+ хг. 4 5 44 Поскольку для нелинейных членов дг(1, х„хг) = 2х,хг, д,(1, х«хг) = 5х, + х, справед- 4 5 ливы оценки! !дг~ = 2(хгхг( < а! + хг — — аг(хг, хгМХ(1, (дг( = (5х1+ хг( ~< аг(хг, хг)((Х!!, где 5х4! + !хг(~ аг(х!1 хг) = 5(а!+хи ггг(хг, хг) = ,ггх~+ х' У' !)Х)! = )/Гхг+хгг) а, — О, а, -+ 0 при ))Х!(-4 О, то согласно указанной теореме будем исследовать на устойчивость нулевое решение линейной системы: х, = -х, + х„хг = 2х, — Зхг. Составив и решив характеристическое уравнение 2 -3 — Л ~ Л +4Л+11 Л! 2+ видим, что КеЛ, < О, Ке Лг < О.
Следовательно, нулевое решение данной системы асимптотически устойчиво. М ! 5з)0. х! = Ьг(ах!+ е и'), йг = 2х, — 1+(1 — бх!)г, М Для выделения линейных членов разложим правые части данных уравнений, пользуясь формулой Маклорена: )п(4хг+ е ') = 1п (4хг + 1 — Зх! + — х! + о(х!)) = -Зх! + 4хг — 8хг+ 12хгхг + с(х! + хг); 2 2хг — 1+ (1 — бх )т = 2х, — 1+ (1 — 2х, — 4х,)+ о(х, + хг) = 2хг — 2х! 4х! + о(х! + хг).
! 2! 2 2 2 2 2 й 1. Уепйчиаоеть Посколысу (р! ! = (-8хг + 12х хг + о(х! + хт)~ < 16 (х, + хт + о(х, + хт)~ = а!(х„хт)((Х(!) Ы = ! — 4хт+о(хт+х)( < 4(х, +хг+е( г+ хт)( =от(х„хт)((ХВ где а,(хт,хг)=!бух(+хт+е(ухт+хг!) аг(х„х,)=4ух,+х,+о(ух,+хт/, а,— )О, ат- 0 при ((Х((- О, то можно применять первую теорему Ляпунова, т.е. исследовать на устойчивость нулевое решение линейной системы х, = -Зх! + 4хт, хг = -2х! + 2хт. Так как КеЛ! 2 < О, где Л,, — корни характеристического уравнения Л'+ Л+ 2 = О, то налицо асимптотическая устойчивость. и 591. х, =18(хг — х,), йт = 2 ' — 2соз( — — х(). (,3 м Пользуясь формулой Маклорена, выделяем линейную часть в каждой из правых частей данных уравнений: 28(х2 х!) = Х2 х! + 0(х! + хг) г г 2"-2 ()-*,) = ~, ~2 .'- '2. ( Ь- ( )()- — (*')) ' )( ~ (4))) = 2 зт 2 = -ъ'Зх(+ хт!п2+ — (х(+ хт1п 2) +о(х, +хг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
