Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 56
Текст из файла (страница 56)
< Частное решение ищем в виде ряда 2.' а„х"'". Подставив ряд в уравнение, получим таз=4 жлество по х, из которого известным способом находим: ае(г +1)=0, а„=, пЕМ 1+ (и + г)2 Поскольку ае И' 0 (при аа = 0 получается тривиальное решение), то нз первого уравнения следует, что г = х1. Пусть г = 4, аа — — 1, тогда из второго уравнения последовательно получаем: 1 1 1 1+ 24 ' 2 (1+ 24)(1+ 4) ' 12(1+ 24)(1+ 4)(З + 24) ' Поскольку при отыскании а, приходим к неопределенности б, то поступаем следующим образом. 0 Считая, что г ~ -2, из уравнений (1) находим: 2 г +Зг+4 4(г + 2) гз + Зг ' (гз + Зг)(з 2 + 5г + 4) ' (гз + Зг)(г + 5г + 4)(з' + 5) Озсюда, устремив г — -2, получим: 25В Гл. 5.
Приближенные менщм решения двКмреипиальиых уравнеивй Таким образом, частные решения имеют внд: х > ! -~ 2в 4(! + 2в)(! + в) 12(1+ 2в)(1+ в)(3+ 2в) ув(х)=х 1+,+,, + +...~, х х' ув(х)=х' 1+ .+, + +... 1 — 2в' 4(1 — 2в)(1 — в) 12(1 — 2в)(1 — в)(3 — 2в) Общее же решение у = Свув(х) + Свув(х) = С,(и 4- ви) Х Сз(и — ви) = аи + Ьи тле а = С, + Св, Ь = в(С, — Сз). Функшвн и, и легко получить из представления у,(х), если воспользоваться йюрмулами Эйлера. Имеем: х, х в — 31 з у,(х) = и(х) + ви(х) = евьв 1+ — (1 — 2в) — — (1+ Зв) + — ( в' — — 1 + ... 5 40 520 г 2/ х х Зх ( 2х Зхз х -(-""'"-"')("---'- — ' -( — --' -' ))= 5 40 1040 [, 5 40 520 Зхз /л 3' — !+ — — — — — + ...)соз(1пх)+ ~ — + — — — + ...
з!п((пх)-~- 5 40 1040 / ~ 5 40 520 х х Зх' )'2х Зхз хз + в' 1+ — — — — — -+ ...в з!и(!па) — — + — — — + ... саз(!ох) 5 40 1040 / (т 5 40 520 Следовательно, и(х) = о(х) соз(!и х) +,9(х) звп(!и х), е(х) = а(х) звп(!л х) —;9(х) соз(!» х), х х Зх 2х Зев х' о(х) = 1+ — — — — + ..., 13(х) = — + — — — + .... > 5 40 1040 ' 5 40 520 555. 'Уо+(3 — Пу'+У=О. М Будем искать частное решение в виде у(х) = 2 а„(х — хо) . Тогда вшя коэффициентов а„способом, изложенным в примере 539, получим: (1 — Зхо)а в — ао 1 г г зт ав = в аз = —, (ив (1 — Зхо + 11хо) — а,(1 — 5хо)), ... 2 хо ' бхов Коэффициенты ао, а, произвольны, хо ~ О.
Если хо —— О, то решение ищем в виде обобщенного степенного ряда у(х) =(ао+авх+азо + ...)х'. Подставив ряа в уравнение и приравняв коэффициенты прн соответствующих степенях *, найдем (и+ а)(и+а+ 2)+ 1 аао = О, а„ов —— а„(п = О, 1, 2,...). (1) а + п + 1 В силу того, что мы ищем нетривиальное решение, следует положить а = О. Пуси ао — — 1, тогда из (1) последовательно определяем аз=2!, а,=1, аз — 3,, а„— л., Следовательно, У(х) = 1 + 1! х + 2! х + ... + и! х" + Очевидно, что этот ряд сходпгсв лишь в точке х = О, ы $2. Аналитические ирнблвлгеииме меняя 259 гг 4 соз(2я — 1)х 2 х „, (2я — 1)2 В силу равенства г'(х+ 2х) = 1(х) ггх е (-со, +со) гг 4 соз Л„х г(х) = — — — ) -, Л„= 2п — 1.
2 х„, Л„ Далее, приняв во внимание 2а-перноличность функции у, решение ищем также в виде 2хпериодической функции у: о» У(х) = †.1. ~аосозйх+ Ьо ого йх. 2 уравнение и приравнивая коэффициенты при функциях х »-» яп йх, Подставляя этот ряд в соо гох, имеем: 1 аго-2 21 1 г йг а„=ь,=о, йбР[. х(2й 1)г(йг й 1 П' л ао = —— 3' Следовательно, гг 1 соз(2й — 1)х у(х) = — — + — ~, . Э» б а „, (2й — 1)' 2япх ° У У У= 5 — 4 сот х я Очевидно, функция 2о!Пг: /(х) = 5 — 4соох 2а.-периодическая, поэтому частное периодическое решение уравнения ищем в виде ао у(х) = — +~,аосоойх+Ьояпйх. 2 о=! Подсявив этот ряд в уравнение и приняв во внимание, что функция у нечетная, получим 2япх ао = О аотйо(й +й) = О, ) соо)пйх =, со =(й йй)ао-Ьк, й Е Ь( 5 — 4соох' Умножив тождество на 5 — 4 сов х, представим его в виде: »Ю 5~ сояпйх — 2~ со гяпйх — 2~ сьм япйх = 2япх.
ою 2=2 о=о Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находим 5сг — 2сг — — 2, 5со — 2со 2 — 2соог = О, й =2, 3, ... Из второго уравнения (2) слсаует (2) со — -а2 + —, о )5 (3) где а,,0 — произвольные постоянные. Использовав первое уравнение (2), получим а +,0 = 1. Решив систему уравнений (1), (3), будем иметь: 2 а2'+(1 — а)2 о а2" +(1 — а)2 о ао (й +й) 1, (12 й)г Ьо = — 1+(йг+1)2 В следующих задачах найти в виде тригонометрических рядов периодические решения данных уравнений: 55б. у" — 3У = ~(х), 1(х) = [х[ при [х[ < х, ~(х + 22г) я ~(х).
я Поскольку функция у при [х[ < гг непрерывна, дифференцируема при О < [х[ < гг, у(к) = г"(-х), то она разлагается в равномерно сходящийся к ней в каждой точке х е [ — гг, гг) тригонометрический рял Фурье 260 Гл. 5. Прнближеннме методы решения шоффершпшальных уравнений Поскольку ао — О, Ьо -+ 0 при й -» +со, то в поаидних соотношениях следует положить а = О. Итак, окончательно имеем: йз+ й 22(1+( з+й)2)' " 22(1+(1з+й)2)' (йз + й) соз йх —.ми йх у(х) = ~ 2 (1 + (й + й)2) .
В» (4Й + 3)ао+ 5со = О, — (4йз+3)62 — 54( = —, (8 — 4й )с„ + бао = †, (8 — 4Й~)4(о + бЬ„ = О, ао — — с = О, откуда накопим 4 — 2Й' йз(8йо — 10йз + 3) ' 3 йз(8й4 — 1Ойз + 3) ' 5 2йз(8Й4 — 10йз+ 3)' 3+ 4йз 2йз(8йо — 10йз + 3) ' Таким образом, 5 сов 2йх + 4(2 — й') ып 2йх 2йз(8йо — 10йз + 3) (3+ 4йз) соз2йх+ 6 ил 2йх 2йз(8Й4 !Ойз+ 3) В задачах 559 — 562 найти 2 — 3 члена разложения решения по степеням малого параметра р.
559. у'=4рх — у', ( )»41. ч Поскольку правая часть аналитична по у, д, то, согласно п.2.2 решение ищем в вице у(х УО = у (*) + ру (*) 4 )з у (~) + " Подставив ряд в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем Уо = -Уо, Уз = 4х 2Уоро Уз = Уз — 2Уорз» (1) Приняв во внимание начальное условие, имеем: Уо(1) = 1, Уз(1) = О, Уз(1) = О, (2) Теперь последовательно решаем рекуррентную систему (1), используя начальные условия (2); 1 2 ! х 2х 1 32 уо(х)»о» у!(Х) х» у2(2) + + 2» х' хз' 7 3 хз 21хз' з(п 2йх у — Зу — 5х — ~ 558.
з + бу+ 8х = ~ о=! и Поскольку правые части являются зг-периодическими функциями, то периодические решения у(х), х(х) ищем с тем же периодом в виде ао у(х) = — +2 азсоз2(ох+ Ьзып2йх, 2 со з(х) = — + 2 со соз2йх+ 4(о о[о 2йх. З= 4 Подставив написанные ряды в уравнения н приравняв коэффициенты при одинаковых функциях, получаем: 2б1 й 2.
Авалатвчесвие пргоблимеивые метены 1 !г 1г г/ х 2х 32 ! у(х) ро + Р ~х — — ) + Р— — + — — — + — + .. х 1 хг) ~ 7 3 2!хг хг) Уо(1) = ! Уг(!) = Уг(1) = Последовательно интегрируя уравнения (2) и пользуясь условиями (3), накопим: г У1 = х — х, уг = — (! — х), б Наконец, подставляя (4) в (1)„приходим к решению поставленной задачи: у(х, Р) =1+ Р(х' — х) + Р'- (1 — х)'+ ....
Ь б (3) (4) 561. у' = е" *+ Ру, у(0) = — Р. < Как и в предыдущем примере, имеем: У(х, Р) = Ус(х)+РУПх)+Р Уг(х)+ ..., где ! д'у уг(х) = —— 2 дрг р=о ду(х, Р) уо(х) у(х О) у3(х)— дР р=о д У~(х) = — Ур(х Р) д р=о ! д' ,1 Уг(х) — 2 д г Уо~ р=о уо(х) = у„'(х, О), Используя этн соотношения, из данного уравнения находим: оо-о г г Оо-о уо = е При этом начальные условия имеют вид: уо(0) = уг(0) = ... = О, у,(0) = -1. (2) Иэ первого уравнения (1) следует, что е и = е '+ С,. В силу первого начального условия (2) Сг —— О, поэтому уо — — х.
Далее, из второго уравнения (1) нетрудно найти уг — — Сге* — х — 1. Постоянную Сг определяем, пользуясь последним условием (2), что дает Сг = О. Следовательно, у, = -х — ! . Аналогично решаем задачу: уг = уг — х — 1+, уг(О) = О. + !)г есть решение поставленной задачи. М 560. ху' = Р*'+ (и у, у(1) = 1. М Принимая во внимание аналитичность правой части как функции переменных у, Р при у > 0 и пользуясь меюдом малого параметра, решение задачи ищем в виде У(хо Р) = Уо(х)+ Руг(х)+ Р Уг(х)+ (1) Далее, учитывая соотношения: у(х, 0) = уо(х), ду(, Р)~ д'у(, Р)1 = у!(х), = 2уг(х), в,=. ' ю 1„, дг у*(х, 0) =уо(х), — у',(х, Р) = у',(х), —,у',(х, Р) =2уг(х)~ из данного уравнения дифференцированием по параметру Р находим: г г В Уг Уг хуо=!пуо, ху', =х + —, хуг= — — —,, (2) уо' уо 2уо' Исходя из начальною условия у(1) = 1, из (1) получаем начальные условия для функций У„ г = О, со: 262 Гл.
5. Приблшкевиме методы решения двфферешшальиых уравнений Таким образом, окончательно имеем: 2 у(х Сг) = х Сг(ха !)+ (е — х -2х — 1)+ .. и 2 2 2 562 х=х+р(х -у) (У=У Сг( +У) х(0) = 1 — Сг, у(0) = Са м Подставляя в данные уравнения ряды < х(С, Са) = ха(С) + !ах!(С) -5С2 хг(С) + ..., у(С, Сг) = уа(С)+ну,(П бр'уг(С)+ ...
и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях Сг, получаем: 2 ха — — ха, ха(0) = 12 х, = хг+ха — уаг хг(0) = — 12 хг = хг+ 2хат! — 2уау! Хг(0) = 02 2 2 уа —— уа, уа(0) = О, у, = у! — Ха — уа! Уг(0) = О, уг = уг — 2хах, — 2уау„уг(0) = 1. Отсюда интегрированием последовательно находим: ха = е, уа = О; 2! ! 22„ х! .= е — 2е, у,=е — е 2! г! н в хг = е — 4е + Зе, уг = 4е — е — 2е . Таким образом, ряды (1) можно записать в виде; х = е + Са(е — 2е ) + р (е — 4е + Зе ) + ..., у = Са(е' — е ) + Са (4ев — ег' — 2е') б .... М ха(С) = япС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
