Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 55
Текст из файла (страница 55)
2 2 24 Положив ао —— О, а, = 1, аналогично получаем! 5 3 а!=1, а!= —, 6 ао= 1) ) поэтому 5 г 3 уг(х) = а+ и + — х + — х + .... 6 4 Поскольку функция * )-) ~), аналитична при * оа 1, то полученные ряды сходятся только при )х! < 1. Для получения частных решений при произвольных * то 1 произведем замену х = 1+ хо, где хо ~ 1, и будем искать частные решения в шше: у(1) = ~ а„е", 1 = ° — °, =о 2аг+ бага — 2ао — ба,х+ 2 ((и+ 2)(и+ 1)а„«г — л(и — 1)а„— 4иа„— 2а„)х" гл О. «=г Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем: аг=ао, а!=он а«г=а„, и=2,3,....
Пусть ао = 1, а, = О, тогда аи — — 1, а,гы —— О, й = О, ос. Следовательно, г « г' ! г' Аналогична, если ао — — О, а, = 1, то получим агг — — О, агам = 1. Поэтому у,(х) = х + х + х + ... = , (х! < 1. 1 — хг Нетрудно видеть, что функции уг, уг являются решениями данного уравнения н при !х! > 1. и 54б. (1 — х) у" — 2у'+ у = О. М Как и в предыдущем примере, сначала ищем решения в некоторой окрестности точки х = О, т, е, в виде 2, а„х". Подсшвнв рял в уравнение, получаем тождество по х; ««о и(и — 1)а„х" — ~ л(л + 1)а„х" ' — 2а! + 2 а„х" : — О.
«=.г ««г «=о Заменив в первой сумме индекс суммирования л на и+ 2, а во второй — л на и+ 1, имеем: 2 (и+ 2)(л+ 1)а„«гх" — ~ (л+ 1)(и+ 2)а„«)х — 2а, + 2 а„х" = О, ««о ««! =о откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получаем; 2аг — 2а, +ос=о, (л+2)(л+1)(а„«г — а«ы)+а„=о, и 6 К (1) Пусть а! —— О, ао — — 1. Тогда нз уравнений (1) найдем: 1 1 П а!= — —, а!= — —, ао= — —, 2' 2' 24' $2. Аналитические првближевиме методы 255 После выкладок, аналогичных проделанным выше, приходим к таким частным решениям: уг(х) — 1 (Х ХО) (Х ХО) 11 + ХО 4 (х ха) ) 2(1 — ХО) 2(1 — ХО)' 24(! — ХО)' г 5+ХО З+ О 4 уг(х) = (1 — хе)(х — хе) + (х — хв) + (Х вЂ” ХО) + ,(х-хе) +" 6(1 — ХО) 4(1 хв)г Поскольку радиус сходимости В полученных радов определяется расстоянием от точки Г = О до особой точки функции ! 4-4 )' —.
~, то В = !1- ха(, следовательно, функции у„уг определены при всех х, удовлетворяющих неравенству !х — хв) < 11 — хв1 из этого неравенства следует, что функции уг, уг описьцмют все частные решения данного уравнения при любых х и 1. !и Эвмачаяяе. В лраамаущем примере иам угилссь прссуммирохпь степенные Рвам и, таким обРазом, найти аналитические функции, являющиеся Решениями лиффереициалыюго уравнения и лри лругих возможных х, па„— а„, (и+ 2)(п+ 1)' п = 1, сю.
аг =О, Сгтсюда, полапщ аа — — 1, о, = О, находим: 1 а,=--, а4=0 6' Аналогично, полагая а, = О, а, = 1, имеем: 1 1 1 аг = -, О44в — —, Ог= —, 6' 12' 40' Следовательно, частные решения представляются в виде: 3 уг(х) = 1 +. 6 40 х4 уг(х) = х + — — — + " 6 12 548. Ху" + у!и(1- х) = О. м Пользуемся разложением хг хг !п(1 — х) = — х+ — + — + ..., -1 « * ! 2 Э я ищем частные решения в виде у(х) ов + огх + огх + 03х + г 3 ()тносительно коэффициентов извеспгым путем получаем систему уравнений: 1 ! 1 2аг — ов = О бог — аг — — ое = О !2а — — вг — ог — — оа = О > 3 из которой, полыая аа = 1, ог — — О, получаем 1 1 5 аг=-, аг= —, а4= —, 2' 12' 72' 547. ув - ху'+ ху = О.
° Поскольку рв(х) ш 1 Ф О, функции р, = рг(х) = -х, р, = рг(х) = х — аналитические, го уравнение имеет частные решения, которые образуют фундаментальную систему и являются аналитическими функциями при всех х б (-ос, +ею). Степенной ряд у(х) = ~3„ о„х", и О а виде которого мы будем искать частные решения, сходится при всех х. Подставляя в ланное уравнение ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях *, получаем систему Относительно чисел овд 254 Гл. 5. прибюожевиме методм решеюи дифференциальных уравнений Следовательно, первое частное решение имеет вид: 1 2 1 3 уэ(х) =!+ — х + — х 2 12 Для получения второго частного решения полагаем найдем 5 + — х +.... 72 ао — — О, аз — — 1. Тогда из этой же системы 1 ! 3 аз=о, Следовательно И вЂ” хо)у +у!п(!+хо — !) = О, или (1 — хо)ух+у!п(1+хо) +у!и (/!в „1-.
Подставляя в последнее уравнение разложения \ у(!) = Ь, + Ь,г+ Ьз('+ Ьзг' + 1+ хо „, п(1+ хо)" и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, получаем: ь 2Ьзхо — Ьо!и(! + хо) .= Оз 2Ь2 — 6Ьзхо+ Ьэ !и(1+ хо) — = Оз !+ хо ь, Ьо -12Ьохо + 6Ьз + Ьз 1п(1 + хо)— =О, 1 + хо 2(1 + хо) Пусть Ьо — — 1, Ьэ — — О. Тогда из полученной системы последовательно найдем 1п(1 + хо) 1 / 1п(1 + хо) 1 хонго, Ьз= — ( — х ~О, 2хо ' ' бхо ( хо !+хо/' 1 (1о(! + хо) 1 1п (1+ хо) 1 Ь4— + х ФО, 12хо 1, 4 хо(! + хо) 2хо 2(! + хо)2) Пусть Ьо — — О, Ьэ — — 1. Тогда из системы (1) получим: !и(! + хо) 1 /!и(1+*о) 1 ь=о, ь= хо за о, Ь4 х ~О.
бхо !2хо (, хо 1+ хо/ Заметим, что из выражений для Ьг, ! = 1, 2, 3, 4, предельным переходом хо — +О мохсно получить значения соответствующих аг, 3' = 1, 2, 3, 4, вычисленных в случае хо = О. Таким образом, частные решения при хо > О можно записать тюс (в+ хо) 1п(1+ хо) (х+ хо) /1л(1+ хо) 1 у,(х) =1+ + ~+ хо бхо хо 1+ хо (х+хо) (йз(!+хо) 1 !и (!+хо) 1 + 2 + 2 12хо 1, хо хо(1+ хо) 2хо 2(1+ хо)') (х + хо) !п(1 + хо) (х + хо) /1п(1 + хо) 1 Уз(х) = х + хо + + )+....и хо 12хо '3 хо 1+ хо) 549. у" — уо+ (х — 2)у'+ У = О.
м поскольку ро(х) ы 1 зо О и функции рэ = рэ(х) = -х, рз = рз(х) = х — 2, рэ = рз(х) ы 1 явшются аналитическими при всех х Е (-со, +со), то фундаментальная система состоит из аналитических на всей числовой оси функций. Следовательно, соответствующие им степенные ряды 3 4 уз(х) = х+ — + — + 6 24 Радиус сходимости степенных рядов, представляющих у,(х), у,(х), равен единице. для полугения частных решений, пригодных 3/х Е (-со, !), сделаем замену х = ! — хо (хо > 0). Тогда данное уравнение примет внд 255 з« схоюпся при всех х.
Подставляя в данное уравнение ряд 2' .а„х" и приравнивая коэффициенты «=0 при ха, х, х', ..., получаем: баз — 2а, + аа = О, (и+ 3)(п+ 2)а 43 — (и + 2)а +3 + а„= О, п = 1, 2, .... Пуси ае — — 1, аз — — аз = О. Тогда из последних уравнений найдем: 1 ! 1 аз з а4=0 аЗ«« — аб«« 6' ' 30' 180' Следовательно х х х 3 уз(х) = ! — — — — + — + .... б 30 !80 Пусть ૠ— — а, = О, аз = 1. Тогда из указанных выше уравнений следует, что 1 1 1 а,=-, а«= — —, а,= —, 3' 12' 15' Поэтому второе частное решение имеет вид: хз х« уз(х) =х+ — — — + — + ....
3 12 15 Наконец, если положим ас = а, = О, а, = 1, то пслучнмз 1 ! аЗ Ю а4 з аг— 4 20' Следовательно, 3 .4 3 уз(х) = х + — — — — .... ь 4 20 у(х)=х ~ а„х. «3Х Подставив ряд в данное уравнение и приравняв коэффициенты при *, х, ..., получим: о а«г(г + 1) = О, а,(г + 1)(г + 2) = О, а„ =— (1) (и+ г)(п+ г+ 1) Ясно, что нетривиальное решение возможно только при условии аа+азз ,-4 О. Пусть ૠ— — 1, аз — — О. 2 Тогда из псрвого уравнения (1) следует, что т(г + 1) = О. Взяв г = О, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 аз —- - —, аз=о, 2 3' ! 1 а4=, аз=о, аз=- —, 2-3 ° 4 5' 6! Следовательно 2,4 уз(х> =1 — — + — — .
3! 5! Далее, положив г = — 1 (аа — — 1, аз — — 0), из ( 1 а2 = — — а3 2' Поэтому второе частное решение имеет вид: а!и х — х из 0; 1) получаем: 1 =О а4«« —, 1 3' х' х 1 созх у,(х) = — ~1 — — + — — ...~ = —, х у О. х ) 2! 41,~ х В следующих задачах найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) рзшами. 550. ху«+ 2у'+ *у = О.
42 поскольку функция ре — — р«(х) = х имеет в точке х = 0 нуль 1-го порядка, фунюзия рз = р,(х) = 2 нулей не имеет, а функция р, = р,(х) = х имеет в этой точке нуль 1-го порядка, то, согласно п.2.1, сузцествует по крайней мере одно нетривиальное решение данного уравнения в виде суммы обобщенного степенного ряда Гл. 5. Приблвисевиые методы решении диффереинвальиык уравнений 256 Пусть а, = О, а, = 1, Тогда из второго уравнения (1) следует, что (т + 1)(г+2) = О. Полапш, например, г = -1, из третьего уравнения (1) последовательно находим: 1 1 аз=О, аз=- — се=О аз=— 2 3' ' 5!' Таким образом 1 / х х ! з1пх уз(х)= — ~х — — + — — ...1 =, х~О.
3! 5!,1 х Если же положим г = -2, то аналогично будем иметь у4(х)= — х — — + — — ... = —, х зяб. хт ~, 2! 4! ) Итак, если х Ф О, то два линейно независимых частных решения представятся в виде: япх соя х у!(х) = —, ут(х) = —. м х х Примечание. Можно было бы обойтись рассмотрением случал ео = 1, а| = О. 551. 9хту" — (х' — 2)у = О.
а Подставляя в уравнение ряд (1) (2) Таким образом, хт х4 5 6 5 6.!1.12 2 .4 6.7 6 7 !2.13 у!(х) = х! 1 уз(х) = х! 1 Примечаиие. Рассмотрение случал ее = О, а1 = 1 приводит к такому же резулылту. 552. х'уе+ 2ху' — (ха+ 2х+ 2)у = О. М Аналогично предыдущему примеру имеем: (г +г — 2)ае = О, г(г+3)а! 2ае = О ((и+ г)(п т г+ 1) — 2)а„— а„т — 2а„~ = О, и = 2, 3,.... (1) Посколькумы ищем нетривиальные решения, то аз+а, Ф О.
Следовательно, определитель первых 2 2 двух однородных уравнений должен быть равен нулю, т.е. (г — 1)г(г + 2)(г + 3) = О. Отсюда находим возможные варианты: г~ = 1, гт = О, гз = — 2, г4 = -3. у(х) = 2 а„х" я=с и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем: а„(9(и+гКп+г — 1)+2) — а„, =О, и = 2, 3, ..., ае(9г' — 9г+ 2) = О, а~(9г + 9г+ 2) = О. Пусть ае — — 1, а~ = О. Тогда из первого уравнения (1) следует, что г, = у, гт = у.
Подставив 1 2 в (2) сначала г = у, а затем г = у, для каждого из этих двух случаев найдем: 2 а, = —, аз' =О, аз 5 6' ' 5 6 11 12' 7~ аз ~ 4 6 7 Г2 Гу 257 Пусть г = 1, аа — — 1, тогда из указанных уравнений получаем аз — — 2, а из третьего уравнения (1) 1 последовательно находим 1 1 3 аз=-, аз= —, а4= —, 5' 20' 280 Соответстяенно зтому запишем первое частное решение: хз '4 Зхз у,(х)=х4 — + — + — + — + .... 2 5 20 280 Пусть г = -2, ас = 1, тогда аналогичным образом можем получить 1 2 а, = -1, 1 а,=-!, аз= — аз=О. 2' коэффициенты а4, аз и т. д, находим обычным способом. таким образом, второе частное решение запишется в виде: 1 1 '2 'з 7х4 У2(х) = — — — + — + — + — + — + ..., х 2 8 40 !20 Рассмотрение случаев г = 0 и г = -3 приводит к таким же результатам.
Ь 553. у" + у' — ху = о. ~ Подставив ряд 2.' а„хьм в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степе=о нях х, получим: ааг =О, аз(1+г) =О, а„= " 2, и=23," (и + г)2 пуси, г = О, тогда а, = О, а коэффициент ае можем приравзшть единице. из третьего соотношения последовательно находим: ! 1 4з аз — — О, а4 22 4'з Следовательно, хз .4 х %(*) — ' 22 + 22, 42 + 22, 42, б2 Найти общее решение уравнений: 554. х'у" + ху'+ (! — х)у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
