Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Приблившивые жтоды ревмвиа лвффереиивальимк урвваеиий Полагая здесь последовательно ! = О, 1, ... и принимая во внимание начальное условие, получа- ем: у, = о,з+ о,г. о,09+ о,огП+ о,о54) = о,зз9; Уз — — 0339+ 02 (Ог+ (0339)) + ОО2 (1+ О 4 ОЗЗ9+ 2(0339)) = 0426; у = 0,426 + 0,2 (0,4+ (0,426) ) + 0,02 !1 + 0,8 0,426+ 2(0,426) ) = 0,572; уа = 0 572+ 0 2 (0>6+(0>572) ) + 0 02 (1+! 2'0 572+ 2(0 572) ) = 0>799! уз — — 0,799+ 0,2 (0>8+(0,799) ) + 0,02 (1+ 1,6 0,799+ 2(0>799)~) = 1,153. М 570. у'= — — у, 0~(х~ (1; у,=у(0)=1. У м Пусть !ю = 1, Ь = 0,1. Погрешность на оыге интегрирования имеет величину 0(Ьз) ы 0,01, поэтому вычисления будем вести с двумя знаками после запятой.
Согласно формуле Эйлера 1-го порядка имеем: >'О,П уьа = у, + 0,1 ! — — У>~, или ун> = у> + 0,1 ( — — уз), У> У> 1 = О, 1, ..., 9, откуда находим: /О,! уз = ую — 0,1ую = 0,9ую = 0,9; уз = уз + 0>1 ~— У> 0,03 уа = 0,9уз +— Уз 0,06 0,9ую+ — ' = 0,72; Ую /! — у>) = 0,9 + 0 1 ( - — 0 9 = 0 82; > 9 0,02 уз=09уз+ =076' Уз 0,05 ую = 0,9уз+ — = 0,70! Уз = Уз 0,04 0,72; уз —— 0,9уа+ — ' = 0,70; Уа Ую = 0,74; Уз = 0>78; У>ю = 0,81. ° .
Отсюда, учитывая начальные условия, находим: у, =о,по; сь = 0,244; у, = 0,4О8; уа = 0>609' уз — — 0,857. ° * =о, хз = -0,002, хз — — -0,009, ха = -0,027, хю = — 0>062, 571. *' = с + г — у, у = ! — а- гу; о < с < о 5! х(о) = у(о) = о.
ч Возьмем Ь = 0,1; Ь = 2 (метод Эйлера второго порядка). Вычисления ведем с тремя знаками после запятой. Согласно формуле (2), п. 3.1, имеем: ьь ь хьн —— х, +Ьхз+ — х> = х, +Ь(Сз+2х, — у,)+ — (1+2хз — у>) = 2! 2 !2 = х> + Ь(С> + 2х> — у>) + — (! + 2(С> + 2х> — у>) — (1 — х> + гу>)) = = Ьз!(1+ Ь) + (! + 2Ь+ — Ьз ~хз — (Ь+ глз)У, = О О! И+ 1 225х> — О 12у>, Л !2 уьл = у, + ьу, + — у, = у, + ь(! — х, + гуо+ — (-*', + гу,) = 2 2 !2 = у> + Ь(1 — х> + 2у>) + — ! -С> — 2х>+ у> + 2(! †.х, + гу>)) = 2! ~ ь =Ь(1+-(2-ЬС)~~-(Ь+2Ь)х>+~~гЬ+-Ь +1)у>= ) 2 = 0,110 — 0,0005! — 0,12х> + 1,225у>, ! = О, 1, 2, 3, 4.
269 С помощью метода Рунге — Купа 4-го порядка вычислить приблиосенно решения следующих дифференциальных задач (вычисления вести с тремя знаками после запятой): 572. у'=у' — *, о<я<о,5; у(0)=0,5. и Пуси, й = 0,1. Тогда согласно п. 3.2 имеем: Йд- — у, — хо з йд = (у> + 0,05й>с) — хс — 0>05, з йз> = (ус + 0,05йд) — х> — 0,05, йо = (у> + 0,1йзз) — хз — 0,1, 0,1 ус>з =уз+ — (1сн+2йд+2йзз+йа), хз =ОН> уо=0,5, 1=0> 1,2,3 4. Отсюда, последовательно полагая 1 = О, 1 ..., получаем: йзо — — (0,512) — 0,05 = 0,212; йзо — — 0,210; йсо = (0,521) — 0,1 = 0,171; 0,1 ус — — 0,5+ — (0,25+ 0,424+ 0,420+ 0,171) = 0,521; йп = (0,521) — 0>1 = 0,171; йз, — — (0,53) — 0,150 = 0,131; йз> (О 528) 0 150 О 129; йм = (О 534) — 0 2 = 0085; 0,1 ус — — О 521 + — '(О 171 + О 262 + О 256 -1- О 085) = О 534; йп — — (0,534) — 0,2 = 0,085; йзз — — (0>538) — 0,25 = 0,039; йзз = (0,536) — 0,25 = 0>037; йоз = (0,538) — 0,3 = -0,0! 1; 0,1 у = 0,534+ — '(0,085+0,078+0,074 — О,ОП) = 0,538; йн = (0,538) — 0,3 = -0,011; йп — — (0,538) — 0,35 = -0,061; йзз = (0,535) — 0,35 = -0,064; йсз = (0,532) — 0,4 = -0,117; 0,1 > Ус = 0,538+ — '1-00! 1 — 0,122 — 0,128 — 0,117) = 0,532; Йи —— (0,532) — 0,4 = -0,117; йзс — (0,526) — 0,45 = -0,173; йзс — — (0,521) — 0,45 = — 0,175; йм = (0,515) — 0,5 = — 0,235; 0,1 уз = 0,532+ — '( — 0,117 — 0,346 — 0,350 — 0,235) = 0,515.
М 573. у' = х — уз, 1 < х < 2; у(1) = 1. и Пуси й = 0,2. Тогда, как и в предыдущем примере, имеем: Йц — — х> — у>, з з й„=(х,+О!) — (У,+О,!Йа), з з Йзс = (хс+ 0,1) — (у>+0,!йзс), йо = (х>+0,2) — (у>+ 0,2йз>); О,1/ уз~> — Ус+ ~йз +2йд+2йя+Й~), х,-1+0,21, Полщая в этих равенствах последовательно 1 = О, 1, 2, 3, 4, получаем: Йи = хо — уо = О; Йи = (1,1) — 1 = 0,21; йи = (1,1) — (1,021) = 0>168; йоз = (1,2) — (1,034) = 0,37П 0>1 0,1 У> = Уо+ — '(йм+2йи+ 2!си+й>я) = 1+ — (0>42+0 336+0 371) = 1 037; Гл.
5. Првблвмеивые мепввз решения двгуферевииальвык ураивеввй йп = хг — уг = (1,2) — (1,037) = 0,365! йгг = (1,3) — (1,073) = 0,538; 270 йзг = (1,3) — (1,09!) = 0,500; йн — — 0,667; 0,1 0,1 уг уг + — '(йгг + 2йгг + 2йз, + йн) = 1,037 + — ' (0,365 + 1,076 + 1,0 + 0,667) = 1,141; йгг = хг — Уг = (1,4) — (1,141) = 0,658; йп = (1,5) — (1,207)г = 0 793; йзг —— (1,5) — (1,220) = 0,761; йзг = (1,6) — (1,293) = 0,888; уз = !з!41+ — ' (О 658 + 1,586 + 1522-г- О 888) = 1,296; 0,1 йгз = хз — Уз — — (1,6) — (1,296) = 0,880; йгз = (1з7) (1 384) = 0,975; !гзз = (1,7) — (1,393)' = 0,949; йоз = (1,8) — (1,486) = 1,032; 0,1 уз — — 1,296+ — '(0,880+ 1,950+ 1,898+ 1,032) = 1,488; йи = хз — уз = (!з8) — (1,488) = 1,026; йм — — Д,9) — (1,591) = 1,079; йзз = (1,9) — (1,536) = 1,063; йн = 4 — (1,701) = 1,109; О,! у, = 1,488+ — '(1,026+ 2,158+ 2,126+ 1,109) = 1,702.
м 574. уо = Ху, О < Х < О,б; у(О) = 1, у'(О) = О. ~ Вводя новую переменную «(а:) = у'(х), переходим к системе дифференциальных уравне- нийй «'=ху, «(0)=0; у'=«, у(0)=1; 0<и<1. Пусть Л = 0,2, тогда, согласно методу Рунге — Купа 4-го порядка„по формулам (3), (4), п.3.2, получаем: йн = хгуг, Рп = «гз йгг = (аз+ 0 1)(Уз+ Оз!Рв) Рл = «г+ Оз)йггз йл = (хг+ О!)(Уз+ О 1рл) Рзг = «г+ Оз)йггз йа — — (хг+0,2)(у, +0,2рзг), ре = «г+ 0,2йзг, 0,1 / 0,1 г Юы — — «г+ — (йгг+2йгг+2йзг+Йа) Угог =Уз+ — (Ргг+2ргг+2рзг ч Рог) тг=021 уо=!, «о=о, 1=0,1 2 Отсюда, полагая последовательно 1 = О, 1,...
и учитывая начальные условия, находим: йм —— О, Рю=о Рго = О, йю = 0,1, йг, = (х, + О,!)(у, + 0,1рн) = 0,3 . 1,003 = 0,30, йзг = Оз3'1з005 = О 301 Рп = «г + 0,1йн = 0,04, йы -- (х, + 0,2)(уг + 0,2рзг ) = 0,404, 0,1 «г=«г+ — (йн+2йп+2йзг+йм) =0>02+ 3 йзо = 0,1, 0,1 «г = †' (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,02, йн =,р, = 020, йоз = 0,2, 0,1 уг = 1+ — '(0,02+ 0,02) = 1,001, рн =«,=ОО2, рл = «г+ Ог(йгг = 0,02+ 0,1 0,3= 0,05, Р„=, +0,2йи = О,ООО, — (0,20+ 0,60+ Оз602+ 0,404) = 0,080, 221 $3. Численные методы решения дифференциальных уравнений о,! О,1 уг = у, + — ' (роз + 2рп + 2рн + рн) = 1001 + — ' (002 + 008 + 010 + 008) = 101 0, у = 0,4 1,0РО = 0,404, рп — — зг — — 0,080, йп = (хо + Ог!)(Уг + Оо!Ри) = Ог5 1 018 0 509 ргг = зг+ Ов)йзг = Оо080+Ог1 ' 0 404 = 0~120) йзг = (хг+ 011)(уз+ 0,1ргг) = 0,5 1,022 = 0,511, рз, = гг+ 0,1й„= 0,080+ О,! 0,509 = 0,131, йог =(хг+ОР(уз+ О 2рп) = О 6 1 036 = 0622, рог — го+ 02йзг — — 0 08040 2.0 51! = 0 182, 0,1 гз = гг ~- — (йзг 4 2йп + 2йзг + йог ) = О 080+ — ' (О 404+ 1 О! 8 + 1 022 + О 622) = О 182, О,! О,! 0,1 Уз = Уз + — зрзг + 2рзг + 2рзг + рог) = 1 010+ — - (О>080+ О 240 о- О 262 + О 364) = 1,041.
> 3 3 В следуюших задачах с помошью мета а !Дтсрзоера вычислить приближенно их решения. Вычисления вести с тремя знаками после запятой. Для нахождения недостаюших значений искомых функций использовать ме год степенных рядов или метод Рунге — Купа 4-го порядка. 575. у'=у, о <х < 05, у(о) = !. м Применим формулу (5), и 3.3, взяв Ь = 0,1.
Тогда 1, Ь Ь узм = уз ЬФ 4 — гхоз з — — уз + Ьуз+ — (уз 4 уз !) = Уз+ 1зуз+ — (уз — уг з) = 1,15уз — 0,05уз з. (1) 2 2 Для вычисления значения у, воспользуемся методом Рунге — Кугга. Имеем: Ь Ь йг — — Уо ь — )оз — — 1,05, йз — — Уо .ь — !гг = 1,052, йо = уо + Ьйз — — 1,105, 2 ' ' 2 0,1 У| = Уо+ — (йз+2й, +2)оз+ йо) = 1,105, йз — — уо — 1, уг = 1,15у~ — 0,05уо = 1,! 5 1,105 — 0,05 = 1,221, уз = 1 15уг 0 05уз = 1115 1„221 — 0,05. 1,105 = 1,349, уо = 1,15уз — 0,05уг — — 1,15 1,349 — 0,05 ° 1,22! = 1,490, уз — — 1,!5уо — О 05уз — — 1,15 .
1,490 — 0,05 1,349 = 1,649, (2) Погрешность этих результатов имеет величину 0(Ь'), т.е. можно считать, что в кюкдом иэ равенств (2) два знака после запягой верны. и 576. у' = —, ! « . 1,5, УН) = О. э+у М Применяя формулу (6), п. 3.3, выбрав шаг интегрирования Ь = 0,1, ! 5 Уз+о =Уз+Ф+ зззрз-з+ ззз рз-гг 2 12 где г хз г Ф— - 0,1, 2!уз з=Ф вЂ” Ф-и ЬФ г=гйрз з — зйрз-г, (2) хз + уз х, = 1+0,П, уо = О, 1 = 2, 3, 4. Нелостаюшие значения уз и уг мы вычислим, использовав метод степенных рядов, С этой целью найдем у'(1), у"(1), у"'(1), ..., исходя из данного уравнения. Поскольку зюзрешцость на шаге составляет величину 0(Ь') ш !О з, то все знаки в выражении для у, можно считать верными. Далее, полагая в (!) последовательно 1 = 1, 2, ... и учитывая найденное значение у,, а также начальное условие уо = 1, получаем: 272 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
