Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 59
Текст из файла (страница 59)
5, Приблввеииые методм реиквия двфгуерешшальиых уравнений Имеем: у'(1) = 1, уо(П =О, (х + у)(хг + 2ху) — хо (2х + 2у — хоуо)(х + у) — 2(1+ у )(хг + 2ху — хгу ) уи(х)— + у)з Поэтому по формуле Тейлора, У (1) у(х) = х — 1+ — (х — 1)'+ О ((х — 1)') . 3 (3) Отсюда находим где 0,!х', Ог!хоо = 0,101, до = — ' = О,1. из+Уз хо+ Уо г»до = О, 2г~до — — 0,002, а из (1) находим уз = 0,309.
Аналогично Следовательно, 2здз = 0,002, при 1 = 3 имеем 0,1хг дз = =0105 Ьдг =дз — дг =0,002, хз+ Уз 15 Дг = г5дг-Ьдг =О, г г У4 = уз+ до+ — гздг+ — гз дг — — 0,415. 2 12 Наконец, при 1 = 4 из формул (1), (2) с учетом уже имеющихся величин получаем: до = = 0,108, г5дз = до — дз = 0,003, Ь дг = гудз — (лдг = 0,001, хо+ уо ! 5 Уз = Уз+до+ г5дз+ — г5 дг = 0,525. > 2 12 577.яро+у'+ау=О, О<я<1, у(О)=1, у'(О)=О. м Весла новую переменную» = у', приходим к задаче: у'=», у(0)=1, » =-у — —, »(0)=0. х Применяем формулу (5), п. 3.3, и выбираем шаг )з = О,1.
Имеем: Угоз — — Уз+0,1Рг+0,0515рг г, »г+, — — »г+0,1дг+0,05ЬДг з, где »г И = »гг й = Уг г»Рг-г = Рг Рын 1»дг-г = Ф Дг-з хг хг — — ОП, 1=0 9 уо=1, »о=о. (2) Для начала счета нам нугкно иметь значения у(0,1) = уг, »(0,1) = »г = у'(0,1), а таске (в силу неопределенности 11 ) до. Все эти величины мы найдем, обратившись к методу степеннмх рядов. 0 Ищем решение данной задачи в виде У(х) = 1 + агх + азхз + " (3) 0,001 У, = у(1,1) = 0,1 + ' = 0,100, уг = у(1,2) ге 0,2 + 0,003 = 0,203, 3 Заметим, что погрешносп формулы (1) на шаге интегрирования составляет величину О(6~), по- этому в формуле Тейлора (3) мы взяли только три первых члена разложения. Далее, полагая в формулах (2) 1 = 2, нслучаем; О,)х г д, = ' = 0,103, г59~ = д, — Ч„2з до = г5дз — 2здо, хг Ч- уг 273 б 3. Чаелеваые мепщм решения диффереацшиьимх урааиеаий Подставляя ряд (3) в рассматриваемое уравнение и приравнивая козффипиенты при олинаковых степенях х, получаем: 1 аз=--, аз=О, 4' Следовательно, а у(х) = 1 — — + ....
4 Отсюда нахолим у, = у(0,1) = 0,998, л, = у'(0,1) = — 0,05, дс —— у"(0) = -0,5. Далее считаем по формулам (1), (2). Полагая в них 1 = 1, 2, ..., последовательно заполняем следующую таблицу: Упрвжиеаая для самостоятельной работы Построить решения следующих задач Коши, используя разложения в степенные ряды: 1. у' = х+ у, у(0) = 1. 2. у' = ху, у(0) = 1. 3. у' = х — 2ху, у(0) = 3. 4. у' = ху' — у, у(0) = 1, у'(0) = О.
5. у"' = — х'у" + у'+ 2У, у(0) = 1, у'(0) = О, у" (О) = О. Построить приближенные решения в виде многочлена четвертой степени: 6. у' = у' — х, у(0) = 1, 7. у' = хе" + у, у(0) = О. 8. у' = хз + у', у(1) = 1. 9. у" = х — у , у(0) = 2, у'(О) = О. 10. у'" = у" + у' + у — х, у(0) = 1, у'(О) = у"(О) = О. Построить приближенные решения следующих краевых задач: 11.
у' = х' — у', у(1) + у(2) = 1, 1 < х < 2. 12. у' = х + — „, у(0) — 4У(1) = 5, 0 < х < 13. у" = ау'+уз, у(0) =О, у'(1) = 2, 0 < х < 1. 14. у" = у' +у, у(1) = 2, у(2) = 3, Построить приблюкенные решения в виде многочлена третьей степени относительно раметра р лля следующих задач Коши: 15.
у'= у — 5рх, у(1) = 2. 16. у' = хи+у, у(1) = 1+ Зр. 17. у'= рх +у~, у(0) 18. у' = 1+ х+ руз, у(0) = ап р. 19. у' = соя х + Р 1п(1+ У), У(0) = р. 20. у' = ап х+ ре", у(0) = 1 — р. 1 < х < 2. малого па- Построить асимптоты интегральных кривых следующих уравнешай (е — малый параметР, е — ~ +со): И. еу'=1 — ут. 22. еу'=х' — у'. 23. ~у'=у — (1+х)т. 24. еу'= 1 — у'.
25. у'= — у'. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 0,998 0,991 0,983 0,966 0,944 0,918 0,889 0,854 0,815 0,772 0 — 0,050 — 0,100 -О,!49 — 0,197 — 0,244 -0,289 -0,332 — 0,373 -0,411 0 — 0,050 — 0,100 -О,!49 -О,! 97 -0,244 -0,289 -0,332 — 0,373 -0,411 -0,500 -0,498 -0,491 -0,486 -0,476 -0,456 — 0,438 -0,419 — 0,394 -0,359 -0,050 -0,050 -0,049 — 0,048 — 0,047 -0,045 -0,044 -0,041 — 0,038 0,002 0,007 0,005 0,010 0,020 0,018 0,019 0,025 0,035 Глава 6 Устойчивость и фазовые траектории 5 1.
Устойчивость 'чг > гь выполи»етс» неравенство Цх(1) — р(1)Ц < г, где через Ц . Ц вбвзначгиа норма вектпра. Геометрически зто определение означает, что близкие в начальный момент времени траектории х(1) и (в(Г) остаются близкими ч( > 1г. Чаще всего используются следующие нормы: и Цх(1)Ц = Е 1х,(1)12, Цх(1)Ц = щах !хь(1)Ц Цх(1)(! = Е!хь(1)!. =! и=! Определение 2. Если Лг > О! тб > О 31 > гь таное, что из неравенства (3) ие с!!сдует неравенство (4), гио регигиие (в(1) называется неустойчивым в смысле Ляпунова.
Овведсаеиие 3. если решение зг(1) устойчиво по ляпунову и удовлетворяет условию йгп Цх(1) — уг(1) Ц = О, (6) (4) то оно называется асимптоти чески устойчивым. Исследование на устойчивость решения уг(1) может быль свелено к исследованию на устойчивость тривиального решения (точки покоя) с помощью замены р = х — !р(1).
1.2. Исследоваапе па устойчивость по первому прнблюкеннвг первая теорема Ляпунова. Первая теорема Ляпунова. Пусть система йх! — ' =апхг+оохз+ .. +а!их„+д;(1, х„хз, ".,х„), г = 1, гг, ао — — сопя!, (7) где й)ункиии йг удтиетворяют условию )й!) б аг(х)))хЬ (8) 1.1. Устойчивость по Ляпунову. Аснмптотическяя устойчивость.
Пусть система дифференциальных уравнений йх, й( — = 1,(1, х„хг, ...,х„), ! = 1, и, имеет при 1 Е (гь, +ос) регцения х, = (вг(1), ! = 1, и, удовлетворяющие начальным условиям 9!г(10) = а!О, (2) Определение 1. Решение уг(1) = (рг(1), р П), ...,гр„(1)) диффгренииальивй задачи (1), (2) на- зываегпся устойчивы.ч по Ляпунову, ее!и чг > О 36(г) > О такое, что для люб!го решения х = х(Г) = (хг(1), хз(1), ..., х»(1)) зтой хге задачи, удовлетворяющего иерввеншпву Цх((ь) — Р(гь)Ц < 6(г), (3) 275 и 1. Устойчаность а;(х) -о 0 при 11х$0 - О, з = 1, и, имеет тривиальное решение.
Тогда: если собственные значения Л матрицы А = (а;о) имеют опцшцателькые действительные части (КеЛ < 0), то тривиолыюе решение системы (7) псимптотически устойчиво; если хсе хотя бы одно собственное значение имеет пааюкшнельную действительную часть (Ке Л > 0), то тривиальное решение неустойчиво.
1.3. Исследование иа устойчивость с номен(ью фуиацнй Лаиуаова: втирая теорема Ляпунова. Вторая теорема Пяиуиова. Если существует дифференцирушная функция о((г х! хг . хо) называемая функцией Пяпунова, удовлетворяющая в окрестности точки х = 0 следующим условиям: 1) о((г хг, хг, ..., х„) > И'(хп хг, ..., х„) ) 0 при ( ) (о, где непрерывния функция й' имеет строгий минимум в точке х = О, иричеи о((, О,..., 0) = )У(0, ..., 0) = 0; 2) полная проюводноя йо до " до — = — +~ — Я(( хз хг ... х„)<0 при г>(о, й( д(,,дх;* ' то тришгольное решение х = (х„хг, ..., х„) = 0 устойчиво.
Если же вместо условия 2) выполняется неравенство йо до " до й( д(,,дх, * ' — = — + ) — з,(( хз хг ... х„) < -гу < 0 при ( ~ )(~ > (о и 0 < бг < 1Щ < бг. где бз, бг, )3 — постоянные, то тривиальное решение аснзштотически устойчиво. Теорема Четаева о неустойчивости.
Пусть: 1) система (1) обладает тривиальныи решением; 2) в некоторой области о С К" существует дифференцируемая функция о =. о(х„хг, ..., х„); 3) точка х = (хг, хг, ..., х„) = 0 принадлежит границе области У; 4) Зго > 0 такое, что о = 0 на той части границы области У, где лхн < гог 5) в области У выполняется неравенство о > О, а при г > (о также и неравенсншо йо до — — у,~)ш(х)>0, хб(г, Ф югдх; где функция ш непрерывка. Тогда тривиальное решение системы (1) неустойчиво.
1.4. Условна отрицательности всех деаствительаых частей корней уравиениа аоЛ" +агЛ" '+ ... +а„гЛ+ан — Оз ае ) О. с дсйствительаымн хоэффициеитами. Необходимым условием отрицательности всех действительных частей корней уравнения Л +а,Л + ... +а„,Л+а„=О, >О (9) являянся неряненстна аг > О, о = О, и. Матрица вида аг ао 0 0 0 0 ... 0 аз аг а, ао 0 0 ... 0 аз а, аз аг аз ао " . 0 (10) 0 0 0 0 0 0 ... а„ полУчаемам заменой чисел аг с индексами ь > и нли о < 0 нУлами,нвзынаегсЯматРацей ТУРанца.
27б Гл, б. устойчивость и фиговые травкторви иритерий ра са — Гррваца. згля отрицательности всек действительнмс час!ней корней уравнения (9) необходшео и доситточиа, чтобы были тьмхсительными есе главные диагональные миноры мояц!ицы ))Ренцо! а, ао О 44! — — а1, йз — — ~ ДЗ = ОЗ ОЗ ОЗ (11) '11 '12 О5 аб аз ХритерийЛьеиара — Шивари. Необходимо и достаточно, чтобы все а! > 0 и чтобы Ь„! > О, Ь.
З>О,Ь4 5>0,.... )(ритерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы а„а„! > 0 и чтобы корни многочле- нов р(О = а — а. Ц + а ( — ..., 2 1 9(Ц) — О 1 — О4-50 + Оо-50 удовлетворяли неравенствам; 0<6<0 <4 <Ц < ". (12) (13) 15'Ъ х(г) = Сехр 4( — — ) . 3) Далее, согласно определению 1 из п.1.1, имеем: 1! Цх(го) — 95(го)Ц = !Х(0) — 95(0)( = (СЦ Цх(1) — 95(г)Ц = /х(1) — 95(г)( = (х(г)( = (С!е~ ! .
Пусть любое г > 0 задано. Тогда ясно, по из неравенства (3) будет следовать неравенство (4) 1 1б (см. п. 1.1), если в данном случае в качестве числа б(г) взять 2Г, М = пшх е 3 = е 3, т. е. 1>О !б б(е) = ее з . Таким образом, решение 4р(г) ш 0 устойчиво по Ляпунову.
Кроме того, поскольку г''г 1ип х(1) = Ыш Сехр 41 — — ) = О, 1 бн 1 4 3)- то согласно определению 3, п. 1.1, заключаем, что зто решение асимптотически устойчиво. т 57х. 3(1 — 1)х = х, х(2) = О. а Здесь функция (р = 45(г) Ш вЂ” 0 есть решение задачи, которое требуется исследовать на устой- чивость. Все другие решения данного уравнения описываются формулой 1 х(г) = С(г — 1)З. Далее, пуси б > 0 задано. Возьмем е = 1. Тогда, несмотря на выполнение неравенства Цх(4о) — (о(го)Ц = 1х((о) — ЗЗ(го)( = 1х(го)( = (С( < б, все равно имеем неравенство 1 Цхфф — ЗЗ(1)Ц = Ц (ПЦ =( (1)(= 1С((г — ПЗ >1 при 1 > 1 + — т. Следовательно, нулевое решение неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
