Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Принимая во внимание это значение, иэ второго уравнения системы (2) находим 1 1 хг(С) = Сп 5!пг/31+ С!! созгГЗС+ — — — со521. 6 2 Отсюда в силу требования 2я-периодичности функции х, имеем: 1 1 хг(С) =- — — — со521. 6 2 Анююгичным образом из третьего уравнения сисшмы (2) полу шем 1, 1 хг(С) = — -япЗС+ — япС. 6 2 Подставляя зм х„х„... в (1), приходим к искомому решению: х(С, Сг) = 5!и С + Са ~- — — со525) + Р ~ — Яп ЗС + — 5(пС) + ...Ь 'хб 2 ) 'х б 2 В ззлаЧак 563 — 566 с помощью малого параметра найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения.
563. х,'-Зх = 2япС+ рх'. м Согласно методу малого параметра, периодическое решение ищем в виде: х(С,С2) = ха(С) + Сгхг(С) + Са х,(С) + (1) гле х, (а = О, сю) — 22г-периодические функции. подставляя разложение (1) в уравнение и при- равнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем: йа+Зха =2япг, хг+Зх! — — ха, хг+Зхг =2хайг, г (2) Первое уравнение имеет общее решение ха(С) = Са йп 2/ЗС+ Си сох 2/ЗС+ Яп С.
Поскольку требуется найти 2х-периодическое решение, то в последнем равенстве следует поло- жить Сю = Сх = О. Следовательно, 263 $2. Аивлитичесвие прибзпьмхииые методы 564. х+ зх+ х' = 2рсоьс. м Подставляя ряд х(С, р) = х„(С) +Сгх3(С)+ р хз(С)+ ... в данное уравнение, известным способом получаем систему уравнений: ха + Зхо + хо = О, з 43 + Зхг + Зхозх, = 2 сов г, 2 2 хз + Зхз + Зхох3 ф Зхохз — О, 3 2 х3 + Зх3 + х3 + ЗхохЗ О из которой последовательно находим 2к-периодические решения: 3 1 хо(С) г— а О, х~(С) = соьС, хз(С) зл О, хз(С) = — — соьг ф — соьЗС.
8 24 Следовательно, х(С,)3) = рсоьг+ — (,-соьЗС вЂ” Зсоьг) + .... М 8 3,3 Примечаяле. Нетривиальные решения уравнения Уо + Зхо + хо = О выражаются через эллиптические 3 функцп», не явдяюшиес» 2к-периодическими. 565. х+япх = сьяп21. < Как и в предыдущем примере, степенной ряд х(и2 С) = хо(С) +Сьх3(С)+ 12 хз(С) + ... подставляем в данное уравнение и получаем тождество по параметру Сь, из которого следует система уравнений: Уа + япхо = О, х, +х, соьхо = 5!п21, 2 Х3 хз 1-хосгжхо — — ьгпхо = О, 2 531 ) Хз+ хз — — соьхо — х3хзяпхо = О, 6) Первое уравнение в (1) имеет серию т-периодических решений: хм=йг, Себ Е. Второе уравнение дает 53П 21 хы ( — 1)" — 4' хз — О. Из четвертого, имеющего вдд (-1) 5!и 21 аз+ (-1) хз = 6 И-1)" -4)3' следует х-периодическое решение (-1) ( яп 6С 4+ ( — 1) 24И-1)ь — 4)3 'ь 36 — (-'1)» 5 Таким образом рьт2С ( — 1)крз ~ япбг 4+(-1)" ьшгг~+ ....М ( 1)о 4'24И 1) 4 ~~36 (-1) 5 гсмвмчьгвм.
лоя получения системы (1) удобно пользоваться разложением ьгв(ха+ в) = ьгпхосскв+ япвсоьве, гб4 Гл. 5. Приблшкеввые методы реяяввв лифферевцвальзявк уравнений где и = дха+д хр+ ..., а также 3 3 ! сова = ! — — в + — в — ... 2! 4! 3 ила=в — — и + 3. В Результате нмоем в!и(хо т в) = А яика + Всовхо, А=! — — ха — д ваха+ ..., В=дха+д хз+ д 3 з г 2 Ф 3 з ... — — ха+ б (2) (3) хо(т) = Асов(т+ уз) 566. х + х = яп ЗС вЂ” яп 21 + )ах~. М ПРЕДСтаыалл РЕШЕНИЕ В ВИДЕ РЯДа Х = Хо Ь Сава + ... ОтНОСИтЕЛЬНО фУНКЦИй Ха, Х, известным способом получаем систему уравнений; йо+ хо = яиЗС вЂ” яи21, 3 ха+ха = ха, ар + хз = 2хох„ Из первого уравнения системы (1) имеем: 1, ! хо = Асовв+Вял(+ — яи21 — — вшЗС, 3 8 где А,  — постаянные интегрирования. Эти постоянные мы определим, исходя из требопзния, чтобы в правой части второго уравнения системы (1) отсутствовали так называемые резонирую- щие члены.
В данном случае резонирующими членами будут функции С яиС, сов!, поэтому в правой части ( 1 1 Х А+В А — В Асов! + Вял(+ — в!и 2! — — яп ЗС) = ч- сов 2С+ 1 сов 4! 1 сам бС А + — — + — — + АВ в!и 21 + — (в!и ЗС + в!и С)— 18 18 128 128 3 А,, В 1  — — (ми 41 + ми 21) — — (сов 21 — сов 41) — — (сов С вЂ” сов 5С) + — (сов! — сов ЗС) 8 8 24 3 следует полозкить А = О, В = 1!. Тогда из (2) получим 1 1 1 ха(С) = — (япС вЂ” яиЗС)+ — яи21. 8 3 Аналогично находятся функции х, и т.д. я В следующих задачах с помощью метода маааопз параметра приближенно найти периодические решения данных уравнений.
567. й+ х = са(х — х'). Н Поскольку правая часгь от С явно не зависит, то, согласно п.2.2, сначала сделаем замену - = ПС+ Ь,Р+ Ьз '+ ...), где Ьп в Е М вЂ” постоянные, подлежащие определению. Тогда получим уравнение Ах 3 3 3 3 3 — 3 (!+Ьар+Ьзр + ...) +а = я ( — (! ~ьар+Ьзв + ...) — ( — ) (1+Ьадтьзр + ...) ), (1) Далее, приближенное решение уравнения (1) ищем в виде х(т, и) = хо(т) + рх,(т) + р хз(т! + ....
(2) Подпилив (2) в (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях и, получим: хо + хо .з йа + ха = хо — ха — 2ьахаа ° 3 ° 3 ° 3- Уз + хз = Ьахо — 2Ьаха + йа — ЗЬайо. — Зйайа — Ьайо — 2Ьзха решение первого уравнения 265 б 2. Аналитические вриблвжевные методы (А, |р — произвольные постоянные) подставляем во второе уравнение (3): б,+х, = -Аяп(т+у|) (! — А яц|(т+|р)) +2Ь,Асов(т+|р) = =(' ) 3 2 АЗ вЂ” 4 — Аз — А) яп(т+ р) — — з!и 3(т+ |р) + 2Ь,Асоь(т+ р).
4 Поскольку мы ищем периодические нетривиальные решения, то в (4) должны положить -А — А=О, 2Ь!А=О. Отсюда следует, что Ь, = О, А = -7-. А тогда из уравнения (4) негрудно найти, что 2 73' (4) 1 х,(т) =А,соь(т+р|)+ — япЗ(т+у|), А„р| — постоянные. !2Л Учитывая найденное, третье уравнение системы (3) представляем в виде: б|+ х, = х| — Злой| — 2Ь2бо = 4 2 = -А, (1 — 4яп (т+ у|)) яп(т+ р )+ — ь,соь(г+ 52) + (1 — 4яп (т+ у|)) сов 3(т+(р) = '3 42/3 = А, (Яп(т+ У|2) +Яп(т — У|2 + 2У|) — Яп(Зт+ 2У|+ У||)) + 462 1 б ( — + — у! соь(т + (с) + — (сов 5(т + у|) — соь 3(т + у|)) .
(„3,3.) 4»23 Отсюда видим, что условием отсутствия резонирующих членов является выполнение равенств: ! А|=0, Ь2=- —. 16 Таким образом, 1 х,(г) = — яп 3(т+ |р), 122/3 х(г, )2) = — соь(т + р) + яп 3(т+ р) + 0(12 ), т = ! ~1 — — + .... Г» 2 )2 / и' '3 12ъ/3 16 где т = 1(1 + Ь||з+ 6212~ + ...). Подставив эти разложения в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых сгспенял !|, получаем: 1 1 йь+хь — — О, У|+ х| = — + — соь2т+2Ь2соьт, ба+из — — 2х|соьт+ 262СОЬт, ....
(2) Из периого уравнения с учетом начального условия находим хр(т) = соьт. Поскольку функция х| должна быль пери|щической, то в правой части второго уравнения сястемы (2) следует положить Ь~ — — О. Тогда из этого уравнения нетрудно получить, что 1 1 х,(т) = Асоьт+ — — — сги2т. 2 б Учитывал условие х,(0) = О, находим А = -„-'. Следовательно, ! 1 1 х|(т) = — — — соьт — — соь2т. 2 3 6 568. в+х =% < Считая, что х мало, в качестве малого паркметра возьмем амплитуду колебаний, являющихся решением уравнения б+ х = О.
Полагая, для определенности, х~ = р (|и — мальп! параметр), периодическое решение данного уравнения ищем в виде: х = !|хе(т) + )2 х|(т) + )2 х|(т) + ..., (1) 266 Гл. 5. Приблилыииые мнимы решеаии лифз[мреиииальшлх уравнений 5 А 1 Ь| = — —, хз —— А — — соз 2т+ — созЗт. 12' 3 48 Так как хт(О) = О, то А = -32. Поэтому ! 1 1 1 хт = — — + — сот 2т -1- — соз Зт. 32 96 48 Таким образом, зг! 1 1 ) з/ 1 1 ! х = Гт соз т + р ~ — — — соь и — — соз 2т) + р [ - — + — соз 2 т + — соз Зт) + ...; [,2 3 6 ) т, 32 96 48 .= (1-!'2д" -)' Примечание.
Такой же резулыат получив и, если проделать аналогичные выклалки лла уравнения У ах = = Лх, а затем в решении положить Л = ! . 4 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 3.1. Метод Эйлера (с-го порядка. Длл численного решении дифференциальной задачи у'шУ(х,у), у(х)=у, «Ь, где У и У(х) = (Мх), Ут(х)~ " з У (х)) У(х* У) = (у (х У! Ут " . У ) Б(х, Уи Ут, з У ), " ) — достаточное число раз непрерывно дифференцируемые функции, отрезок интегрирования [х„Ь[ делят на равные части длиной 6 = — „-а и по значению у(хе+ 16) = У! приближенно вычисляют у[хе+ (1+ 1)6) = ум, с помощью формулы т ь У+ — У!+ ЬУ! + 2, У~ + " + и У (2) где ,( ду(хп У,) ду(хн У,) Гл = — Х(х У) = + д /(хн У!) е=ез дх др т=и дат з уз = Г(хн у~) дЛ д,( др, ду' ду х! = хо+ !6, 1 = О, 1, 2, ..., и — 1.
ду ду' ду д.! др др ПогРешность на шаге интегРиРованил [хп хзьз[ имеет поРЯдок 0((тьм). Подставив значение х,(т) в правую часть третьего уравнения системы (2) и потребовав, чтобы она не содержала резонирующих членов, получаем 267 3.2. Метод Рунге — Купа 4-го порядка. Сначала определяются числа уз(хзз Уи| (озз ° ° ° |У |)| Ьйи Ьйи Ь)зи '| 7(хг Ь Уи+ Ул+ У |+ ) Ьйи 1|йзг Ьйзг з ~,(.,+-, и+ —,.+,...,,,+ — ~), 7) (х|+ Ь, уи % Ьй|з, ух + Ьйгз ., у | + Ьйзз) а затем приближенные значении уз ы, находятся по формуле Ь г у|,|+| —. У,| + — (йзг + 2йа + 2й|з + й г), з =- 1, т. 6 (4) Погрешнос|ь иа шаге интегрирования (х|, хзю) имеет порядок О(йз). 3.3.
Метод Штермера. Приближенное значение у, |+, в задаче (1) ищется по одной из формул: (5) (6) (7) где | з = 1, и, Уи = У,(х|), х| — -хо+(Ь, Ча — — УЯхз)Ь, г 3 з г г1Ччг-| = Ча — %,|-|, гь Чй|-г = гйЧьг-| г5Чьг-г, г1 Чч|-з = гй Ч.,|-г — 1~ %,|-з. Погрешность бюрмул (5), (6), (7) на одном шаге интегрирования составляет О(йз), О(Ь"), О(Ь') соответственно. Для начала интегрирования по формулам (5), (6), (7) требуется знать несколько первых значений у;(х|), которые предварительно можно найти, использовав либо метод Эйлера, либо метод Ру|пе — Купа, либо метод степенных рядов. С помощью метода Эйлера й-го порядка найти приближенно на указанном отрезке решения следующих дифференциальных задач: 569.
у' = х+ у', 0 < х < 1; у, = у(0) = 0,5. м Пуси, й = 2, Ь = 0,2. Поскольку погрешность на каждом шаге имеет величину О(Лз) щ из 0,008, то вычисления по формуле (2), и.3.1, будем вести с тремя знаками после запятой. Имеем: Ь' Ь' УУУ(хи у,) 0У(х„у,) ум|=у,+Ьу,'+ — уз'=у| ЬЬУ(хиу)+ — ( ' + ' 7(хну)) = 2 ах ау з 1з l з гз = у, + Ь(х, + у, ) + — (1 + 2У,(х| + у, )), 1 = О, 1, 2, 3, 4, у = у -Ь 0,2(0,72+ у ) + 0,02(1+ 0,4(у + 2У)з). 1 2 1 У|,|+| = Уа Ч %|+ гзуьг-з+ 2 1 2 5 г !2 г гз %,|- + — гз %,|-з 12 ' 8 268 Гл. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
