Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В коораинатной форме условие касания в данном случае имеет вид: лх йу йл (1) х у -л Интегрируя уравнение (1), получаем х — = С„ул = Со У Таким образом, пересечение семейств поверхностей — * = С,, дз = Ст дает нам двухпараметричес- У кое семейство векторных линий. Поскольку векторные поверхности состоят из векторных линий, то в кахщой точке такой поверхности долило выполняться условие: (Х, Р) = О, где Х вЂ” вектор нормали к поверхности. Пусть и(х, у, л) = Π— уравнение поверхности; тогда указанное условие в координатной форме приобретает вид: ди ди ди й', — + р'„— + р', — х О. *дх "ду *да Подставив сюда значения координат вектора У, имеем ди ди ди х — +у — — л — = О. дх ду дл 22З Гл. 4. Уравиеиия в частвых производных первого порадка Используя интегралы системы (1), попугаем обший интеграл последнего уравнения: и(„, уг) О, откуда где р — произвольная функция.
Итак, векторные поверхности найдены. Поверхности, ортогональные данным векторным линиям, ищем из уравнения: (р, г(г) = О, или хг(х-ьуг(у -гг(г = О. Интеграл этого уравнения усматривается непосредственно х+у — з =С.т 3 г 2 $2. Нелинейные уравнения первого порядка 2.1. Нелинейные уравнении в частных производных первого порядка. Уравнение вида Р(хм хи ..., х„,г,р„рг ...,Р„) =О, (1) где рг = Ь вЂ”;, г = 1, и, называется нелинейным уравнением в постных проюводных первого порядка. дг х; Для интегрирования уравнения дг дз Р(х,у,г,р,д)=О, р= —, у=в (2) дх' ду применяется метод ))огронхса и Ширли, заключающийся в следующем. Соответственно уравнению (2) подбирают уравнение Ф(х(1), у(1)> г(1), а, Ь(а)) = О, дй , дФ , дФ , — х (1) + — у (1) + — г (Г) = О. дх ду дх (б) После того, как функция Ь будет найдена, искомую интегральную поверхность определяем, ис- ключая параметр а из системы уравнений: г( Ф(х, у, г, а, Ь(а)) =О, — Ф(х, у, г, а, Ь(а)) =0 и(х у з Р ч)=а, а=салаг, (3) таким образом, чтобы оно Удовлетворяло двум основным условиям; 1) систему авнений (2) (3) можно разрешить относительно переменных р, рб 2) уравнение Пфаффа г(г = р(х, у, г, а) г(х+ д(х, у, г, а) ду интегрируется одним соотношением Ф(х, у, г, а, Ь) = О, Ь = сопя.
Тогда интеграл Ф = О будет также интегралом уравнения (2) (интеграл Ф = 0 носит название полного). Функция и удовлетворяет уравнению дР ди дР ди г' др дР~ ди УОР дР'г ди г'дР дР'г ди — — + — — +(р — +д — ~ — — ( — +р — гг — — ( — +д — ~ — =О. (4) др дх ду ду г, др дд ) дг (, дх дг г' др г, ду дг ! ду 2.2. Решение задачи о находи(евин интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую. Если известен полный интеграл Ф(х, у, г, а, Ь) = 0 уравнения (2), то можно решить задачу о нахождении интегральной поверхности, проходяшей через заданную кривую х = х(Г), у = у(М), л = л(Г).
(5) Считая Ь = Ь(а), определяем функцию Ь из системы уравнений: б 2. Нелняейвые уравнения первого порядка 229 2.3. Метод Коши. Р (хо(в) Уо(в), зо(в), ро(в), да(в)) = О, Ра(в)хо(в) + Яо(в)уа(в) — з!а(з) = О, ше хо = хо(в), уо = уо(з), зо = зо(в) — параметрические уравнения данной кривой. Затем интегрируем систему с учетом найденных функций ро, да .' !1х др Ыв !(р 49 — 4( (9) Рр Р, ррр+дра Р,+рр, Рз+ЧР, с начальными условиями: при Г = 0 х = хо(в), у = уо(в), в = зо(в), р = ро(з) а = ао(в). (10) Тогда трн функции х = х(1, в), р = у(Е, в), з = в(Г, в), являющиеся решением задачи (9), (10), представляют собой параметрические уравнения искомой интегральной поверхности, 2.4. Обобщение метода Коне.
Метод Коши обобщается на уравнения вила (1), когда требуется найти интегральную и-мерную поверхность в = з(х!, хз,..., х„) уравнения (1), проходящую через заданную (и — 1)-мерную поверхность: х!о = хо(в!, вз!..., в„!), ! = 1, ро, (!1) ва = зо(в!, зг, , в„ !). схема решения задачи (1), (11) следующая.
сначала определяем функции р;о (в„вз, ..., в„!) из уравнений Р(х!а, хн . х м !Р!о Но, Рао) О дзо " дха — — ~рх — ! = О, ! = 1, и — 1. два .. ' двг (12) Дапее интегрируем вспомогательную систему уравнений дх! Их~ дх, дв ИР! Р Г Гр т Р,р Ро! +Р!Р! =! Р' А "р Рог+Рзр! Р* +Р Р* (13) с начальными условиями: х; = хоа(в!, вз, ..., в„!), '!!=а — за(в! вз ...
в !) и=о Рг~ =Раз(в!! вз!... в -!)! ! = 1! и. В резульште получаем параметрические уравнения искомой интегральной поверхности: х, = хг((, в„в„...,в„,), ! = 1, и, з((! гч! вн !во-!). (14) (15) Найти полный интеграл в каждом из следующих уравнений; 503. Рд = х'у'. М Согласно п. 2.1, сначала составляем и решаем уравнение (4) (Р ш рд ди ди ди «ди з ди дх 4д бв д — +р — +2рд — +гад' — +2хзу — = О, да: др дв др дд ' а р 2рз — х у )! др ой) 2хр! 2хзу Прелыпушую задачу можно решить по-другому.
Сначала определяем функции ро — — ра(в), Ча = 9о(в) из уравнений: Гл. 4. Уравнения в частвмх вуоввводных первого иоряяаж гЗО Используя равенство рд = х у, последние уравнения приводим к внау 2 2 х йр = у г(д = Л» = 2рдх = 2д г(у. Отсюда получаем даа первых интеграла: р д — = Сп — — - Сз. (1) уг Но так как рд = х'у', то С,С» = 1. Следовательно, обозначив С, = а, интеграл (1) можно представить так: 2 1 2 р=ах, д= — у. а Далее, подставив значения р, д в уравнение Пфаффа а» = рая+ дар, имеем г 1 з а» = ах ах+ — у ау.
а Отсюда находим а г у 3 » — — х + — +Ь=О, 3 За Таким образом, мы получили полный интеграл данного уравнения. М 504. = Рх+ ду+ р'д'. М ПОЛЬЗУЕМСЯ МЕТОДОМ ЛаГРаНжа Н ШаРПИ. ВЫЧИСЛИВ ПРОИЗВОДНЫЕ ур-, -уд-, ж-, .ру-, -ОГ, дР дР дР дР дР где Р = » — рх — ду — р'д, и подставив их значения в уравнение (4), п. 2.1, решаем уравнение: 3 3 (х -1- Зр д ) — + (у+ Зр д ) — + (рх + ду + бр д ) — = О.
Из системы уравнений йх ду й» 4р <1д х+ Зр'дз у+ Зрздг рх+ ду+ бр'д' О О следуют интегралы: р = а, д = Ь. Из первого уравнения получаем; а» = рая+ дг(у, или а» = аах+ Ьау. 505. Рд = 9»'. < Вычислив необходимые производные от функции Р = рд — 9»т, составляем и решаем уравнение (4): дп да дп дв Вп ах ау а» ар ад д — + Р— + 2рд — + 1 8р» — + 18д» вЂ” = О, дх дУ д» дР дд ' д р 2рд Гйр» = 18д»' Из последнего уравнения получаем олин первый интеграл: Р г — =С,. д Из системы р 2 2 — =С„рд= 9» д 3 р=За», д= — » а (мы ввели обозначение С~ — — а).
Подставив значения р, д в уравнение Пфаффа, получим 3 а» = За» ах+ — » ау. а Следовательно, Но» = рх+ ду+ рздз, позтому Итак, полный интеграл имеет вил; » = ах+ Ьу+ Сз. С,=а Ь. » = ах + Ьу+ а Ь . (ь 2И й 2. Нелииейвме ууавневвя первого воуааяв Интегрируя это уравнение, находим полный интеграл: з 1пЦ вЂ” Зах — — у — Ь=О. > а 506.
р=япд. < В данном случае с = р — япд, поэтому уравнение (4), и.2.1, принимает вид: да ди ди — — созд — + (р — д саад) — = О. дх ду дг Из системы уравнений дх г(у дг г(р дд ! — сокд р — дсозд О О находим два первых интеграла: р = Сн д = Сг. В силу уравнения р = йпд имеем С, = япСг. А тогда соответствующее уравнение Пфаффа бУдет иметь внд г(г = яп Сг Фх + Сг г(у; интегрируя его, легко находим полный интеграл данного уравнения: г = хяпа+ ау+ Ь (а = Сг). м 507.
= Рг+ дг. М Из системы уравнений дх ду с(г г(р дд 2р 2д 2(р'+д ) р д ' которая соответствует уравнению (4), и. 2.1, ди ди с г гг ди ди ди 2р — + 2д — + 2(р +д~) — + р — + д — = О, дх ду дг др дд находим один первый интеграл: Далее, решив систему: г г р+д =г, р=да, имеем аьгг ггг ~Я+а ' д ~#+а' Подставив значения р и д в уравнение Пфаффа г(х = рде+ дс(у, молем записать: дг аг(х+ г(у ьгг МггГ+ а~ откуда интегрированием находим х2Л + а~ьгг — ах — у — Ь = О, или 4(1+ аг)г (ах+ у+ Ь)г О Зто есть полный интеграл данного уравнения. > 508.
р'+ «рд = г'. < Уравнение (4), п. 2.1, в данном случае имеет аид: ди да ди ди да (2р+ яд) — + гр — + 2р(р + хд) — — р(рд — 2х) — — д(рд — 2г) — = О. дх ду дх др дд Далее Решаем систему уравнений: Ых г(у г(г г(р с(д 2р+ гд гр 2р(р+ гд) (2г — рд)р (2г — рд)д Из последнего уравнения находим первый интеграл р — = а. д Гл. 4.
эравиеиия и часпщх ироизиодных первопз парниш 232 Из системы р +вру=э, р=да 2 2 а2 2 Р=~ ~/а(а + 2) тгга(а + 2) д=ш используя значения р, д, уравнение пфаффа г(2 = р 2(х+ д г(у представляем в виде: 2)2 ;/а(а -и- 2) — = ш(а 2(х+ г(у) = шг((ах+ у). Интегрируя уравнение Пфаффа, после некоторых преобразований получаем полный интеграл: < |. г т/а(а + 2) — а | ( г 222'а(а + 2) + а!и | — (ах + д + Ь) = О. > тгга(а + 2) + а |( г г 509. — + — — = 2'. Р Я ш Ог переменных э, у перейдем к переменным а, о, полонив а = -2-, о = ~-. Тогда дэ дл ди дэ дэ дэ де дэ р = — = — — = х — вз хр„д = — = — — = у — = удг дх да дх дн " ду дв ду до и данное уравнение примет внд: 1 1 — + — =2.
г Будем искать решение этого уравнения в внае: 2 = 2(ш), получим уравнение где ю = ан + с, а = сопи!. Тогда иэ (1) (22) = 1+ —, 1 аг интегрируя которое, находим 2 = ш2)(1+ — (оп+о)+ Ь (Ь = соли!). / 1 аг Таким образом, (2 — Ь) — !21+ —, | <ах +у) =О 2 2 г 1 2 2 2 2 есть полный интеграл исходного уравнения. М Примечвнне. Длв интегрирования уравнения Р(р, ч, *) = О целесообразно применять следующей способ. ищем решение в виде 2 = 2(ю), где и = ах 4 у (е = соли!).
тогда дв дю, дэ р= — =эг — =ва, д= — =2. В* д * ад Следовательно Р(р, д, 2) = Р(2 а, 2, 2) = О. Интегрируя эго уравнение, получаем его общий юпегрвл Ф(з,ю,е,Ь)=0 (а=сопи), который по отношению к неводному Иювненвю будет полным. 510.р'х'+д'у'ш . Ш Сначала переходим к новым переменным рг Р= х' по формулам и = 1п|х|, е =1п|у|: дг Чш у где дэ Рг = да Исходное уравнение принимает вид: Рг+дг =2. Далее, поскольку последнее уравнение не содержит явно независимых переменных, то к нему применяют способ, укаэанный в предыдущем примере. В результате получас~ обыкновенное б 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
