Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 46
Текст из файла (страница 46)
— = 2хз + хз — уз Л( 2хзу ° Аналогично предыдузцЕМУ примеру имеем: 4((У ) — = 2х+1— Йх у 2' откуда 1 1 Г 2 у' = С,е* + е* / (2х+ 1)е Подстановка у' в первое уравнение системы дает: 2 4(х = С2 ел + х . 2З Ж = (2х~ -С2е*) бх, откуда интегрированием находим 1+ С2 = — — С2 / е* 4(х. И 2 452. ~ < Полагая и = -22., х = 24(-, приходим к системе 4(х 4(а * = (и + 1(и, и), у = (е + (((и, е). Дифференцируя по 1 слева и справа последние равенства и учитывая, что и = х, с = у, полу ием и(1 + У„') + е~,' = О, йу„+ 6((+ д.) = О. Отсюла слелует две возможности: либо й = е = О, либо определитель х = — (у ) = С,е — С,е - — сох б ь 4(( 2 а 2 М Из второго уравнении следует, что — з( — = —.
Дедя почленно зто уравнение на первое уравнение системы, получаем линейное уравнение относительно функции ( 4 у: 2. 4((У~) У вЂ” = — — а. бх Гл. 3. Системы днффеуехихальнык уравнений В первом случае имеем х = С„е = Сг. Следовательно, х=Сг(+2(Сг, Сг), У=С21+ч(СП Сг) — общее решение рассматриваемой системы. Во втором случае возможны другие решения. Попытаться найти их предоставляем читателю. М 45З. ° У = а(у — 1) < Применяя метод исключения, имеем г(л у+ 22 — 1 2 ш — л+ 1. Ф у — 1 у — 1 Огсюда л = С,(у — 1) — у+ 1.
Подставив значение л в первое уравнение системы и разделив 2 переменные, имеем: Интегрируя, получаем 1п (х! = 1п )Сг(у 1) !) 1и )у 1! + !пСгг х=С2(Сг — — ) =ау= Подставив (1) в выражение для л, находим Сг — Сг 2 Х Ь (х+ Сг) 454. 2 у'=у' — л'+1, л'= у. ° а Значение у = л' — л из второго уравнения подставим в первое: а 2 2лл — л' — 1 = О.
Уравнение явно не содержит аргумента, поэтому парялок его можно понизить, положив л' = р. Тогда л" = р Я и уравнение примет внд: г(Р г ,2лр — — р — 1 = О. г(л Разделив переменные и проинтегрировав, получим; (л Г р=~~( — — 1, — =*,( — -!. )(Сг ' Ох Интегрируя последнее уравнение, после простых преобразований имеем 1 2 л = Сг + — (в+Сг) 4Сг А тогда 1 1 2 у =я' — л = — (я+Сг) — — (х+С,) — Сп ~ 2С, 4Сг Для данных систем дифференциальных уравнений и данных функций уг проверить, являются ли соотношения р = С первыми интегралами этих систем: 2 455. х = ау, у =х +у'! (22 = х(пу-х'у; угг = У вЂ” 2(пх.
2 хг и Так как Угг = С„то лг(ргг) ш О. Следовательно, уу(х 1п У вЂ” х У) ш О, нли а в' 2 х!пу+ — — 2хху — х у ш О. ху у Подсшвив сюда значения х, у, определяемые уравнениями системм, имеем ху!пу+ — (х +у ) — Зх у — а шО. /22\224 У в 2. Нелвиейвые свстемы 207 П) Подставляя (1) в (в), имеем (у (- -) + х (-) — и (- -) — х) аи ш О. Последнее тождество, очевидно, справедливо, поэтому соотношение у = С действительно является первым интегралом рассматриваемой системы. М 457.
Проверить, юииются ли независимыми первые интегралы х+«У = Сг, — +у — — Сг ех ее е« М Сначала проверим, что указанные соотношения действительно являются интегралами. Имеем х + у) (» — у) г(х + (х + «) Ну — (х + у) ~Ь г( ( х+ « (х+ х)г Подставив сюда значения г(х = — * г(«, г(у = ах <Ь, получаем й ) ( )- х+уг (х — у)й+(х+х)йх — (а+у) йх шО. х+ х) (х+ х)' Аналопвчно устанавливаем, что — -~~ = С, есть интеграл.
Теперь проверяем ил независимосп. Определив, например, у = С,(х + х) — * из первого соотношения, подставляем во второе: (х+х)(1 — Сг — С,Сг) = О, 1-Сг — СгСг=б (х+хгВО). Видим„чго между функциями у, = — Д и уг —— х ч у усуществует зависимость 1 — уг — у,уг ш О, указывающая на то, что данные первые интегралы являются зависимыми. М 458. хйу — у Ь = х Ь, г(хг+ аут = Ь'. н Положим г(х = г(»сову, еу = гЬнпу. Тогда второе уравнение превратится в тождество, в из первого слелует, что х = * вш у — у сов у.
Отсюда лифференцированием по у лепго получить йх / г(х г'г(х, г(у — =хсову+увгпу 11 — ( — а(пу — — сову) юО)- ~йу ~й Ь (2) Как видим, полученное тождество невозможно, поэтому равенспю у, = С, не является интегралом данного уравнения. Проверяем второй интеграл. Имеем иу(уг)— ш О, или л ,1 ( уг '1 2у))хг 2хйуг 2х — 1 — — 2(их) = — — ш О. гй 1,хг ) хв х Отсюда а силу уравнений системы получаем: ху(х +у)-ху — х у=О, хуО. г г 3 3 Последнее означает, что выражение уг = С, является первым интегралом данной системы.
и г(х Ну й«г(и 456. — = — — = — = — —; у = ух — их. у х и х < Поскольку у = С, то должно быть й(у« — их) = О, или угу+ хг(у — иг(х — хди ыО. (в) Из уравнений системы находим у х и дх = -- гЬ; г(у = — гЬ; Нх = -- йи.
х х х Так как Функции Х, У, Я линейны, то функции ((, 2), ~) ь тХ ~ (62) 0 У(К ((, у, () -.Х(К ('= -Х, г)'= У, ('= г, является линейной и однородной, м т =-тТ (2) С помощью приема Гессе решить следующие системы: 2(у ~~2 2 461. — =у+ах, — =а+ух, — =*+2. 2(1 ' а( ' Ж < Так как в данном примере Х = у, У = а, Х = е, Т = х, то х(1 -", ~) ="-, у~~-,"-, ~) = ~, г(1, "-,-) = — ', т(1 -"-,-) =-.
Следовательно, система (2) из предыдущего примера представится в виде: 2(с 42) 2К г(т =2) =6 =ь а( ' «1 ' 2(1 ' 2(1 Из первых двух уравнений этой системы находим ( = С2е'+ Сге ', 21 = С|е' — Сзе '. С учетом последнего соотношения из третьего уравнения получаем ( = С,е' — Сзе '+ Сз.
Интегрируя послелнее уравнение, имеем: т = -С,е — Сзе ~ — Сз(+ Со Наконец, возвращаясь к переменным я, у, х, е + «~е е — «,е е — «,е + «2 2 -2 2 -а а -с — 2 У= -е' — «Ф-' — «21 + «з' — е' — «~е-' — «21 + «з' е' — «1е-' — «21 + «2' с с, с «! з «2 з «3 с,' с,' с,' 2Ь ду да 462. — =*+*(*+У), — =а+у(*+у), — =у+а(*+у) 2й 2(1 2Ы м Аналогично предыдущему примеру имеем: Х = х, У = х, Х = у, Т = я+у.
Следовательно, Х(1 2) () ( У(1 22 С) ( й(1 У () 2) Т(1 22 () (+2) Согласно примеру эбб, пишем: ('=б, у'=(, ('=у, '=-б-у Из первого уравнения получаем: б = С2е~; из системы второго и третьего уравнений следует, что 2) = Сте +Сзе , ( = Сзе — Сзе также линейны, поэтому если в (1) положить — =-ТЯ, х Я, то правая часп системы (1) станет линейной относительно переменных (, 2), (, т. Таким образом, система уравнений 2РЗ Гл. 3.
Сисгвмы диф4юуеициальвык уравнений Из четвертого уравнения находим т = -(С, + С2)е + Сзе + С4. Таким образом, общее решение данной системы имеет вид: С,е' х= -(С2+ С2)е'+ Сге-'+ С,' Сге'+Сзе ' -(С2 + С2)е'+ Сзе ' + С4 ' Сте' — Сзе ' -(С2+ С2)е'+ Сзе-'+С4 463. Пусть в пространстве Охул задано поле скоростей т течения жидкости ч = ((у — х у)у, (х +ху + 1)у, (х + у'а+ 1)2). Найти линии тока этой жидкости. и согласно определению линии тока, т а 2(г, 4(г = (4(х, 4(у, 2(з). следовательно, дх ву 4(г Ег ЦГ Е, нли с учетом значений е„е„, е„ Ут ЛУ 4/2 у(у2 — хзу) у(х' + у2 + 1) з(хз 4- узх + !) поскольку вырюкение (ух — у ) 4(у+ (х' + ху +!) 4(х является полным дифференциалом, то из первого уравнения легко находим первый интеграл 2(х — у') + Зх у + бх = С2.
Из второп2 уравнения следует, что Ег = С,. Таким образом, линии тока представляются в виде пересечения двух однопараметрическил семейств поверхностей в пространстве Оху*: 2~а — у ) + Зх у + бх = С2, у = Стг. М / 3 33 2 2 464. Пусть плоское электростатическое поле Е= (хз 1 уз)3/2 ' (хз 1 уз)3/2) =( Найти его силовые линии.
< исходим нз того, что касательная к силовой линии коллинеарна вектору е, т. е. е (( 4(г (г — радиус-вектор силовой линии), или ох ау ах ау Е, Ег' х у' Интегрируя второе уравнение, имеем у = С~х. Таким образом, силовыми линиями являются лучи, выходящие из начала координат (х2+ у Ф 0).
ь 465. Найти магнитные силовые линии, если напряженность поля В = (у, -2х). М В кюкдой точке силовой линии должно выполнягъся условие: В (( 4(г. Следовательно, 2(х ау лх 4(у В, В„' у 2х Интегрируя уравнение, имеем 2х' + у = С,. Таким образом, магнитные силовые линии пред- 2 ставляют собой эллипсы. Ь $2. Нелинейные системы Упряищеиин для самостоятельной работы Построить общее решение систем уравнений: 1. -д- —— х + 2у, йт = 2х — у. 2. х = х + у+ х, у = х - у + 2е, е = х + у — 2а. Их 3. й = х — Зу, у = 4х+ 5у. 4. 8+ у+х+ Зу+ х — 2у = О, х — Зу+ 54+ 8У+бе — 4у = О.
211 Методом неопределенных коэффициентов построить общее решение систем 5. (О 0)у" +у'+(! 0)У=О, уеС.б. (2 4)У +(1 !)У=О, Улье, 1 0 1') гг 3 0 1) 7. — 1 1 О~у" + — 1 0 2) У=О, УЕС'. 8. 1 ! 0 у" + О 1 ! у'+ -! 2 3 У=О, УЕС', Построить частные решения систем: 9. 328+8у — бе=к+них 2 — +бу — 5х=е +е .18. — у+у+а =хыпх, — 7-бу-8е=х+х . 4 аг к и аз 2 х х ах лх Построить общие решения систем: П. 0 1 0 у+а~ -2 1 4 у= О, УЕС~. 12.
(! — х)~О 1 0) у" — я~О ! 0~9'+ ~ — 1 1 0~ У=О, уб~с. 0 1 1 0 1 1 — ! 2 1 Привести к системам с постоянными коэффициентами и построить общее решение следующих уравнений: 13.х'( ! 3)у +х (О 2)у +(1 2)У=О. 14.х'(О 5)у +х( 3 1)У+( 4 5)У=( т)- 15. х' -1 1 0 ум+а~ -2 0 1 ук+ -2 3 0 У=О. 0 -1 1 3 0 -1 1 — 1 ! 17 (4х+5)з — 1 2 3 ух+(4х+5)з 0 — 4 5 ук.~-(4х+5) -2 2 3 у'=О. '1 — 2 3 1 — 3 ! 1 0 1 4 Построить решения задач: 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
