Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 43
Текст из файла (страница 43)
й = 4х — у, у = Зх+ у — г, г = х+ х. и Нетрудно убедиться, что Л = 2 — трехкратный корень характеристического уравнения, позтому, согласно формуле (16), п. 1.4, общее решение данной системы имеет вид: 192 Гл. 3. Снстнвы дифференциальных урагшенгйг Связь межлу коэффициентами Ао, Во, Ь = 1, 2, 3, мы найдем, последовательно лонставляя корни Лг, Ь = 1, 2, 3, в систему (1). Имеем Аг(Лг — 1) + 2Вд(Лг — 1) = О, Аг(Ло — 1) + Вг(Ло + 1) = О. Отсюда находим В! — — О (А! — произвольно); Аг — — О (Вг — произвольно); Вз = -1, Аз = 2.
Учитывая зти соотношения и полагая, например, А! — — Вг = 1, из частных решений (3) комбинируем общее решение данной системы дифференциальных уравнений: х =Стхэ+Сгхг+Сзхз = Сзе'+2Сэе ', У =С>У! 4СгУг -ЬСзрэ =Сге ' — Сзе '. М 429. й + 5А + 2у + у = О, Зх + 5х + у + Зу = О. < Полагая х = Ае"', у = Ве"', как и в предыдущем примере, имеем А(Л + 5Л) + В(2Л -ь 1) = О, А(ЗЛ + 5) + В(Л+ 3) = О, (1) откуда, учитывая условие А и' О н В зо О, находим Л! — — Л, = 1, Лэ = -1.
Частные решения, соответствующие простому корню, имеют шщ: -! -! хз = Азе, уз = Взе Связь между Аз и Вз находим из системы (1) известным способом: Вз — — -4Аз. Поэтому, по- ложив, например, Аз —— -1, имеем Вз — — 4. Следовательно, частные решении, соответствующие корню Л, = — 1, будут аз = -е ', уэ —— 4е '. Далее, в силу того, что Л = 1 — двукратный корень, мы должны искать чаем!не решения, соответствующие этому корню, в виде: х = (а+ И)е', у = (с+ >(!)е > (2) где а, 6, с, >( — пока неизвестные постоянные. Для их определения подставим (2) в данную систему уравнений.
После некоторых упрощений, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений: ба 4 76+ Зс 4 2>( = О, 2Ь+ >( = О, 8а + бЬ+ 4с+ т( = О, из которой находим >г = -2Ь, с = -2а — Ь, где а, Ь вЂ” произвольные постоянные. Таким образом, общее решение предсташшется следующим образом: х = (а+ И)е' — Сзе ', у = (-2а — Ь вЂ” 2И)е + 4Сзе ', а Применяя метод вариации, решить следующие системы: 2 3 430.
х = -4х — 2у+ —, у = ба+ Зу— е' — 1 е' — 1 М Прежде всего решаем однородную систему уравнений, соответствующую данной системе: х = -4х — 2у, у = бх+ Зу. Подставив значение у = -2х- 2 х во второе уравнение, получаем й+й = О, откуда х = С +С е 1. А тогда у = -2С! — 2Сге '. Для определения общего решения неоднородной системы, согласно методу вариации произвольных постоянных, считаем С! и Сг некоторыми дифференцируемыми функциями. Зги функции мы найдем из системы уравнений, которая получается в результате подстановки значений х и у в неоднородную систему.
Таким образом, мы имеем: 2 . 3 ., 3 С! + Сге = —, -2С! — — Сге е' - 1 2 е' — 1 Отсюда находим Сг = -э —, С, = О. Интегрируя последние уравнения, получаем 2е' е — 1' С! = С!о, Сг = 2)п!е' — Ц+ Сто> где См, См — произвольные постоянные. Наконец, подставляя значения С, и Сг в общее решение однородной системы, имеем общее решение данной системы; — С! + Сге '+ 2е ' (п 1е' — Ц, у = -2С! — — Сге — Зе 1п)е — Ц -! ! 2 где С„Сг — новые произвольные постоянные.
м 193 () 1. Лвиейвые свстемы 1 431. х = *- у — — 4 = 2» — у. сгп! < Легко найти (хотя бы методом исключения) общее решение соответствующей однородной системы х=С,в!п(+С,сов(, у=(С,+Сг)яп(+(Сг — С)сов(. (1) Считая (в согласии с методом вариации произвольных постоянных), что С, и Сг — некоторые дифференцируемые функции, и подставляя значения х и у нз (1) в данную систему, будем иметь 1 ... 1 С, сов( — Сг яп! =, Сз яп(+ Сг сов! = —, сов( сов! откуда находим с, = 1+ гй(, Сг = 1 — зй(.
интегрируя эти уравнения, имеем С, =! — (в|сов!!4Сн, Сг=!+!п!сов(!+Сго. (2) Наконец, подставляя (2) в (1), получаем обзцее решение предложенной системы: х = 1(япг+ сов!) 4 (сов( — япг) 1п ! сов !! + С, яп(+ Сг сов(, у = 2(в!п!+ 2сов(+ !и |сов4+ (Сз + Сг)яп(+ (Сг — С )сов(, где С„С, — новые произвольные постоянные. м Решить следующие системы: 432. (х+ 2(х — у) = 1, (у+ х+ 5у = !'. < Производя замену аргумента 1 по формуле т = 1п |!), ! Ф О, приходим к неоднородной системе с постоянными коэффициентами: г(х Ау г — + 2(х — у) = »е', — + х+ 5у = е '.
Йт г(т Определив иэ второго уравнения системы г г(у »=е — 5у —— г(T козфф у= Ае +Ве . Подставляя у в неодноролное уравнение и приравнивая в полученном тождестве коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, будем иметь: А = 75, В = »20. Таким образом, 2 у = Туев' » 2бе'. А тогда общее решение -м -и 2 г„1 у=Сге +Сге + — е х — е'. 15 20 Подстаюшя значение у в (*), получаем -м -з~ 7 и 3 х = -Сзе — 2Сге + — е ~ — е'. 3 10 Вернувшись к аргументу 1, имеем окончательно Сз 2Сг (г ЗЩ Сз Сг 2 г 1 х=- — — — + — ~ —, у= — + — + — !гх — !!(, 14 Щз 15 10 (а Щз 15 20 1~0, м 433.
Ву+ бх — у — 3» = О, (у+ 23х — бу — 9» ы О, Б+ х+ у — 2» = О. м Аналогично предыдущему примеру имеем: т = 1п !!!, ! ,-в О, и г(» г(у да — + бх — у — 3» = О, — + 23х — бу — 9» = О, — + х+ у — 2» = О. гтт г!т г(т и подставив его в первое уравнение, получаем у 4 7у+ 12у = 4ег' ~ е'. (1) Характеристическое уравнение Л' + 7Л+ 12 = 0 имеет корни Л, = -4, Лг — — — 3, поэтому общее решение однородного уравнения у+ 7у+ 12у = 0 запишется в виде у = С,е "+ С,е ". Частное решение у рассматриваемого неоднородного уравнения ищем, используя метод неопределенных ициентов, в таком виде: Гл.
3, Системы двффереициальвых уравнений 194 гЬ 434. — = ар(!) + рр(г), А! < Полагая * = о(г)у(!), и = ))(!)у(!), получаем оу + ау' = аур+ )уууз, )з у+ ))у' = — угЛ + у)ур. Пусть у' = У(с за О. Тогда система (2) примет вид; а =Д(Л, 1) = -ар, а, )) — неизвестные функции. Производя замену аргумента по формуле т = !' гг(!)Аг, систему (3) приводим к системе с постоянными коэффициентами: Аа А)У вЂ” =Д вЂ” = -а. (5) Ат Ат Решив систему (5) и вернувшись к переменной Г согласно (4), а также приняв во внимание (1) и выбрав функцию у = ехр()' р(!) А!), окончательно имеем (2) (3) (4) Првмечавае.
В примерах 432-434 мы пользовались заменой аргумента г = ( Г(Г) Ш, катсрая прнмеюится а общем случае х системе уравнений вида Аэ — = Г(1)Ая, Ф где А — псстсанная матрица. Указанная замена преобразует приведенную систему х системе уравнений с постоянными коэффициентами: йе — = Аз.
Ат 435. Е некоторой области пространства одновременно имеются однородные и стационарные электрическое и магнитное поля с векторами напряженности Е и Н, угол между которыми П олученную систему уравнений с постоянными коэффициентами будем решать методом Эйлера, положив я = Ае"', у = Ве"', з = Се"'. Тогда относительно постоянных А, В, С получим линейную сисюму А(6+ Л) —  — ЗС = О, 23А + В(Л вЂ” 6) — 9С = О, А+ В + С(Л вЂ” 2) = О, из которой в силу условий А и О, В ~ О, С ~ О следует„что определитель 6+Л -1 -3 23 Л вЂ” 6 -9 =О. 1 ! Л вЂ” 2 Легко найти корни этого уравнения; Л~ — — 2, Лз — — -1, Лз — — 1.
Следовательно, общее решение системы (1) имеет внд; а = С~е '+ ЗСзе' — Сзе ', у = С~е '+ 2Сзе'+ Сзе ", з = С~е '+ 2Сзе'+ Сзе '. Возвращаясь к переменной г, общее решение данной системы записываем окончательно: з С 2Сз С а= С~! + Сз!!)+ —, и= -С~г + Сто+ —, з = ЗС~! + 2Сз!!!+ —, а (г! !!! ' !1! ' % 1.
Лгщейвые системы 195 равен а. Частица с массой гп и зарядом е, имеющая начальную скорость го, попадает в это пространство. Определить траекторию движения частицы. М На движугцугося в электромагнитном псле заряженную частицу действует сила Лоренца (=еЕ+е(г, Н), где г = (х, у, г) — радиус-вектор частицы. Поэтому, согласно второму закону Ньютона, имеем уравнение движения частицы: тг=еЕ+е(г Н! (1) Если векторы Е и Н расположить в плоскости хОУ и направить вектор Н вдоль оси Ох, то векторное уравнение (! ) можно представить в координатной форме: тй = еуН, ту = еЕяпа — ехН, тй = еЕсоьа, (2) где Е = !Е!, В = !Н!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
