Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1 вьпекает, что С, = О. Определяя известным р(2) С»=в С»=- — в ) где р(з) 1+ в )п < в — 1 < Таким образом, х(р(в)+ 2((пЗ вЂ” 1)), если 1 <х(в, С(х, з) = з((з(х)+ ~2(АЗ вЂ” 1)), если в < х < 2. П Из условия ограниченности С(х, з) при х— способом оставшиеся Сг (г = 2, 3, 4), имеем р(2) Сг — — — — в+ р(в), 2 г г С, ~ е г Ыз = С, / е г Ыз + С», а з — Сг 1+ ве Т / е г Ы() = е Т, з 402. Оценить сверку и снизу решение задачи хоро + 2хр' — 2у = Г(х) и его первую производную, если известно, что у ограничена при х о 0 и при х -+ +ос, а функция У удовлепюряег условию 0 < У(х) < ш.
и Предоставляем читателю возможность убедиться в том, что функция Грина данной задачи имеет вид если 0<а<в, С(х, в) = Зз ' — если з < х < +оо. Зх ' Согласно формуле из п. 5.2, записываем решение задачи в виде +ОР у(х) = / Г(з)С(х, в)о(з. о Теперь займемся требуемыми оценками. Поскольку ох -йю о +оо — у(х) = / У(з)(-С(х, з))о(в < по 1(-О(х, в))йз =гп ~ — + ~ — бз )./ Зх l Ззэ ) 2 о о о а и у < О, то лля решения р имеем оценку — — < у(х) < О. / Г(з)С*("з)йз+ l Г(з)С*(" з)йз l Г(з) З эйз l 3 бз<"',/ 3 пз 3 ' о и о и о 2в Г 1(з) Г Фз гп у'(х) = 1 у(з) — Нз — о — о(з > -по г — = — —.
Зхз ./ Зв' э' Звэ Зх о Таким образом, производная р' удовлетворяет неравенствам гп ш — — < р (а) < — (х > 0). ~ Зх Зх 403. Свести к интегральному уравнению задачу Штурма — Лиувилля -(1+ е*)р" — е*у' ж Лх у, 0 < х < 1, у(0) — 2р'(0) = О, Р (1) = О. и Прежде всего займемся построением функции Грина следующей краевой задачи: -(1+с*)р — е*р'= У(х), 0 < х< 1, у(0) — 2р'(0) = О, р'(1) = О.
Согласно п.5.2, искомая функция С удовлетворяет условиям: — (1+ е*)С",, — с*С', = О, х б (О, 1), х ~ з, С(0, з) — 2С',(О, в) = О, С,'(1, з) и О, 0(в — О, в) = 6(з+ О, з), о~ =тоо ~о1*ю-О +,. Из уравнения (1) получаем: е* С,1п — в — +Сэ, если 0<х<в, С(х, з) = Сэ Ш е — + Со! в < х < 1. Используя краевые условия и свойепи функции Грина, вычислим величинм Со (о = 1, 2, 3, д), Затем, цсдставив ик в выражение для функции Грина, закончим процесс ее построения. Она имеет вид 1 х-1п(е'+1)+1+1п2, если 0<а <з, 1 в — 1п(е'+1)+1+1п2, если з кх <1.
Гл. 2. Дифферяшиальвме урааиеивв высших порядков Теперь, в соответствии с п.5.3,менем записать требуемое интегральное уравнение: ! у(х) = Л ( з у(з)б(х, в) о(з, м о И Записав дифференциальное уравнение задачи в форме (-т/ху') = Лу, 0 < х < 1, функцию Грина определяем из условий: (-,/хб',)' =О, 0<х<1, х~з, Шп(ь/хб'.) = О, б(1, з) =О, б(в — О, з) = б(з+ О, «), бе/,, о — б',/ Имеем 2 (1 — е/в), если 0 ( х < з, б(х, з) = 2(1 — е/х), если в < х ( 1. Следовательно, у(х) = Л ~б(х, в)у(в)!(в. и о С помощью функции Грина решить следующие а«дачи, 4О5 — — — = «е(х)! 1 ( х ( е, у(1) = О, у(е) — еу'(е) = О, где е — основание хув у' 1+х (1+х)о натуральных логарифмов.
и Из уравнения хб",, бе / хб', е) : — 1 — /1 =О, х~в, 1+х (1+х)о 1,1+в( получаем: С!! если х < в, ( С~(х +!их) + Сц если 1 < х ( в, б(х, з) = 1 1+х ( Сз, если х > з, ' ( С«(х+1пх)+Се, если в < х <е, Пользуясь заданными краевыми Условиями и свОйствами фупкцни Грина. нахпаим С! — — в+1пз, Сз = -в — 1пз, С« = в+1пв — 1, Се = О. Следовательно ( в+)пз)(х+1пх — 1), если 1 (х < в, б(х, в) = (х+)пх)(в+1пв — 1), если з (х < е.
й соответствии с формулой (2), и. 5.4, решение поставленной задачи записывжтся в виде с у(х) = ~/(в)б(х, з)!(в. ° ! 40ф. -(1+ сов х)у" + яп х у' = /(х)! 0 ( х < ~т! у(0) - 2у'(О) = О, у Н) = О. м Из уравнения -(1+ сова)б" + япх - б', ш -((1+ сова)б',) = О (х Ф в) 404. Свести к интегральному уравнению накопление решений уравнения -2хув — у' = = 2Ле/ху, 0 < х < 1, при граничных условиях йш(е/ху) =О, у(1)=0. 179 последовательным интегрированием получаем С1 га $2 + Сз, если О < х < в, С(х, в) = Сзглу+Сы если в < х < 2. Краевые условия и свойства функции Грина приводят к равенствам С~ — С, — — (1 — Ьу ), Сз — (1 + Га ), Св (1 +ГЛ Таким образом, 0<х<в, в<х<2, а а решение поставленной задачи имеет вид к у(х) = ~0(х, в)у(в)ов. > о 407.
Доказать, что краевая задача -у" + 9(х)у = 7(х), у'(а) — Лу(о) = Сп у'(6) + Ну(6) = Сз эквивалентна трем задачам Коши: 1) -д +д = д(х); д(а) = -Л; 2) У' — д(х)У = -7(х); У(а) = С,; с — у(ь) 3) у'+д(х)у = У(х); у(Ь) = н — д(ь) ' Л Дифференцируя уравнение 3) и используя при этом 1) и 2), имеем у +д(х)у+д(х)у = У(х), у + ( — я(х)+д (х))у+д(х)(У(х) — д(х)у) = -у(х)+д(х)К Отсюда получаем уравнение -у + д(х)у = у(х). Подставив в 3) х = а, находим: у'(о) + д(а)у(а) = У(а), или у (а) — Лу(а) = Со (2) Подставив в 3) х = Ь, имеем (3) где -у(х)+у =д(х).
у'+ у(х)у = У(х), У' — д(х)У = - У(х). (6) Полагая в (5) получаем (7) у'(ь)+ д(ь)у(ь) = У(ь). Но у(6) = Сз + у(Ь)(д(6) — И), поэтому из (3) следует р'(ь)+Ну(ь) = с,. (4) Таким образом, исхода нз трех указанных задач Коши, получили краевую задачу (1), (2), (4), С другой стороны, дифференциальное уравнение краевой задачи можно представить в виде (у' +у(х)у) — у(х)(р' +у(х)у) = -у(х), (5) Гл.
2. Дифференциальные ураммшш высших порядков 180 Далее, подставляя в (7) х = а, х = Ь и пользуясь краевыми условгшми, можем записать С, — (Л+у(а))у(а) = Зг(а), Ст — (Ы вЂ” р(Ь))у(Ь) = У(Ь). Как видим, условий здесь два, а неизвестных три. Поэтому можно положить р(а) = -Л. (9) Тогда Сз — Зг(Ь) Г(а) = С, у(Ь) = Ы - у(Ь) (1О) Следовательно, получили три задачи Коши (6)-([0). м Примечание. Очевидно, что для справеллижкти проделанных операций необходимо, чтобы зздвча Коши (6), (9) имела решение нв сегменте [в, УЬ 408. Найти собстиенные значения и собственные функции задачи у" = Лу; у(0) = О, у(!) = о.
< Общее решение данного уравнения имеет вид у = С, зн чгЛх + С, си тг'Лх. (1) Использовав краевые условия, находим С, = О, Сг зй чгЛ! = О. Так как мы ищем те значения Л, при которых существуют ненулевые решения, то из последней системы уравнений следует, что з1г зГЛ! = 0 (Л ,-Е 0). Отсюда, в силу тождества зЛ ъ'Л! = Ьт = т з[п чг-л! получаем ьг-Л! = Ьгг, Л„= — — ~г- (Ь Е Ь[). Полагая в (1) Сг — — т, находим собствен! ные функции уь — — з[п +- (Ь Е [г[), м Примечание.
Собственные функции нашдятся, нюбше говоря, с точностью до произвольного числового множителя. Однако для многих целей удобно записывать собственные функции в так называемом нормированном виде, подбирая каким-либо способом произвольныа множитель. В данном случае мно! житель Сг бьш выбран из условий: .ц [рь ~ дх = 1 и уь — действительнав функции, 1 Г 2 Упрюквешш для самостоятельной работы Построить решения следующих зацач Коши. 1. У" = У + У', У(0) = 1, У'(0) = О. 2. Ув' = [[[[ — Уе г У(0) = О, У'(О) = О, Ув(0) = 1.
гв 4. ул' = бх 'ув+ [бх зу — 16х зу'+ х з(ху' -у) '(харя -4ху'+4у)~, у(1) = [, у'(!) = 2, уя(!) = 3. Произвести указанную замену переменных в линейных уравнениях: 5. ув + у = О, х = 1'. 6. хам + ув = 0 х = [п !. 7. 2у" — Зу' + х у = О, у = ха в(х) + х. 8. ум — ху'+ ху = О, х = 1, у = !и(!). Методом вариации произвольных постоянных проинтегрировать уравнения: 9. у" + Зу'+ 2у.= -з — --, у, = е ~, ут —— е *.
10. у" + 2у'+ у = Зе *~/Й + 1, у, = е *, уз — — хе *. 11. у'~+у =них, Л, г —— (1 же), Лзн —— — (1жт). 12. у'в — 8ту = соа2х. Построить общее решение однородных и неоднородных уравнений, используя формулу Остроградского — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
