Часть 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. (509319), страница 37
Текст из файла (страница 37)
х(х-1)у" — ху'+у= О. и Легко видеть, что у, = х — частное решение уравнения, поэтому воспользовавшись формулой Абеля (см. предыдущий пример), получаем г (х — 1) г(х у = х (Сг / + Сг) = С~(х!и ~х~ + 1) + Сгх Зб5. х(х'+ 6)у" + 4(х'+ 3)уУ+ бху = О. М Поскольку коэффициенты зтога уравнения есть многочлены, то целесообразно (хотя и не обязательно) искать частное решение в виде некоторого лэногочлена. Пусть у, = х" + ...
(пока не найдено натуральное и, выписывать следующие слагаемые не будем). Число п найдем, если зто возможно, из условие равенства нулю коэффициенга при старшей степени х мггогочэгена, который получается в левой части дифференциального уравнения после подстановки в него частного решения уэ. Имеем г ( 1)хз-г+ ) — 4(х +3)(пх " ' ') Отсюда, согласно сказанному выше, получаем уравнение п(п — 1) — 4п Л 6 = О, имеющее два решения ц, = 2, п, = 3. Ищем частное решение в виде уэ = х + ах + Ь (если в таком виде частое решение не суг ществует, то попытаемся найти его среди мнагочленов третьей степени; если же и в этом случае потерпим неудачу, то данное уравнение вообще не имеет решений среди многочленов).
Подставив у, в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим а = О, Ь = 2. Следовательно, у| = х'+ 2 — частное решение. Аналогичные поиски частного решения среди многочленов третьей степени дают другое частное регпение у, = х', которое, очевидно, линейно не зависит от первого. Таким образом, получаем общее решение данного уравнения у = С~ (хг -л 2) + Сгхэ. (1) Любопытно отметить, что ванное уравнение допускает еще одно частное решение у, = ф, э линейно независимое от у, и уг при -оэ < х < -Лсо. Если исходить из общего решения (1), то нельзя решить, например, следующую дифференциальную зааачу: х(х + 6)уч — 4(х + 3)у'+ бху = О, у(-1) = 1, у(1) = 2, у'(-1) = -2.
Однако на самом деле существует ее единственное решение э у= -(х +2)+ — + — )х(, 7 2 14 дважаы непрерывно дифференцируемое при всех х б (-сю, +оэ), и его можно получить из более общего решения данного уравнения у = Сэ(х + 2)+ Сгх + Сэ/х), подчинив последнее заданным дополнительным условиям. ~ Заиечавве.
Рассмотренный пример показывает, что если коэффицаент Рз(х) при старшей производной обращается в нуль при х = хз, то соответствующее дифференциааьное уравнение и-гс порядка может иметь больше чем и линейно независимых частных решений. Последнее означает, чга некоторые диффереициальнме задачи, кажущиеся неразрешимыми с первого взгляда (т.е. лереоарелвтешгмми), вполне могут иметь единственное решение.
б 4. Линейные дифференциальные ураввеивя с веремеввымв кеэффвциеитамв 161 Зб(Ь. Заменой независимой переменной ! = (а(х) уничтожить член с первой производной в уравнении х (1 — х )у' + 2(х — х )у' — 2у = О. !2 222 ,!г в Сначала выразим производные ~~, — у через производные Вйа, — у. Имеем х' агх !'ш' (у а!у (! (у а!у а(х ай !(х а(х а((' в у а! ('Ну(х) ву') а( !р(х) ву ду(х) а! !'а~у') а( (а(х) ву (!йу~т)) а! у Йхг йх ~ дх аЫ / йхг й! дх Пх (,(! / Охг й ', Пх / й!' Подставив значения этих производных в уравнение, получим г,!г г аур(х) а(' (х) — — — + (2( — * ) + * (! — ) , ) — — 2 = О. Замечаем, что если функцию р выбрать из условия бр(х) а(~ар(х) 2 — +х =О, ,(х а(ха то цель будет достигнута.
Последнее уравнение легко решается, и мы имеем с, р(.) = — +с,. х Поэтому исходное дифференциальное уравнение можно представить в вице: 2 1 2!У Сгг (Х вЂ” — ! у! — — 2у =- О, (х2 ) й2 или, если учесть, что х = 2С- = ?--+-, в виде Ог — 2 — г ' г ((! — Сг) — С,) — — 2У = О. а(!2 Произвольными постоянными можно распорядиться в зависимости от дополнительных условий.
М Зб7. Доказать, что в случае е(х) < О решения уравнения ух+ р(х)у'+ !?(х)у = О не могут иметь положительных максимумов. и Предположим, что в точке х, б (в, Ь) имеется максимум решения у = у(х), равный у(хо) ) О. Тогда, как известно, в силу дифференцируемости этого решения, обязательно у'(ха) = = О. Подставив в уравнение х = хо и приняв во внимание последнее условие, имеем уа(хо) = -р(хо)у'(хо) — о(хо)у(хо) = -2?(хо)у(хо) > О. Следовательно, в точке х, имеется минимум функции у.
Полученное противоречие и доказывает предложенное уаерждение. М 363. Могут ли графики лвух решений уравнения у'+е(х)у = О, где е — не- ! прерывная функция, располагаться так, ! ! как на рнс. 28, а)? так„как на рис. 28, б)? Уг Уг < В случае а), очевидно, выполня- Уг ются равенства 1 ! Уг(хо) = Уг(хо)! Уг(хо) = Уг(хо) ! ! Так как задача Коши О ха я О ( у" = -!?(х)у У(хо) = Уо, У'(хо) = Уа Рво. 2а в силу непрерывности функции !? имеет единственное решение, то у,(х) ш уг(х), что противоречит рис.
28, а). Следоватедьно, такое расположение графиков решений у,(х) и уг(х) невозможно. 162 Гл. 2. Дифферевцвальвые урамаеввя выевтвк пазрядков В случае б), исходя нз рисунка, можем написать: уз(х) = -Я(х)уз(х) < О, уа(х) = -у(х)уз(х) > О зух Е (ха, х,), откуда следует, что 1((х) < О и д(х) > О згх е (ха, х,) одновременно. значит, и в этом случае такое расположение графиков решений у,(х) и уз(х) невозможно. М 369. Доказать, что в случае е(х) > О для любого решения уравнения уа+ у(х)у = О отношез ние а- убывает при возрастании х на интервале, где у(а) за О.
у М Вводя в рассмотрение новую функцию и по формуле и(х) = У-, получаем дифференцну' аланов уравнение ц (х) = -е(х) — вз(х), из которого, вследствие условия у(х) > О, следует, по ц'(х) < О, т.е. функция ц = ~ убывает у на интервале, где у;а О. м 370. Доказать, что в случае д(х) < О все решения уравнения у" ь у(х)у = О с положительными начальными условиями у(ха) > О, у'(ха) > О остмозся положительными при всех х > ха. М Дважды интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем: у(х) = у(ха) + у'(х,)(х — ха) + / (х — а)( — е(а))у(в) т(а. «а В силу положительности у(ха) и непрерывности функции у, при досшточно малом х > ха правая часть уравнения (1) полохапельная. Покюкем, что она останется положнтельттой при увеличении х > ха.
Предположим, что прн некотором хз > ха функция у все же обратится в нуль (первый нуль справа от точки ха). Тогда из (1) получим равенство у(хз) = О = у(ха) + у (ха)(хз ха) + /(хз — а)(-д(а))у(а) т(а. аа (2) Поскольку у(а) > О при ха < в < х„то (х, — а)( — е(в))у(а) > О зта Е (ха, х,). Следователь- но, выражение в правой части равенства (2) строго положительно. Полученное противоречие и доказывает, что ах > ха у(х) > О, м г(г — 1) + г = О, откуда находим г, = О, гз —— О. Следовательно, частными решениями будут уз = х = 1, у, а = )и |а(, а общим решением— у = Сз+Сз)пф. м 372.
(х+ 1)'у"' — З(х+ 1)зуа+ 4(х+ 1)у' -4У = О. м Это уравнение Эйлера. Епз частные решения ишем в виде у = (х+ 1) (х > -1). Подставляя (1) в уравнение, получаем г,=гз=1, гз=4- Поэтому частными решениями будут уз = х+ 1, у, = (х + 1) 1п(х + 1), уз = (х + 1)а, а общим решением— У = Сз(х + 1) + Сз(х + 1) йз(х + 1) + Сз(х .1- 1) ° М Решить следуюШие уравнения. 371. хуа + у' = О м Так как это уравнение Эйлера, то частное решение ишем в виде у = х', где г = сонат.
Тогда для г получаем уравнение $4. Лввейиме лифбмреициальвме ураавеввя с неремеиимми козффяциевтамв 163 М Положим С = шсгу х. Тогда фу 2(у 2 Йу 4 4У 2 2 Н 24У 2 2 2 2 4У . 4У вЂ” = — соз С, — = — ~ — соз С~ =с2и С вЂ” ~ — соз С~ =соя С соз С вЂ” — ип2С— 4х ~ 41 ! 41 ~ 41 у' ') 412 н уравнение примет вид С2 —.! у=О. 412 решая его, получаем СС Сзх у = С2 созС+Сз2!пС = + й!+хг 22!+хт 374. х'у" + 2Х'у'+ у = О. М Положим С = р(х) и подберем функцию р так, чтобы после замены отсутспювал член с первой производной. Тогда получим 4У 4У,С С 4У~ 4У 2 42У вЂ” = — х'(х), — = — ! и (х) — 1 = х"(х) — + 12' (х) —, 4х 41 ' 4Х2 2(х ~ 41) 41 412' (1) В СИЛУ ПсетаВЛЕННОГО уСЛОаня, ИМЕЕМ Хре+ 2р' = О, ОтКуда С = р(Х) = -~ + Сз.
УраВНЕКИЕ (1) инимает вид С,'у" + у = 0 и легко решается. Окончательно можем написать, что 1, 1 у = Асоз — +Вз!и —. В» х х Представить в канонической форме следующие уравнения второго порядка. 375. (х'+ !)у" + 5ху'+4У = О. и Согласно п.4.7, производим замену 1 Г 5Мх~ з(х) У=акр~ -/ 2 )' (*)=Т. 2 Х +1 (Х2+!) ° В результате получим уравнение 4 — + 7(х)з х О, Ыхз где у(х) = — 2 — -г.
м *'+ 4 4(х +1) 376. (1 - х')у"-2ХУ'+ в(я+ 1)у = О. м пшгберем функцшо в так, чтобы после замены у = в(х)з(х) дифференциальное уравнение относительно функции з не содержало производную з'. Имеем в(1 — х')з' +(2й(1 — х ) — 2хв)з + ((1 — х')в" -2хв'+ в(п+ 1)в)л = О. (1) В соответствии с поставленной целью, полюзюм (1 — х')в' — хв = О, откуда в = ф1-а~! Подставив полученное значение в(х) в дифференциальное уравнение (1), после упрощений будем иметь окончательно з + з = О.
М (1 — х2)2 Гл. 2. Дяф!(мреициальяые уравнения высшик иоряюгов Следующие уравнения привести к самосопряженной форме. 377. ху" — (гх+ 1)у'+ гу = О. м Сравнивая коэффициенты данного уравнения с коэффициентами самосопряженного уравнения <Р~ — (р(х) — )+с(х)у =р(х) — +р'(х) — + с(х)у = О, !(х !(х !(хз !(х получаем соотношения р'(х) 2х + 1 с(х) 2 — — — (х Ф 0). р(х) х ' р(т) х е -2» 2е и Из первого соотношения находим р(х) =, а из второго — д(х) = — в-г-.
е х Таким образом, при х ~ 0 данное уравнение приводится к самосопряженной форме 378. х(х' + 6)у" — 4(х' + 3)у'+ бху = О. М По аналогии с проделанным в предыдущем примере, имеем р'(х) 4(х + 3) о(х) 6 р(х) х(хз + 6)' р(х) хз + б' откуда 1 6 р(х) = хз(аз+6) хг(.в+6)з' о(х) = Следовательно, при х Ф 0 данное уравнение представимо в самосопряженной форме г( ~ ! !(у1 бу — + =О.м !(х (хз(хз+6) !(х/ хз(хз+ б)з 379. Привести к линейному уравнение ху' — бу — у' — х' = О. ° а Согласно замене (13), п.4.8, можем написать хи' у = — — (и ~ 0). и Тогда !з -(и' + хив)и -1- хи' у = из и данное уравнение преобразуется к виду хив — 4й+хи = О. и 380.
Пусть у и в — решения уравнений у" + о(х)у = 0 и зв + ()(х)з = О с совпадающими начальными условиями у(хв) = в(хв), у'(хв) = в'(хв), и на интервале (хм х,) выполняются неравенства ()(х) > о(х), у(х) > О, в(х) > О. доказать, что на этом интервале отношение в у убывает. ~ Умножая первое уравнение на в, а второе — на у и затем почленно вычитая их, получаем ( У У )= (Я 0)У Интегрируя полученное соотношение в пределах от хз до х Е (хв, х,) и принимая во внимание начальные условия, будем иметь Ф ! г! з у — у в = — 1 ((3(з) — д(з)) у(в)в(в) г(в, или ( — ) = — — 1 (Ц(з) — д(з)) у(з)з(з) г(в. вв Так как У(з)в(з) > О, Гг(з) — д(з) > О, то Я) ( 0 пРи х > хв. Следовательно, фтнгцшЯ у убывающая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
